Úplně odpojená skupina - Totally disconnected group

v matematika, a zcela odpojená skupina je topologická skupina to je úplně odpojen. Takové topologické skupiny jsou nutně Hausdorff.

Zájem se soustředí na místně kompaktní zcela odpojené skupiny (různé skupiny) typ td,^[1] místně profinitní skupiny,^[2] t.d. skupiny^[3]). The kompaktní případ byl intenzivně studován - to jsou profinitní skupiny - ale o obecném případu se dlouho nevědělo mnoho. Věta o van Dantzig^[4] ze 30. let s tím, že každá taková skupina obsahuje kompaktní otevřeno podskupina bylo vše, co se vědělo. Poté byla v roce 1994 provedena průkopnická práce na tomto tématu George Willis ukázal, že každá lokálně kompaktní úplně odpojená skupina obsahuje tzv uklidit podskupina a speciální funkce na jejích automorfismech, funkce měřítka, a tím prohlubovat znalosti místní struktury. Zálohy na globální struktura v roce 2011 Caprace a Monod, zejména s klasifikací charakteristicky jednoduché skupiny a noetherských skupin.

Lokálně kompaktní pouzdro

V místně kompaktní, úplně odpojené skupině sousedství identity obsahuje kompaktní otevřenou podskupinu. Naopak, pokud je skupina taková, že identita má sousedství základ skládající se z kompaktních otevřených podskupin, je pak lokálně kompaktní a zcela odpojený.^[2]

Úhledné podskupiny

Nechat G být lokálně kompaktní, zcela odpojená skupina, U kompaktní otevřená podskupina G a ${displaystyle alpha}$ nepřetržitý automorfismus G.

Definovat:

${displaystyle U _ {+} = igcap _ {ngeq 0} alpha ^ {n} (U)}$

${displaystyle U _ {-} = igcap _ {ngeq 0} alpha ^ {- n} (U)}$

${displaystyle U _ {++} = igcup _ {ngeq 0} alpha ^ {n} (U _ {+})}$

${displaystyle U _ {-} = igcup _ {ngeq 0} alpha ^ {- n} (U _ {-})}$

U se říká, že je uklidit pro ${displaystyle alpha}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle U = U _ {+} U _ {-} = U _ {-} U _ {+}}$ a ${displaystyle U _ {++}}$ a ${displaystyle U _ {-}}$ jsou zavřené.

Funkce měřítka

Index ${displaystyle alpha (U _ {+})}$ v ${displaystyle U _ {+}}$ je ukázáno jako konečné a nezávislé na U což je uklizené ${displaystyle alpha}$. Definujte funkci měřítka ${displaystyle s (alfa)}$ jako tento index. Omezení na vnitřní automorfismy dává funkci na G se zajímavými vlastnostmi. Jedná se zejména o:
Definujte funkci ${displaystyle s}$ na G podle ${displaystyle s (x): = s (alfa _ {x})}$, kde ${displaystyle alpha _ {x}}$ je vnitřní automorfismus ${displaystyle x}$ na G.

Vlastnosti

• ${displaystyle s}$ je spojitý.
• ${displaystyle s (x) = 1}$, kdykoli x dovnitř G je kompaktní prvek.
• ${displaystyle s (x ^ {n}) = s (x) ^ {n}}$ pro každé nezáporné celé číslo ${displaystyle n}$.
• Modulární funkce zapnuta G darováno ${displaystyle Delta (x) = s (x) s (x ^ {- 1}) ^ {- 1}}$.

Výpočty a aplikace

Funkce měřítka byla použita k prokázání domněnky Hofmanna a Mukherje a byla výslovně vypočítána pro p-adic Lež skupiny a lineární skupiny nad místními šikmými poli Helge Glöckner.

Poznámky

Reference

• van Dantzig, David (1936), „Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen“, Compositio Mathematica, 3: 408–426
• Borel, Armand; Wallach, Nolan (2000), Kontinuální kohomologie, diskrétní podskupiny a reprezentace redukčních skupinMatematické průzkumy a monografie 67 (Second ed.), Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-0851-1, PAN  1721403
• Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), Místní Langlandsova domněnka o GL (2)Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 335, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 3-540-31511-X, ISBN  978-3-540-31486-8, PAN  2234120
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), „Rozklad místně kompaktních skupin na jednoduché kousky“, Matematika. Proc. Cambridge Philos. Soc., 150: 97–128, arXiv:0811.4101, Bibcode:2011MPCPS.150 ... 97C, doi:10.1017 / S0305004110000368, PAN  2739075
• Cartier, Pierre (1979), „Reprezentace ${displaystyle {mathfrak {p}}}$-adické skupiny: průzkum ", v Borel, Armand; Casselman, William (eds.), Automorfní formuláře, reprezentace a L-funkce (PDF), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 33, Part 1, Providence, Rhode Island: Americká matematická společnost, str. 111–155, ISBN  978-0-8218-1435-2, PAN  0546593
• G.A. Willis - Struktura zcela odpojených, lokálně kompaktních skupin, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)