Invariantní potrubí - Invariant manifold
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Srpna 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v dynamické systémy, pobočka matematika, an invariantní potrubí je topologické potrubí to je neměnné za působení dynamického systému.[1] Mezi příklady patří pomalé potrubí, středové potrubí, stabilní potrubí, nestabilní potrubí, subcenter potrubí a inerciální potrubí.
Typicky, i když v žádném případě ne vždy, jsou invariantní potrubí konstruovány jako „odchylka“ invariantní podprostor V disipativních systémech tvoří invariantní potrubí založené na nejtěžších a nejdelších režimech efektivní nízkodimenzionální redukovaný model dynamiky.[2]
Definice
Zvažte diferenciální rovnice s průtokem je řešením diferenciální rovnice s . Sada se nazývá invariantní množina pro diferenciální rovnici, pokud pro každou , řešení , definovaný na svém maximálním intervalu existence, má svůj obraz v . Alternativně obíhá kolem každého z nich leží v . Navíc, se nazývá invariantní potrubí -li je potrubí.[3]
Příklady
Jednoduchý 2D dynamický systém
Pro jakýkoli pevný parametr , zvažte proměnné řízen dvojicí spojených diferenciálních rovnic
Počátek je rovnováha. Tento systém má dvě neměnná různá zájmová potrubí prostřednictvím původu.
- Svislá čára je neměnný jako když the -rovnice se stává což zajišťuje zůstává nula. Toto neměnné potrubí, , je stabilní potrubí původu (kdy ) jako všechny počáteční podmínky vést k řešení asymptoticky přistupujícím k původu.
- Parabola je neměnný pro všechny parametry . Jeden může vidět tuto invariance zvážením časové derivace a jeho zjištění je nulové jak je požadováno pro invariantní potrubí. Pro tato parabola je nestabilní potrubí původu. Pro tato parabola je a středové potrubí, přesněji a pomalé potrubí, původu.
- Pro existuje pouze invariant stabilní potrubí o původu, stabilním potrubí včetně všech .
Invariantní potrubí v neautonomních dynamických systémech
Diferenciální rovnice
představuje a neautonomní dynamický systém, jehož řešení mají formu s . V rozšířeném fázovém prostoru takového systému jakýkoli počáteční povrch generuje invariantní potrubí
Zásadní otázkou tedy je, jak lze z této velké rodiny invariantních variet najít ty, které mají největší vliv na celkovou dynamiku systému. Tato nejvlivnější invariantní potrubí v rozšířeném fázovém prostoru neautonomních dynamických systémů jsou známá jako Lagrangeovy koherentní struktury.[4]
Viz také
Reference
- ^ Hirsh M.W., Pugh C.C., Shub M., Invariant Manifolds, přednáška. Poznámky. Math., 583, Springer, Berlin - Heidelberg, 1977
- ^ A. J. Roberts. Užitečnost invariantního rozmanitého popisu vývoje dynamického systému. SIAM J. Math. Anal., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Archivováno 2008-08-20 na Wayback Machine
- ^ C. Chicone. Obyčejné diferenciální rovnice s aplikacemi, svazek 34 textů z aplikované matematiky. Springer, 2006, s. 34
- ^ Haller, G. (2015). "Lagrangeovy koherentní struktury". Roční přehled mechaniky tekutin. 47 (1): 137–162. Bibcode:2015AnRFM..47..137H. doi:10.1146 / annurev-fluid-010313-141322.