Haransova věta o diamantu - Harans diamond theorem - Wikipedia
v matematika, Haranova věta o diamantu dává obecnou dostatečnou podmínku pro oddělitelné rozšíření a Hilbertovo pole být Hilbertianem.
Výrok o diamantové větě
Nechat K. být Hilbertovo pole a L oddělitelné rozšíření K.. Předpokládejme, že existují dvě rozšíření Galois N a M z K. takhle L je obsažen v kompozici NM, ale není obsažen v žádném N ani M. Pak L je Hilbertian.
Název věty pochází z vyobrazeného schématu polí a vytvořil jej Jarden.
Některé důsledky
Weissauerova věta
Tato věta byla poprvé prokázána pomocí nestandardních metod Weissauerem. Napsal to Fried pomocí standardních metod. Druhý důkaz vedl Harana k jeho diamantové větě.
- Weissauerova věta
Nechat K. být hilbertovským polem, N rozšíření Galois z K., a L konečné správné rozšíření N. Pak L je Hilbertian.
- Důkaz pomocí diamantové věty
Li L je konečný K., to je Hilbertian; proto to předpokládáme L / K. je nekonečný. Nechat X být primitivním prvkem pro L / N, tj., L = N(X).
Nechat M být Galoisovým uzávěrem K.(X). Poté jsou splněny všechny předpoklady diamantové věty L je Hilbertian.
Haran – Jardenův stav
Další, předcházející teorému o diamantu, byla Haran – Jarden dána podmínkou dostatečné stálosti:Teorém. Nechat K. být hilbertovským polem a N, M dvě rozšíření Galois z K.. Předpokládejme, že ani jedna neobsahuje druhou. Pak jejich složení NM je Hilbertian.
Tato věta má velmi pěkný důsledek: Protože pole racionálních čísel, Q je Hilbertian (Hilbertova věta o neredukovatelnosti ), dostaneme, že algebraické uzavření Q není složením dvou správných rozšíření Galois.
Reference
- Haran, Dan (1999), „Hilbertianova pole pod oddělitelnými algebraickými rozšířeními“, Inventiones Mathematicae, 137 (1): 113–126, doi:10,1007 / s002220050325, PAN 1702139, Zbl 0933.12003.
- Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Polní aritmetika, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3 Folge, 11 (3. přepracované vydání), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9, PAN 2445111, Zbl 1145.12001.