Aproximace v algebraických skupinách - Approximation in algebraic groups - Wikipedia

V algebraické teorii grup věty o aproximaci jsou rozšířením Čínská věta o zbytku na algebraické skupiny G přes globální pole k.

Dějiny

Eichler (1938) prokázala silnou aproximaci u některých klasických skupin. Silná aproximace byla zavedena v 60. a 70. letech, u polojednodušých jednoduše spojených algebraických skupin globální pole. Výsledky pro počet polí jsou kvůli Kneser  (1966 ) a Platonov  (1969 ); the funkční pole případ, přes konečná pole, je to kvůli Margulis  (1977 ) a Prasad  (1977 ). V případě číselného pole Platonov také prokázal související výsledek místní pole volal Kneser-Tits dohad.

Formální definice a vlastnosti

Nechat G být lineární algebraickou skupinou v globálním poli k, a A prsten Adele z k. Li S je neprázdná konečná množina míst k, pak píšeme AS pro prsten z S-adeles a AS pro produkt doplňků ks, pro s v konečné sadě S. Pro jakýkoli výběr S, G(k) vloží G(AS) a G(AS).

Otázka položená v slabý aproximace je, zda vložení G(k) v G(AS) má hustý obraz. Pokud skupina G je připojen a k- racionální, pak uspokojí slabou aproximaci s ohledem na libovolnou množinu S (Platonov, Rapinchuk 1994, str. 402). Obecněji pro jakoukoli připojenou skupinu G, existuje konečná množina T konečných míst k takhle G uspokojuje slabou aproximaci vzhledem k libovolné množině S to je disjunktní s T (Platonov, Rapinchuk 1994, str. 415). Zejména pokud k je algebraické číselné pole, pak libovolná skupina G uspokojuje slabou aproximaci vzhledem k množině S = S∞ nekonečných míst.

Otázka položená v silný aproximace je, zda vložení G(k) v G(AS) má hustý obraz nebo ekvivalentně, zda je soubor

G(k)G(AS)

je hustá podmnožina v G(A). Hlavní věta silné aproximace (Kneser 1966, s. 188) uvádí, že neřešitelná lineární algebraická skupina G přes globální pole k má silnou aproximaci pro konečnou množinu S jen a jen pokud radikální N je unipotentní, G/N je jednoduše připojen a každá téměř jednoduchá součást H z G/N má nekompaktní součást Hs pro některé s v S (záleží na H).

Důkazy silné aproximace závisely na Hasseův princip pro algebraické skupiny, což pro skupiny typu E8 bylo prokázáno až o několik let později.

Slabá aproximace platí pro širší třídu skupin, včetně sousední skupiny a vnitřní formy z Skupiny Chevalley, což ukazuje, že vlastnost silné aproximace je omezující.

Viz také

Reference

  • Eichler, Martin (1938), „Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen.“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 179: 227–251, doi:10,1515 / crll.1938.179.227, ISSN  0075-4102
  • Kneser, Martin (1966), „Silná aproximace“, Algebraické skupiny a diskontinuální podskupiny (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, s. 187–196, PAN  0213361
  • Margulis, G. A. (1977), „Ohraničené podskupiny v algebraických skupinách nad místními poli“, Akademija Nauk SSSR. Funkcional'nyi Analiz i ego Priloženija, 11 (2): 45–57, 95, ISSN  0374-1990, PAN  0442107
  • Platonov, V. P. (1969), „Problém silné aproximace a Kneser-Titsova hypotéza pro algebraické skupiny“, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 33: 1211–1219, ISSN  0373-2436, PAN  0258839
  • Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994), Algebraické skupiny a teorie čísel. (Z ruského originálu z roku 1991 přeložila Rachel Rowen.)Čistá a aplikovaná matematika, 139, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN  0-12-558180-7, PAN  1278263
  • Prasad, Gopal (1977), „Silná aproximace pro semi-jednoduché skupiny nad funkčními poli“, Annals of Mathematics, Druhá série, 105 (3): 553–572, doi:10.2307/1970924, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970924, PAN  0444571