Termální - Termial
![]() | Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny do Trojúhelníkové číslo. (Diskutujte) Navrhováno od srpna 2020. |
v matematika, termální pozitivního celé číslo n, označeno n?, je součet všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Například,
Hodnota 0? je 0, podle úmluvy o prázdná částka.
Terminál vytvořil Donald E. Knuth v jeho Umění počítačového programování. Jedná se o aditivní analog faktoriál funkce, kterou je produkt celých čísel z 1 na n. Použil jej k ilustraci rozšíření doména od kladných celých čísel do reálná čísla.[1]
Termial kladných celých čísel je také známý jako trojúhelníková čísla.[2] Prvních pár (sekvence A000217 v OEIS ) a
Dějiny
Od 18. století Leonhard Euler a někteří další matematici se pokoušeli rozšířit doména z faktoriál funkce do reálná čísla nebo dokonce komplexní čísla, a nakonec navrhnout Funkce gama.[3] V roce 1997 Donald E. Knuth představil termiální funkci n? v jeho Umění počítačového programování, jako analogický faktoriál v přidání, abychom ilustrovali význam rozšíření domény.[1]
Definice
Termiální funkce je definována součtem
zpočátku na celé číslo n ≥ 1. Toto může být napsáno v Sigma součet notace tak jako
Z těchto vzorců lze odvodit relace opakování
Například jeden má
a tak dále.
Termiální funkci lze vypočítat pomocí součtového vzorce pro aritmetická posloupnost:
Například, .
Terminál nuly
Aby byl vztah opakování rozšířen na n = 0, je nutné definovat
aby
Terminál jiného než celého čísla
Termiální funkci lze také definovat pro jiné než celočíselné hodnoty pomocí vzorce .
Například, .
Aplikace
Termial je méně často používán v matematice, ale přesto má určitá použití v oblastech, jako je kombinatorika.
- Pro sadu n odlišné prvky, počet 2-kombinace (tj. počet způsobů, jak vybrat 2 z nich) se rovná (n − 1)?. To znamená
- Při hraní čtyři čtyři, termial může být užitečným nástrojem k nalezení požadovaného výrazu, zvláště když pravidla neumožňují použití desetinná čárka a odmocnina (což je proto, že čísla 0 a 2 jsou použity neviditelně). Například,
Terminální součet a funkce
Double termial
Podobně jako u dvojitého faktoriálu[4], Součet všech lichých celých čísel až po liché kladné celé číslo n se nazývá dvojitý termial z na označeno n??. To znamená
Například, .
Posloupnost dvojitého termilu pro n = 1, 3, 5, 7,... je číslo umocněné na druhou sekvence.[5] Začíná to jako
Prvotní
Prvotní lze zavést jako analog primitivní a označeno n§. Je definována jako součet prvočísla menší nebo rovno n[6], tj.
kde je funkce počítání prvočísel.
Například, .
Prvních pár výsledků je
Reciproční termial
Reciproční termial je definována jako součet převrácené hodnoty první n kladná celá čísla. Rovná se n-th harmonické číslo.[7]
Například,
Viz také
Reference
- ^ A b Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3. vyd. Addison Wesley Longman, USA str. 48.
- ^ Weisstein, Eric W. „Trojúhelníkové číslo“. Webový zdroj MathWorld-A Wolfram. Citováno 30. prosince 2018.
- ^ Davis, P. J. (1959). „Integrál Leonharda Eulera: Historický profil funkce gama“. Americký matematický měsíčník. 66 (10): 849–869. doi:10.2307/2309786. Citováno 30. prosince 2018.
- ^ Weisstein, Eric W. „Double Factorial“. Webový zdroj MathWorld-A Wolfram. Citováno 30. prosince 2018.
- ^ Goodman, Len; Weisstein, Eric W. "Číslo umocněné na druhou". Webový zdroj MathWorld-A Wolfram. Citováno 30. prosince 2018.
- ^ Hardy, G. H. a Wright, E. M. (1979). Úvod do teorie čísel, 5. vyd. Oxford, Anglie: Clarendon Press, s. 1–4, 17, 22 a 251.
- ^ Graham, R.L .; Knuth, D. E.; a Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2. vyd. Reading, MA: Addison-Wesley. str. 272–282.