Tanakasův vzorec - Tanakas formula - Wikipedia

V stochastický počet, Tanakův vzorec tvrdí, že

${ displaystyle | B_ {t} | = int _ {0} ^ {t} operatorname {sgn} (B_ {s}) , dB_ {s} + L_ {t}}$

kde B_t je standard Brownův pohyb, sgn označuje znaková funkce

${ displaystyle operatorname {sgn} (x) = { begin {případů} + 1, & x> 0; 0, & x = 0 - 1, & x <0. end {případů}}}$

a L_t je jeho místní čas v 0 (místní čas strávený do B v 0 před časem t) daný L²-omezit

${ displaystyle L_ {t} = lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {1} {2 varepsilon}} | {s in [0, t] | B_ {s} in (- varepsilon, + varepsilon) } |.}$

Vlastnosti

Tanakův vzorec je explicitní Doob – Meyerův rozklad submartingale |B_t| do martingale část ( integrální na pravé straně) a nepřetržitý proces zvyšování (místního času). To může také být viděno jako analog Je to lemma pro (absolutní) funkci absolutní hodnoty ${ displaystyle f (x) = | x |}$, s ${ displaystyle f '(x) = operatorname {sgn} (x)}$ a ${ displaystyle f '' (x) = 2 delta (x)}$; vidět místní čas pro formální vysvětlení termínu Itō.

Nástin důkazu

The funkce |X| není C² v X na X = 0, takže nemůžeme použít Je to vzorec přímo. Pokud to ale aproximujeme blízko nuly (tj. V [-ε, ε]) od paraboly

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {2 | varepsilon |}} + { frac {| varepsilon |} {2}}.}$

A pomocí Je to vzorec pak můžeme vzít omezit tak jako ε → 0, což vede k Tanakově vzorci.

Reference

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací (Šesté vydání). Berlín: Springer. ISBN  3-540-04758-1. (Příklad 5.3.2)
• Shiryaev, Albert N.; trans. N. Kruzhilin (1999). Základy stochastického financování: fakta, modely, teorie. Advanced Series on Statistical Science & Applied Probability No. 3. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN  981-02-3605-0.