T-norma - T-norm

v matematika, a t-norma (taky T-norma nebo nezkráceně, trojúhelníková norma) je druh binární operace použitý v rámci pravděpodobnostní metrické prostory a v vícehodnotová logika, konkrétně v fuzzy logika. Norma t zevšeobecňuje průsečík v mříž a spojení v logika. Název trojúhelníková norma odkazuje na skutečnost, že v rámci pravděpodobnostních metrických prostorů se k zobecnění používají t-normy nerovnost trojúhelníku obyčejný metrické prostory.

Definice

T-norma je a funkce T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], která splňuje následující vlastnosti:

Komutativita: T (A, b) = T (b, A)
Monotónnost: T (A, b) ≤ T (C, d) pokud A ≤ C a b ≤ d
Asociativita: T (A, T (b, C)) = T (T (A, b), C)
Číslo 1 funguje jako prvek identity: T (A, 1) = A

Protože t-normou je a binární algebraická operace na intervalu [0, 1] je také běžná infixová algebraická notace, přičemž t-norma se obvykle označuje ${ displaystyle *}$ .

Definující podmínky t-normy jsou přesně podmínky částečně uspořádaného Abelianova monoidu na intervalu reálných jednotek [0, 1]. (Srov.objednaná skupina.) Monoidální operace jakéhokoli částečně objednaného abelianského monoidu L je proto některými autory nazývána a trojúhelníková norma na L.

Motivace a aplikace

T-normy jsou zobecněním obvyklých dvou hodnot logická spojka, studoval klasickou logikou, pro fuzzy logiky. Klasická booleovská konjunkce je skutečně komutativní i asociativní. Vlastnost monotónnosti zajišťuje, že stupeň pravdy spojení se nesníží, pokud pravdivostní hodnoty spojek se zvyšuje. Požadavek, aby 1 byl prvkem identity, odpovídá výkladu 1 jako skutečný (a následně 0 jako Nepravdivé). Spojitost, která je často vyžadována také z fuzzy konjunkce, vyjadřuje myšlenku, že zhruba řečeno, velmi malé změny pravdivostních hodnot spojek by neměly makroskopicky ovlivnit pravdivostní hodnotu jejich konjunkce.

T-normy se také používají ke konstrukci průsečík z fuzzy množiny nebo jako základ pro agregační operátory (viz operace fuzzy množiny ). v pravděpodobnostní metrické prostory K zobecnění se používají t-normy nerovnost trojúhelníku běžných metrických prostorů. Jednotlivé t-normy se samozřejmě mohou často vyskytovat v dalších matematických disciplínách, protože třída obsahuje mnoho známých funkcí.

Klasifikace t-norem

T-norma se nazývá kontinuální Pokud to je kontinuální jako funkce, v obvyklé intervalové topologii na [0, 1]². (Podobně pro vlevo, odjet- a pravá kontinuita.)

T-norma se nazývá přísný pokud je spojitá a přísně monotónní.

T-norma se nazývá nilpotentní pokud je spojitá a každá X v otevřeném intervalu (0, 1) je jeho nilpotentní prvek, tj. existuje přirozené číslo n takhle X ${ displaystyle *}$ ... ${ displaystyle *}$ X (n krát) se rovná 0.

Norma t ${ displaystyle *}$ je nazýván Archimedean pokud má Archimédův majetek, tj. pokud pro každého X, y v otevřeném intervalu (0, 1) je přirozené číslo n takhle X ${ displaystyle *}$ ... ${ displaystyle *}$ X (n krát) je menší nebo rovno y.

Obvyklé částečné uspořádání t-norem je bodové, tj.

T₁ ≤ T₂ pokud T₁(A, b) ≤ T₂(A, b) pro všechny A, b v [0, 1].

Jako funkce se někdy nazývají bodově větší t-normy silnější než ty bodově menší. V sémantice fuzzy logiky je však čím větší t-norma, tím slabší (z hlediska logické síly) spojení, které představuje.

Prominentní příklady

Graf minimální t-normy (3D a obrysy)

Minimální t-norma ${ displaystyle top _ { mathrm {min}} (a, b) = min {a, b },}$ také volal Gödelova t-norma, protože se jedná o standardní sémantiku pro konjunkci v Gödelova fuzzy logika. Kromě toho se vyskytuje ve většině fuzzy logik založených na t-normách jako standardní sémantika pro slabou konjunkci. Je to bodově největší t-norma (viz vlastnosti t-norem níže).

Graf t-normy produktu

Norma produktu ${ displaystyle top _ { mathrm {prod}} (a, b) = a cdot b}$ (běžný součin reálných čísel). Kromě jiných použití je produkt t-normou standardní sémantikou silné konjunkce v fuzzy logika produktu. Je to přísná Archimédova t-norma.

Graf Łukasiewiczovy t-normy

Łukasiewiczova t-norma ${ displaystyle top _ { mathrm {Luk}} (a, b) = max {0, a + b-1 }.}$ Název pochází ze skutečnosti, že t-norma je standardní sémantika silné konjunkce v Łukasiewicz fuzzy logika. Je to nilpotentní archimédova t-norma, bodově menší než produktová t-norma.

Graf drastické t-normy. Funkce je nespojitá na řádcích 0 < X = 1 a 0 < y = 1.

Drastická t-norma

{ displaystyle top _ { mathrm {D}} (a, b) = { begin {cases} b & { mbox {if}} a = 1 a & { mbox {if}} b = 1 0 & { mbox {jinak.}} End {cases}}}

Název odráží skutečnost, že drastická t-norma je bodově nejmenší t-normou (viz vlastnosti t-norem níže). Je to pravá spojitá archimédova t-norma.

Graf nilpotentního minima. Funkce je nespojitá na řádku 0 < X = 1 − y < 1.

Nilpotentní minimum

{ displaystyle top _ { mathrm {nM}} (a, b) = { begin {cases} min (a, b) & { mbox {if}} a + b> 1 0 & { mbox {jinak}} end {případy}}}

je standardní příklad t-normy, která je vlevo spojitá, ale ne spojitá. Navzdory svému názvu není nilpotentní minimum nilpotentní t-normou.

Graf produktu Hamacher

Produkt Hamacher

{ displaystyle top _ { mathrm {H} _ {0}} (a, b) = { begin {cases} 0 & { mbox {if}} a = b = 0 { frac {ab} {a + b-ab}} & { mbox {jinak}} end {případy}}}

je přísná archimédova t-norma a důležitý zástupce parametrických tříd třídy Hamacherovy t-normy a T-normy Schweizer – Sklar.

Vlastnosti t-norem

Drastická t-norma je bodově nejmenší t-norma a minimum je bodová největší t-norma:

{ displaystyle top _ { mathrm {D}} (a, b) leq top (a, b) leq mathrm { top _ {min}} (a, b),}

pro jakoukoli t-normu

{ displaystyle top}

a všechno A, b v [0, 1].

Pro každou t-normu T působí číslo 0 jako nulový prvek: T (A, 0) = 0 pro všechny A v [0, 1].

T-norma T má nulové dělitele právě když má nilpotentní elementy; každý nilpotentní prvek T je také nulovým dělitelem T. Sada všech nilpotentních prvků je interval [0,A] nebo [0,A), pro některé A v [0, 1].

Vlastnosti spojitých t-norem

Ačkoli reálné funkce dvou proměnných mohou být spojité v každé proměnné, aniž by byly spojité na [0, 1]², u t-norem tomu tak není: t-norma T je spojitá právě tehdy, když je spojitá v jedné proměnné, tj. právě tehdy, když jsou funkce F_y(X) = T (X, y) jsou spojité pro každého y v [0, 1]. Analogické věty platí pro levou a pravou kontinuitu t-normy.

Kontinuální t-norma je Archimedean, právě když jsou 0 a 1 jediné idempotents.

Kontinuální archimédova t-norma je přísná, pokud je 0 jediná nilpotentní živel; jinak je to nilpotentní. Podle definice je navíc spojitá archimédova t-norma T nilpotentní právě tehdy každý X <1 je nilpotentní prvek T. Tedy s kontinuální archimédskou t-normou T jsou buď všechny, nebo žádný z prvků (0, 1) nilpotentní. Pokud je to tak, že všechny prvky v (0, 1) jsou nilpotentní, pak je t-norma izomorfní s Łukasiewiczovou t-normou; tj. existuje přísně rostoucí funkce F takhle

{ displaystyle top (x, y) = f ^ {- 1} ( top _ { mathrm {Luk}} (f (x), f (y)))}}

Pokud na druhou stranu platí, že neexistují žádné nilpotentní prvky T, je t-norma izomorfní s produktem t-normou. Jinými slovy, všechny nilpotentní t-normy jsou izomorfní, Łukasiewiczova t-norma je jejich typickým představitelem; a všechny přísné t-normy jsou izomorfní, s produktem t-normou jako jejich prototypovým příkladem. Samotná Łukasiewiczova t-norma je izomorfní s podřízením t-normy produktu při 0,25, tj. S funkcí p(X, y) = max (0,25, X · y) dne [0,25, 1]².

Pro každou spojitou t-normu je množina jejích idempotentů uzavřenou podmnožinou [0, 1]. Jeho doplněk - soubor všech prvků, které nejsou idempotentní - je proto spojením spočetně mnoha nepřekrývajících se otevřených intervalů. Omezení t-normy na kterýkoli z těchto intervalů (včetně jejích koncových bodů) je Archimedean, a je tedy izomorfní buď s Łukasiewiczovou t-normou, nebo součinem t-normou. Pro takové X, y které nespadají do stejného otevřeného intervalu neidempotentů, hodnotí se t-norma na minimum X a y. Tyto podmínky ve skutečnosti poskytují charakteristiku spojitých t-norem, nazývaných Věta Mostert – Shields, protože každou spojitou t-normu lze tímto způsobem rozložit a popsaná konstrukce vždy přináší spojitou t-normu. Věta může být také formulována následovně:

T-norma je spojitá právě tehdy, když je izomorfní s pořadový součet minimální, Łukasiewicz a produktová t-norma.

Podobná charakterizační věta pro nekontinuální t-normy není známa (ani pro levo-spojité), pouze některé neúplné metody pro konstrukce t-norem byl nalezen.

Reziduum

Pro libovolnou levou spojitou t-normu ${ displaystyle top}$ , existuje jedinečná binární operace ${ displaystyle Rightarrow}$ na [0, 1] takové, že

{ displaystyle top (z, x) leq y}

kdyby a jen kdyby

{ displaystyle z leq (x Rightarrow y)}

pro všechny X, y, z v [0, 1]. Tato operace se nazývá reziduum normy t. V prefixovém zápisu reziduum na t-normu ${ displaystyle top}$ je často označován ${ displaystyle { vec { top}}}$ nebo písmenem R.

Interval [0, 1] vybavený t-normou a jejím zbytkem tvoří a zbytková mříž. Vztah mezi t-normou T a jejím zbytkem R je instancí přídavné jméno (konkrétně a Galoisovo spojení ): reziduum tvoří pravý adjoint R (X, -) funktoru T (-, X) pro každého X v mřížce [0, 1] vzato jako a kategorie poset.

Ve standardní sémantice fuzzy logiky založené na t-normě, kde je konjunkce interpretována t-normou, hraje reziduum roli implikace (často nazývané R-implikace).

Základní vlastnosti rezidua

Li ${ displaystyle Rightarrow}$ je reziduum levé spojité t-normy ${ displaystyle top}$ , pak

{ displaystyle (x Rightarrow y) = sup {z mid top (z, x) leq y }.}

V důsledku toho pro všechny X, y v jednotkovém intervalu,

{ displaystyle (x Rightarrow y) = 1}

kdyby a jen kdyby

{ displaystyle x leq y}

a

{ displaystyle (1 Rightarrow y) = y.}

Li ${ displaystyle *}$ je levá spojitá t-norma a ${ displaystyle Rightarrow}$ tedy jeho reziduum

{ displaystyle { begin {pole} {rcl} min (x, y) & geq & x * (x Rightarrow y) max (x, y) & = & min ((x Rightarrow y ) Rightarrow y, (y Rightarrow x) Rightarrow x). End {pole}}}

Li ${ displaystyle *}$ je kontinuální, pak v prvním případě platí rovnost.

Zbytky prominentních levých spojitých t-norem

Li X ≤ y, pak R (X, y) = 1 pro jakékoli reziduum R. Následující tabulka proto uvádí hodnoty prominentních reziduí pouze pro X > y.

Zbytky	název	Hodnota pro X > y	Graf
Minimální t-norma	Standardní Godelova implikace	y	Standardní Gödelova implikace. Funkce je na řádku nespojitá y = X < 1.
Norma produktu	Goguen implikace	y / X	Goguenova implikace. Funkce je v bodě diskontinuální X = y = 0.
Łukasiewiczova t-norma	Standardní Łukasiewiczova implikace	1 – X + y	Standardní Łukasiewiczova implikace.
Nilpotentní minimum		max (1 - X, y)	Zbytek nilpotentního minima. Funkce je nespojitá na řádku 0 < y = X < 1.

T-conorms

T-conorms (také zvaný S-normy) jsou duální vůči t-normám v rámci operace obrácení objednávky, která přiřazuje 1 - X na X na [0, 1]. Vzhledem k t-normě ${ displaystyle top}$ , doplňkový soubor je definován

{ displaystyle bot (a, b) = 1- top (1-a, 1-b).}

To zobecňuje De Morganovy zákony.

Z toho vyplývá, že t-conorm splňuje následující podmínky, které lze použít pro ekvivalentní axiomatickou definici t-conorms nezávisle na t-normách:

Komutativita: ⊥ (A, b) = ⊥(b, A)
Monotónnost: ⊥ (A, b) ≤ ⊥(C, d) pokud A ≤ C a b ≤ d
Asociativita: ⊥ (A, ⊥(b, C)) = ⊥(⊥(A, b), C)
Prvek identity: ⊥ (A, 0) = A

T-conorms se používají k reprezentaci logická disjunkce v fuzzy logika a svaz v teorie fuzzy množin.

Příklady t-conorms

Důležité t-conorms jsou ty dvojí k prominentním t-normám:

Graf maximálního t-conorm (3D a obrysy)

Maximální t-conorm ${ displaystyle bot _ { mathrm {max}} (a, b) = max {a, b }}$ , duální k minimální t-normě, je nejmenší t-conorm (viz vlastnosti t-conorms níže). Je to standardní sémantika pro disjunkce v Gödelova fuzzy logika a pro slabé disjunkce ve všech fuzzy logikách založených na t-normách.

Graf pravděpodobnostního součtu

Pravděpodobnostní součet ${ displaystyle bot _ { mathrm {sum}} (a, b) = a + b-a cdot b = 1- (1-a) cdot (1-b)}$ je dvojí vůči produktové t-normě. v teorie pravděpodobnosti vyjadřuje pravděpodobnost spojení nezávislých Události. Je to také standardní sémantika silné disjunkce v takových rozšířeních fuzzy logika produktu ve kterém je definovatelný (např. ty, které obsahují involutivní negaci).

Graf t-conorm omezeného součtu

Vázaná částka ${ displaystyle bot _ { mathrm {Luk}} (a, b) = min {a + b, 1 }}$ je dvojí vůči Łukasiewiczově t-normě. Je to standardní sémantika pro silnou disjunkci v Łukasiewicz fuzzy logika.

Graf drastického t-conorm. Funkce je nespojitá na řádcích 1> X = 0 a 1> y = 0.

Drastický t-conorm

{ displaystyle bot _ { mathrm {D}} (a, b) = { begin {cases} b & { mbox {if}} a = 0 a & { mbox {if}} b = 0 1 & { mbox {jinak,}} end {případů}}}

duální vůči drastické t-normě, je největší t-conorm (viz vlastnosti t-conorms níže).

Graf nilpotentního maxima. Funkce je nespojitá na řádku 0 < X = 1 – y < 1.

Nilpotentní maximum, duální na nilpotentní minimum:

{ displaystyle bot _ { mathrm {nM}} (a, b) = { začátek {případů} max (a, b) & { mbox {if}} a + b <1 1 & { mbox {jinak.}} end {cases}}}

Graf Einsteinovy sumy

Einsteinova suma (porovnej vzorec přidání rychlosti pod speciální relativitou)

{ displaystyle bot _ { mathrm {H} _ {2}} (a, b) = { frac {a + b} {1 + ab}}}

je dvojí k jednomu z Hamacherovy t-normy.

Vlastnosti t-conorms

Mnoho vlastností t-conorms lze získat dualizací vlastností t-norem, například:

Pro jakoukoli t-konormu ⊥ je číslo 1 ničícím prvkem: ⊥ (A, 1) = 1, pro všechny A v [0, 1].
D-to-t-norms, all t-conorms are bounded by the maximum and the drastic t-conorm:

{ displaystyle mathrm { bot _ {max}} (a, b) leq bot (a, b) leq bot _ { mathrm {D}} (a, b)}

, pro jakýkoli t-conorm

{ displaystyle bot}

a všechno A, b v [0, 1].

Další vlastnosti vyplývají ze vztahů mezi t-normami a t-conorms nebo jejich souhrou s jinými operátory, např .:

Norma t distribuuje přes t-conorm ⊥, tj.

T (X, ⊥(y, z)) = ⊥ (T (X, y), T (X, z)) pro všechny X, y, z v [0, 1],

právě když ⊥ je maximální t-conorm. Duálně se jakýkoli t-conorm distribuuje nad minimum, ale ne nad jinou t-normu.

Nestandardní negátory

A negátor ${ displaystyle n: [0,1] až [0,1]}$ je monotónní padající, tj. E. mapování zpětné objednávky s ${ displaystyle n (0) = 1}$ a ${ displaystyle n (1) = 0}$ (v jiném zápisu: ${ displaystyle 0 mapsto 1}$ a ${ displaystyle 1 mapsto 0}$ ). Negátor n se nazývá

přísný v případě přísné monotónnosti
silný pokud je přísný a involutivní (viz: involuce ): ${ displaystyle forall}$ ${ displaystyle x v [0,1]: n (n (x)) = x}$ .

Standardní (kanonický) negátor je ${ displaystyle n (x) = 1-x, x v [0,1]}$ , což je přísné i silné. Protože se ve výše uvedené definici dvojice t-norm / t-conorm používá standardní negátor, lze to zobecnit následovně:

A De Morgan Triplet je trojnásobek (T, ⊥, n) iff (jen a jen pokud)

T je t-norma
⊥ je t-conorm podle axiomatické definice t-conorms, jak je uvedeno výše
n je silný negátor
${ displaystyle forall a, b in [0,1]: , n ( perp (a, b)) = top (n (a), n (b))}$ .

^[1]

Viz také

Reference

^ Ismat Beg, Samina Ashraf: Měření podobnosti pro fuzzy množiny, na adrese: Applied and Computational Mathematics, březen 2009, k dispozici na Research Gate od 23. listopadu 2016

Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; and Pap, Endre (2000), Trojúhelníkové normy. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6416-3.
Hájek, Petr (1998), Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6
Cignoli, Roberto L.O .; D'Ottaviano, Itala M.L .; a Mundici, Daniele (2000), Algebraické základy mnohonásobného uvažování. Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6009-5
Fodor, János (2004), "Levé spojité t-normy ve fuzzy logice: Přehled". Acta Polytechnica Hungarica 1(2), ISSN 1785-8860 [1]

[1] Ismat Beg, Samina Ashraf: Měření podobnosti pro fuzzy množiny, na adrese: Applied and Computational Mathematics, březen 2009, k dispozici na Research Gate od 23. listopadu 2016

[1]