Fuzzy množinové operace - Fuzzy set operations

A operace fuzzy množiny je úkon na fuzzy množiny. Tyto operace jsou zobecněním ostrý set operace. Existuje více než jedno možné zobecnění. Nejčastěji používané operace se nazývají standardní operace fuzzy množiny. Existují tři operace: fuzzy doplňky, fuzzy křižovatky, a fuzzy odbory.

Standardní operace fuzzy množiny

Nechť A a B jsou fuzzy množiny, že A, B ⊆ U, u je libovolný prvek (např. Hodnota) ve vesmíru U: u ∈ U.

Standardní doplněk

Doplněk je někdy označen ∁A nebo A∁ namísto ¬A.

Standardní křižovatka
Standardní spojení

Obecně se volá trojnásobek (i, u, n) De Morgan Triplet iff

tak pro všechny X,y ∈ [0, 1] platí:

u(X,y) = n( i( n(X), n(y) ) )

(zobecněný vztah De Morgana).[1] To implikuje níže podrobně uvedené axiomy.

Fuzzy doplňuje

μA(X) je definována jako míra, do jaké X patří A. Nechat ∁A označují fuzzy doplněk A typu C. Pak μ∁A(X) je míra, do jaké X patří ∁Aa do jaké míry X nepatří A. (μA(X) je tedy míra, do jaké X nepatří ∁A.) Nechť doplněk ∁A být definován funkcí

C : [0,1] → [0,1]
Pro všechny X ∈ U: μ∁A(X) = C(μA(X))

Axiomy pro fuzzy doplňky

Axiom C1. Hraniční podmínka
C(0) = 1 a C(1) = 0
Axiom c2. Monotónnost
Pro všechny A, b ∈ [0, 1], pokud A < b, pak C(A) > C(b)
Axiom c3. Kontinuita
C je spojitá funkce.
Axiom c4. Zapojení
C je involuce, což znamená, že C(C(A)) = A pro každého A ∈ [0,1]

C je silný negátor (aka fuzzy doplněk).

Funkce c splňující axiomy c1 a c2 má alespoň jeden pevný bod a* s c (a*) = a*, a pokud je splněn také axiom c3, existuje přesně jeden takový fixní bod. Pro standardní negátor c (x) = 1-x je jedinečný fixpoint a* = 0.5 .[2]

Fuzzy křižovatky

Hlavní článek: T-norma

Průnik dvou fuzzy množin A a B je obecně určen binární operací na jednotkovém intervalu, funkce formuláře

i:[0,1]×[0,1] → [0,1].
Pro všechny X ∈ U: μA ∩ B(X) = i[μA(X), μB(X)].

Axiomy pro fuzzy průnik

Axiom i1. Hraniční podmínka
i(A, 1) = A
Axiom i2. Monotónnost
b ≤ d naznačuje i(A, b) ≤ i(A, d)
Axiom i3. Komutativita
i(A, b) = i(b, A)
Axiom i4. Asociativita
i(A, i(b, d)) = i(i(A, b), d)
Axiom i5. Kontinuita
i je spojitá funkce
Axiom i6. Subidempotence
i(A, A) ≤ A
Axiom i7. Přísná monotónnost
i (A1, b1) ≤ i (A2, b2) pokud A1 ≤ A2 a b1 ≤ b2

Axiomy i1 až i4 definují a t-norma (aka fuzzy křižovatka). Standardní t-norma min je jediná idempotentní t-norma (tj. i (A1, A1) = A pro všechny A ∈ [0,1]).[2]

Fuzzy odbory

Spojení dvou fuzzy množin A a B je obecně určen binární operací na jednotkové intervalové funkci formuláře

u:[0,1]×[0,1] → [0,1].
Pro všechny X ∈ U: μA ∪ B(X) = u[μA(X), μB(X)].

Axiomy pro fuzzy sjednocení

Axiom u1. Hraniční podmínka
u(A, 0) =u(0 ,A) = A
Axiom u2. Monotónnost
b ≤ d naznačuje u(A, b) ≤ u(A, d)
Axiom u3. Komutativita
u(A, b) = u(b, A)
Axiom u4. Asociativita
u(A, u(b, d)) = u(u(A, b), d)
Axiom u5. Kontinuita
u je spojitá funkce
Axiom u6. Superidota
u(A, A) ≥ A
Axiom u7. Přísná monotónnost
A1 < A2 a b1 < b2 naznačuje u(A1, b1) < u(A2, b2)

Axiomy u1 až u4 definují a t-conorm (aka s-norma nebo fuzzy křižovatka). Standardní t-conorm max je jediný idempotentní t-conorm (tj. U (a1, a1) = a pro všechny a ∈ [0,1]).[2]

Agregační operace

Agregační operace na fuzzy množinách jsou operace, při nichž je několik fuzzy množin kombinováno žádoucím způsobem, aby vznikla jedna fuzzy množina.

Agregační operace zapnuta n fuzzy množina (2 ≤ n) je definován funkcí

h:[0,1]n → [0,1]

Axiomy pro fuzzy množiny operací agregace

Axiom h1. Hraniční podmínka
h(0, 0, ..., 0) = 0 a h(1, 1, ..., 1) = jedna
Axiom h2. Monotónnost
Pro jakýkoli pár <A1, A2, ..., An> a <b1, b2, ..., bn> z n-tuple takhle Ai, bi ∈ [0,1] pro všechny i ∈ Nn, pokud Ai ≤ bi pro všechny i ∈ Nn, pak h(A1, A2, ...,An) ≤ h(b1, b2, ..., bn); to je h je monotónní rostoucí ve všech svých argumentech.
Axiom h3. Kontinuita
h je spojitá funkce.

Viz také

Další čtení

  • Klir, George J.; Bo Yuan (1995). Fuzzy množiny a fuzzy logika: teorie a aplikace. Prentice Hall. ISBN  978-0131011717.

Reference

  1. ^ Ismat Beg, Samina Ashraf: Měření podobnosti pro fuzzy množiny, na adrese: Applied and Computational Mathematics, březen 2009, k dispozici na Research Gate od 23. listopadu 2016
  2. ^ A b C Günther Rudolph: Výpočetní inteligence (PPS), TU Dortmund, Algorithm Engineering LS11, zimní semestr 2009/10. Všimněte si, že tento list power pointu může mít určité problémy se vykreslováním speciálních znaků