Konstrukce t-norem - Construction of t-norms

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice t-normy jsou speciální druh binárních operací na intervalu reálných jednotek [0, 1]. Rozličný konstrukce t-norem, buď explicitní definicí, nebo transformací z dříve známých funkcí, poskytují množství příkladů a tříd t-norem. To je důležité například pro hledání protiklady nebo dodávat t-normy se zvláštními vlastnostmi pro použití ve strojírenských aplikacích fuzzy logika. Mezi hlavní způsoby konstrukce t-norem patří použití generátory, definování parametrické třídy norem t, rotacenebo pořadové částky norem t.

Relevantní pozadí najdete v článku na t-normy.

Generátory t-norem

Metoda konstrukce t-norem generátory spočívá v použití unární funkce (generátor) transformovat některé známé binární funkce (nejčastěji sčítání nebo násobení) na t-normu.

Aby bylo možné používat neobjektivní generátory, které nemají inverzní funkce, následující pojem pseudo-inverzní funkce je zaměstnán:

Nechat F: [A, b] → [C, d] být monotónní funkcí mezi dvěma uzavřenými podintervaly prodloužená reálná čára. The pseudo-inverzní funkce na F je funkce F ⁽⁻¹⁾: [C, d] → [A, b] definováno jako

${displaystyle f ^ {(- 1)} (y) = {egin {cases} sup {xin [a, b] mid f (x) y} & {ext {for}} f {ext {nerostoucí.}} konec {případů}}}$

Generátory aditiv

Konstrukce t-norem generátory aditiv je založena na následující větě:

Nechat F: [0, 1] → [0, + ∞] být přísně klesající funkcí tak, že F(1) = 0 a F(X) + F(y) je v rozmezí F nebo rovno F(0⁺) nebo + ∞ pro všechny X, y v [0, 1]. Pak funkce T: [0, 1]² → [0, 1] definováno jako

T(X, y) = F ^(-1)(F(X) + F(y))

je t-normou.

Alternativně se lze vyhnout použití pojmu pseudo-inverzní funkce tím, že máme ${displaystyle T (x, y) = f ^ {- 1} left (min left (f (0 ^ {+}), f (x) + f (y) ight) ight)}$. Odpovídající reziduum lze poté vyjádřit jako ${displaystyle (xRightarrow y) = f ^ {- 1} vlevo (max vlevo (0, f (y) -f (x) ight) ight)}$. A biresiduum jako ${displaystyle (xLeftrightarrow y) = f ^ {- 1} vlevo (vlevo | f (x) -f (y) ight | ight)}$.

Pokud je t-norma T vyplývá z druhé konstrukce funkcí F což je tedy spojitá doprava v 0 F se nazývá generátor přísad z T.

Příklady:

• Funkce F(X) = 1 – X pro X v [0, 1] je aditivní generátor Łukasiewiczovy t-normy.
• Funkce F definováno jako F(X) = –Log (X) pokud 0 < X ≤ 1 a F(0) = + ∞ je aditivní generátor součinu t-norm.
• Funkce F definováno jako F(X) = 2 – X pokud 0 ≤ X <1 a F(1) = 0 je aditivní generátor drastické t-normy.

Základní vlastnosti generátorů aditiv shrnuje následující věta:

Nechat F: [0, 1] → [0, + ∞] být aditivní generátor t-normy T. Pak:

• T je Archimédova t-norma.
• T je spojitý právě tehdy F je spojitý.
• T je přísně monotónní právě tehdy F(0) = +∞.
• Každý prvek (0, 1) je nilpotentní prvek T právě když f (0) <+ ∞.
• Násobek F kladnou konstantou je také aditivní generátor T.
• T nemá žádné netriviální idempotenty. (V důsledku toho např. Minimální t-norma nemá žádný aditivní generátor.)

Multiplikativní generátory

Izomorfismus mezi sčítáním na [0, + ∞] a násobením na [0, 1] logaritmem a exponenciální funkcí umožňuje obousměrné transformace mezi aditivními a multiplikativními generátory t-normy. Li F je aditivní generátor t-normy T, pak funkce h: [0, 1] → [0, 1] definováno jako h(X) = e^−F (X) je multiplikativní generátor z T, tj. funkce h takhle

• h se přísně zvyšuje
• h(1) = 1
• h(X) · h(y) je v rozmezí h nebo rovno 0 nebo h(0+) pro všechny X, y v [0, 1]
• h je spojitá doprava v 0
• T(X, y) = h ⁽⁻¹⁾(h(X) · h(y)).

Naopak, pokud h je multiplikativní generátor T, pak F: [0, 1] → [0, + ∞] definováno F(X) = −log (h(x)) je aditivní generátor T.

Parametrické třídy t-norem

Mnoho rodin souvisejících t-norem lze definovat explicitním vzorcem v závislosti na parametru p. V této části jsou uvedeny nejznámější parametrizované rodiny t-norem. V seznamu budou použity následující definice:

• Rodina t-norem T_p parametrizováno pomocí p je vzrůstající -li T_p(X, y) ≤ T_q(X, y) pro všechny X, y v [0, 1] kdykoli p ≤ q (podobně pro klesající a přísně zvýšení nebo snížení).
• Rodina t-norem T_p je kontinuální s ohledem na parametr p -li

${displaystyle lim _ {p o p_ {0}} T_ {p} = T_ {p_ {0}}}$

pro všechny hodnoty p₀ parametru.

T-normy Schweizer – Sklar

Graf (3D a obrysy) t-normy Schweizer – Sklar s p = 2

Rodina T-normy Schweizer – Sklar, představený Bertholdem Schweizerem a Abe Sklar na počátku šedesátých let je dána parametrickou definicí

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SS}} (x, y) = {egin {cases} T_ {min} (x, y) & {ext {if}} p = -infty (x ^ {p } + y ^ {p} -1) ^ {1 / p} & {ext {if}} - infty$

T-norma Schweizer – Sklar ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SS}}}$ je

• Archimedean právě tehdy p > −∞
• Kontinuální tehdy a jen tehdy p < +∞
• Přísné právě tehdy, když −∞ < p ≤ 0 (pro p = -1 je to produkt Hamacher)
• Nilpotentní právě tehdy, když 0 < p <+ ∞ (pro p = 1 je to Łukasiewiczova t-norma).

Rodina se přísně snižuje p ≥ 0 a kontinuální vzhledem k p v [−∞, + ∞]. Generátor přísad pro ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SS}}}$ pro −∞ < p <+ ∞ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {SS}} (x) = {egin {cases} -log x & {ext {if}} p = 0 {frac {1-x ^ {p}} {p}} & {ext {jinak.}} konec {případů}}}$

Hamacherovy t-normy

Rodina Hamacherovy t-normy, představený Horstem Hamacherem na konci 70. let, je dán následující parametrickou definicí pro 0 ≤ p ≤ +∞:

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {H}} (x, y) = {egin {cases} T_ {mathrm {D}} (x, y) & {ext {if}} p = + infty 0 & { ext {if}} p = x = y = 0 {frac {xy} {p + (1-p) (x + y-xy)}} & {ext {jinak.}} konec {případů}}}$

T-norma ${displaystyle T_ {0} ^ {mathrm {H}}}$ se nazývá Produkt Hamacher.

Hamacherovy t-normy jsou jedinými t-normami, které jsou racionálními funkcemi. Hamacherovy t-normy ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {H}}}$ je přísný právě tehdy p <+ ∞ (pro p = 1 je to produktová t-norma). Rodina se striktně zmenšuje a je kontinuální p. Generátor přísad ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {H}}}$ pro p <+ ∞ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {H}} (x) = {egin {cases} {frac {1-x} {x}} a {ext {if}} p = 0 log {frac {p + ( 1-p) x} {x}} a {ext {jinak.}} Konec {případů}}}$

Frank t-normy

Rodina Frank t-normy, zavedený M. J. Frankem na konci 70. let, je dán parametrickou definicí pro 0 ≤ p ≤ + ∞ takto:

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {F}} (x, y) = {egin {cases} T_ {mathrm {min}} (x, y) & {ext {if}} p = 0 T_ {mathrm {prod}} (x, y) & {ext {if}} p = 1 T_ {mathrm {Luk}} (x, y) & {ext {if}} p = + infty log _ {p} vlevo (1+ {frac {(p ^ {x} -1) (p ^ {y} -1)} {p-1}} ight) & {ext {jinak.}} Konec {případů}}}$

Frank t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {F}}}$ je přísné, pokud p <+ ∞. Rodina se striktně zmenšuje a je kontinuální p. Generátor přísad pro ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {F}}}$ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {F}} (x) = {egin {cases} -log x & {ext {if}} p = 1 1-x & {ext {if}} p = + infty log {frac {p-1} {p ^ {x} -1}} a {ext {jinak.}} konec {případů}}}$

Yagerovy t-normy

Graf Yagerovy t-normy s p = 2

Rodina Yagerovy t-normy, představený počátkem 80. let 20. století Ronald R. Yager, je uveden pro 0 ≤ p ≤ + ∞ o

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {Y}} (x, y) = {egin {cases} T_ {mathrm {D}} (x, y) & {ext {if}} p = 0 max left ( 0,1 - ((1-x) ^ {p} + (1-y) ^ {p}) ^ {1 / p} ight) & {ext {if}} 0$

Yagerova t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {Y}}}$ je nilpotentní právě tehdy, když 0 < p <+ ∞ (pro p = 1 je to Łukasiewiczova t-norma). Rodina se přísně rozrůstá a kontinuálně respektuje p. Yagerova t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {Y}}}$ pro 0 < p <+ ∞ vzniká z Łukasiewiczovy t-normy zvýšením jejího aditivního generátoru na výkon p. Generátor přísad ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {Y}}}$ pro 0 < p <+ ∞ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {Y}} (x) = (1-x) ^ {p}.}$

T-normy Aczél – Alsina

Rodina T-normy Aczél – Alsina, který na začátku 80. let představili János Aczél a Claudi Alsina, je uveden pro 0 ≤ p ≤ + ∞ o

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {AA}} (x, y) = {egin {cases} T_ {mathrm {D}} (x, y) & {ext {if}} p = 0 e ^ { -left (| log x | ^ {p} + | log y | ^ {p} ight) ^ {1 / p}} a {ext {if}} 0$

T-norma Aczél – Alsina ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {AA}}}$ je přísný právě tehdy, když 0 < p <+ ∞ (pro p = 1 je to produktová t-norma). Rodina se přísně rozrůstá a kontinuálně respektuje p. T-norma Aczél – Alsina ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {AA}}}$ pro 0 < p <+ ∞ vzniká z t-normy produktu zvýšením jeho aditivního generátoru na výkon p. Generátor přísad ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {AA}}}$ pro 0 < p <+ ∞ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {AA}} (x) = (- log x) ^ {p}.}$

T-normy Dombi

Rodina T-normy Dombi, který představil József Dombi (1982), je uveden pro 0 ≤ p ≤ + ∞ o

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {D}} (x, y) = {egin {cases} 0 & {ext {if}} x = 0 {ext {or}} y = 0 T_ {mathrm {D} } (x, y) & {ext {if}} p = 0 T_ {mathrm {min}} (x, y) & {ext {if}} p = + infty {frac {1} {1 + vlevo (vlevo ({frac {1-x} {x}} ight) ^ {p} + vlevo ({frac {1-y} {y}} ight) ^ {p} ight) ^ {1 / p}}} & {ext {jinak.}} end {cases}}}$

Dombi t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {D}}}$ je přísný právě tehdy, když 0 < p <+ ∞ (pro p = 1 je to produkt Hamacher). Rodina se přísně rozrůstá a kontinuálně respektuje p. Dombi t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {D}}}$ pro 0 < p <+ ∞ vychází z t-normy produktu Hamacher zvýšením jeho aditivního generátoru na výkon p. Generátor přísad ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {D}}}$ pro 0 < p <+ ∞ je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {D}} (x) = left ({frac {1-x} {x}} ight) ^ {p}.}$

Sugeno – Weberovy t-normy

Rodina Sugeno – Weberovy t-normy byl představen na začátku 80. let Siegfriedem Weberem; duální t-conorms byly definovány již na začátku 70. let Michio Sugenem. Udává se pro −1 ≤ p ≤ + ∞ o

${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SW}} (x, y) = {egin {cases} T_ {mathrm {D}} (x, y) & {ext {if}} p = -1 max vlevo (0, {frac {x + y-1 + pxy} {1 + p}} ight) & {ext {if}} - 1$

Sugeno – Weberova t-norma ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SW}}}$ je nilpotentní právě tehdy, když −1 < p <+ ∞ (pro p = 0 je to Łukasiewiczova t-norma). Rodina se přísně rozrůstá a kontinuálně respektuje p. Generátor přísad ${displaystyle T_ {p} ^ {mathrm {SW}}}$ pro 0 < p <+ ∞ [sic] je

${displaystyle f_ {p} ^ {mathrm {SW}} (x) = {egin {cases} 1-x & {ext {if}} p = 0 1-log _ {1 + p} (1 + px) & {ext {jinak.}} konec {případů}}}$

Pořadové částky

The pořadový součet konstruuje t-normu z rodiny t-norem tak, že je zmenší na disjunktní podintervaly intervalu [0, 1] a dokončí t-normu pomocí minima na zbytku jednotkového čtverce. Je založen na následující větě:

Nechat T_i pro i v sadě indexů Já být rodinou t-norem a (A_i, b_i) rodina párových disjunktních (neprázdných) otevřených podintervalů [0, 1]. Pak funkce T: [0, 1]² → [0, 1] definováno jako

${displaystyle T (x, y) = {egin {cases} a_ {i} + (b_ {i} -a_ {i}) cdot T_ {i} vlevo ({frac {x-a_ {i}} {b_ { i} -a_ {i}}}, {frac {y-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i}}} ight) & {ext {if}} x, yin [a_ {i}, b_ {i}] ^ {2} min (x, y) a {ext {jinak}} konec {případů}}}$

je t-normou.

Pořadový součet Łukasiewiczovy t-normy na intervalu [0,05, 0,45] a součinové t-normy na intervalu [0,55, 0,95]

Výsledná t-norma se nazývá pořadový součet sčítání (T_i, A_i, b_i) pro i v Já, označeno

${displaystyle T = igoplus olimits _ {iin I} (T_ {i}, a_ {i}, b_ {i}),}$

nebo ${displaystyle (T_ {1}, a_ {1}, b_ {1}) oplus tečky oplus (T_ {n}, a_ {n}, b_ {n})}$ -li Já je konečný.

Pořadové součty t-norem mají následující vlastnosti:

• Každá t-norma je triviální ordinální součet sama za celý interval [0, 1].
• Prázdný pořadový součet (pro prázdnou sadu indexů) poskytuje minimální t-normu T_min. Summandy s minimální t-normou lze libovolně přidávat nebo vynechávat bez změny výsledné t-normy.
• Lze předpokládat bez ztráty obecnosti, že soubor indexů je počitatelný, protože skutečná linie může obsahovat maximálně spočetně mnoho disjunktních podintervalů.
• Pořadový součet t-normy je spojitý právě tehdy, když je každý součet spojitou t-normou. (Analogicky pro levou kontinuitu.)
• Pořadový součet je Archimédův právě tehdy, pokud jde o triviální součet jedné Archimédovy t-normy na celém jednotkovém intervalu.
• Pořadový součet má nulové dělitele, právě když pro nějaký index i, A_i = 0 a T_i má nulové dělitele. (Analogicky pro nilpotentní prvky.)

Li ${displaystyle T = igoplus olimits _ {iin I} (T_ {i}, a_ {i}, b_ {i})}$ je levo-spojitá t-norma, pak její reziduum R je uveden následovně:

${displaystyle R (x, y) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} xleq y a_ {i} + (b_ {i} -a_ {i}) cdot R_ {i} left ({frac { x-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i}}}, {frac {y-a_ {i}} {b_ {i} -a_ {i}}} ight) a {ext {if} } a_ {i}$

kde R_i je reziduum T_i, pro každého i v Já.

Pořadové součty spojitých t-norem

Pořadový součet rodiny spojitých t-norem je spojitá t-norma. Podle věty Mostert – Shields je každá spojitá t-norma vyjádřitelná jako pořadový součet Archimedových spojitých t-norem. Protože tyto jsou buď nilpotentní (a pak izomorfní k Łukasiewiczově t-normě), nebo přísné (pak izomorfní k součinové t-normě), každá spojitá t-norma je izomorfní k pořadovému součtu Łukasiewiczových a součinových t-norem.

Důležité příklady pořadových součtů spojitých t-norem jsou následující:

• Dubois – Prade t-normy, představil Didier Dubois a Henri Prade na začátku 80. let jsou pořadovými součty produktové t-normy na [0,p] pro parametr p v [0, 1] a (výchozí) minimální t-norma ve zbytku jednotkového intervalu. Rodina t-norem Dubois – Prade se s ohledem na p..
• Starosta-Torrens t-normy, zavedené starostou Gasparem a Joan Torrensovou na počátku 90. let, jsou pořadovými součty Łukasiewiczovy t-normy na [0,p] pro parametr p v [0, 1] a (výchozí) minimální t-norma ve zbytku jednotkového intervalu. Rodina t-norem Mayor – Torrens se s ohledem na p..

Rotace

Konstrukci t-norem rotací představil Sándor Jenei (2000). Je založen na následující větě:

Nechat T být levou spojitou t-normou bez nulové dělitele, N: [0, 1] → [0, 1] funkce, která přiřadí 1 - X na X a t = 0,5. Nechat T₁ být lineární transformací T do [t, 1] a ${displaystyle R_ {T_ {1}} (x, y) = sup {zmid T_ {1} (z, x) leq y}.}$ Pak funkce

${displaystyle T_ {mathrm {rot}} = {egin {cases} T_ {1} (x, y) & {ext {if}} x, yin (t, 1] N (R_ {T_ {1}} ( x, N (y))) & {ext {if}} xin (t, 1] {ext {and}} yin [0, t] N (R_ {T_ {1}} (y, N (x) )) & {ext {if}} xin [0, t] {ext {and}} yin (t, 1] 0 & {ext {if}} x, yin [0, t] end {cases}}}$

je levá spojitá t-norma, která se nazývá otáčení t-normy T.

The nilpotentní minimum jako rotace minimální t-norma

Geometricky lze konstrukci popsat jako první zmenšení t-normy T do intervalu [0,5, 1] ​​a poté jej otočit o úhel 2π / 3 v obou směrech kolem přímky spojující body (0, 0, 1) a (1, 1, 0).

Rotace Łukasiewicz, produkt, nilpotentní minimum, a drastický t-norma

Větu lze zobecnit převzetím pro N žádný silná negace, tj involutivní striktně snižující spojitou funkci na [0, 1] a pro t přičemž jedinečný pevný bod zN.

Výsledná t-norma má následující rotační invariance majetek s ohledem naN:

T(X, y) ≤ z kdyby a jen kdyby T(y, N(z)) ≤ N(X) pro všechny X, y, z v [0, 1].

Negace vyvolaná T_{trouchnivění} je funkce N, to znamená, N(X) = R_{trouchnivění}(X, 0) pro všechny X, kde R_{trouchnivění} je reziduumT_{trouchnivění}.

Viz také

• T-norma
• Fuzzy logika T-normy

Reference

• Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; and Pap, Endre (2000), Trojúhelníkové normy. Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-6416-3.
• Fodor, János (2004), „Levé spojité t-normy ve fuzzy logice: přehled“. Acta Polytechnica Hungarica 1(2), ISSN 1785-8860 [1]
• Dombi, József (1982), „Obecná třída fuzzy operátorů, třída DeMorgan fuzzy operátorů a fuzziness opatření vyvolaná fuzzy operátory“. Fuzzy sady a systémy 8, 149–163.
• Jenei, Sándor (2000), „Struktura levých spojitých t-norem se silně indukovanými negacemi. (I) Rotační konstrukce“. Journal of Applied Non-Classical Logics 10, 83–92.
• Navara, Mirko (2007), „Trojúhelníkové normy a konormity“, Scholarpedia [2].