Kvazimetrická funkce - Quasisymmetric function

v algebra a zejména v algebraická kombinatorika, a kvazimetrická funkce je jakýkoli prvek v souboru kruh kvazimetrických funkcí což je zase podřetězec formální mocenské řady prsten s počitatelným počtem proměnných. Tento prsten zobecňuje kruh symetrických funkcí. Tento prsten lze realizovat jako specifický limit prsteny kvazisymetrických polynomů v n proměnné, as n jde do nekonečna. Tento prsten slouží jako univerzální struktura, ve které lze vztahy mezi kvazimetrickými polynomy vyjádřit způsobem nezávislým na počtu n proměnných (ale jeho prvky nejsou ani polynomy, ani funkce).

Definice

The kruh kvazimetrických funkcí, označený QSym, lze definovat přes libovolný komutativní prsten R tak jako celá čísla. Kvazimetrické funkce jsou výkonová řada omezeného stupně v proměnných ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, tečky}$ s koeficienty v R, což jsou invariantní posuny v tom smyslu, že koeficient monomialu ${ displaystyle x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {k} ^ { alpha _ {k}}}$ se rovná koeficientu monomia ${ displaystyle x_ {i_ {1}} ^ { alpha _ {1}} x_ {i_ {2}} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {i_ {k}} ^ { alpha _ { k}}}$ pro jakoukoli přísně rostoucí posloupnost kladných celých čísel ${ displaystyle i_ {1}$ indexování proměnných a jakékoli kladné celé číslo sekvence ${ displaystyle ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {k})}$ exponentů.^[1]Hodně ze studia kvazisymetrických funkcí je založeno na tom symetrické funkce.

Kvazimetrická funkce v konečně mnoha proměnných je a quasisymmetric polynomiální Symetrické i kvazymetrické polynomy lze charakterizovat pomocí akce z symetrická skupina ${ displaystyle S_ {n}}$na polynomiální kruh v ${ displaystyle n}$ proměnné ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$. Jedna taková akce ${ displaystyle S_ {n}}$ permutuje proměnné a mění polynom ${ displaystyle p (x_ {1}, tečky, x_ {n})}$ iterativní záměnou párů ${ displaystyle (x_ {i}, x_ {i + 1})}$proměnných, které mají po sobě jdoucí indexy. Tyto polynomy nezměněné všemi takovými swapy tvoří podřetězec symetrických polynomů. ${ displaystyle S_ {n}}$ podmíněně permutuje proměnné a mění polynom ${ displaystyle p (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$záměnou párů ${ displaystyle (x_ {i}, x_ {i + 1})}$ proměnnýchaž na v monomilech obsahujících obě proměnné. Tyto polynomy nezměněné všemi takovými podmíněnými swapy tvoří podřetězec kvazisymetrických polynomů. Jedna kvazisymetrická funkce ve čtyřech proměnných ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}}$ je polynom

${ displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} x_ {4} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} x_ {4}. ,}$

Nejjednodušší symetrická funkce obsahující tyto monomie je

${ displaystyle { begin {aligned} x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} ^ {2} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} ^ {2 } x_ {3} x_ {4} + x_ {2} ^ {2} x_ {3} x_ {4} + x_ {1} x_ {2} ^ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ { 2} ^ {2} x_ {4} + x_ {1} x_ {3} ^ {2} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} ^ {2} x_ {4} {} + x_ {1} x_ {2} x_ {3} ^ {2} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} ^ {2} + x_ {1} x_ {3} x_ {4} ^ {2} + x_ {2} x_ {3} x_ {4} ^ {2}. , end {zarovnáno}}}$

Důležité základy

QSym je a odstupňované R-algebra, rozkládající se jako

${ displaystyle operatorname {QSym} = bigoplus _ {n geq 0} operatorname {QSym} _ {n}, ,}$

kde ${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n}}$ je ${ displaystyle R}$-rozpětí všech quasisymmetric funkcí, které jsou homogenní stupně ${ displaystyle n}$. Dvě přírodní základny pro ${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n}}$ jsou monomiální základ ${ displaystyle {M _ { alpha} }}$ a základní základ ${ displaystyle {F _ { alpha} }}$ indexováno podle složení ${ displaystyle alpha = ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots, alpha _ {k})}$ z ${ displaystyle n}$, označeno ${ displaystyle alpha vDash n}$. Monomiální základ tvoří ${ displaystyle M_ {0} = 1}$ a všechny formální mocenské řady

${ displaystyle M _ { alpha} = součet _ {i_ {1}$

Základní základ tvoří ${ displaystyle F_ {0} = 1}$ a všechny formální mocenské řady

${ displaystyle F _ { alpha} = součet _ { alpha succeq beta} M _ { beta}, ,}$

kde ${ displaystyle alpha succeq beta}$ znamená, že můžeme získat ${ displaystyle alpha}$ sečtením sousedních částí ${ displaystyle beta}$například (3,2,4,2)${ displaystyle succeq}$ (3,1,1,1,2,1,2). Tedy, když prsten ${ displaystyle R}$ je prsten z racionální čísla, jeden má

${ displaystyle operatorname {QSym} _ {n} = operatorname {span} _ { mathbb {Q}} {M _ { alpha} mid alpha vDash n } = operatorname {span} _ { mathbb {Q}} {F _ { alpha} mid alpha vDash n }. ,}$

Pak lze definovat algebru symetrické funkce ${ displaystyle Lambda = Lambda _ {0} oplus Lambda _ {1} oplus cdots}$ protože subalgebra QSym překlenula monomiální symetrické funkce ${ displaystyle m_ {0} = 1}$ a všechny formální mocenské řady ${ displaystyle m _ { lambda} = součet M _ { alpha},}$ kde součet přesahuje všechny skladby ${ displaystyle alpha}$ které se přeskupují na rozdělit ${ displaystyle lambda}$. Navíc máme ${ displaystyle Lambda _ {n} = Lambda cap operatorname {QSym} _ {n}}$. Například, ${ displaystyle F _ {(1,2)} = M _ {(1,2)} + M _ {(1,1,1)}}$ a ${ displaystyle m _ {(2,1)} = M _ {(2,1)} + M _ {(1,2)}.}$

Mezi další důležité základy pro kvazimetrické funkce patří základ kvazimetrické Schurovy funkce,^[2] a základy související s výčtem v matroidech.^[3][4]

Aplikace

Kvazimymetrické funkce byly použity v enumerativní kombinatorice, teorii symetrických funkcí, teorii reprezentace a teorii čísel. Aplikace quasisymmetric funkcí zahrnují výčet P-oddílů,^[5][6]obměny,^{[7][8][9][10]} obrazy,^[11] řetězy posetů,^[11][12] redukované rozklady v konečných Coxeterových skupinách (přes Stanley symetrické funkce ),^[11] a parkovací funkce.^[13] V teorii symetrické funkce a teorii reprezentace zahrnují aplikace studium Schubertovy polynomy,^[14][15] Macdonaldovy polynomy,^[16]Hecke algebry,^[17] a Kazhdan – Lusztigovy polynomy.^[18] Quasisymmetric funkce často poskytují silný most mezi kombinatorickými strukturami a symetrickými funkcemi.

Související algebry

Jako odstupňovaná Hopfova algebra je duál prstence kvazisymetrických funkcí prstenem nekomutativních symetrických funkcí. Každá symetrická funkce je také quasisymmetric funkcí, a proto kruh symetrických funkcí je subalgebra kruhu quasisymmetric funkcí.

Kruh quasisymmetric funkcí je koncový objekt v kategorii odstupňovaných Hopfových algeber s jediným znakem.^[19]Proto má jakákoli taková Hopfova algebra morfismus vůči kruhu kvazisymetrických funkcí.

Jedním z příkladů je vrcholová algebra.^[20]

Další související algebry

The Malvenuto – Reutenauerova algebra^[21] je Hopfova algebra založená na permutacích, které se vztahují k prstencům symetrických funkcí, kvazimetrických funkcí a nekomutativní symetrické funkce, (označené Sym, QSym a NSym), jak je znázorněno v následujícím komutativním diagramu. Dualita mezi QSym a NSym uvedená výše se odráží v hlavní úhlopříčce tohoto diagramu.

Mnoho souvisejících Hopfových algeber bylo vyrobeno z Hopfových monoidů v kategorii druhů od Aguiara a Majahana.^[22]

Lze také zkonstruovat kruh kvazimymetrických funkcí v nepřirozených proměnných.^[23][24]

Reference

externí odkazy

• Workshop BIRS o kvazimetrických funkcích