Střídavý polynom - Alternating polynomial

V algebře, an střídavý polynom je polynomiální ${ displaystyle f (x_ {1}, tečky, x_ {n})}$ takový, že když jeden přepne jakékoli dvě z proměnných, znaménko polynomiální změny:

{ displaystyle f (x_ {1}, tečky, x_ {j}, tečky, x_ {i}, tečky, x_ {n}) = - f (x_ {1}, tečky, x_ {i} , dots, x_ {j}, dots, x_ {n}).}

Ekvivalentně, pokud permutuje proměnné, polynom se změní v hodnotě o znak permutace:

{ displaystyle f left (x _ { sigma (1)}, dots, x _ { sigma (n)} right) = mathrm {sgn} ( sigma) f (x_ {1}, dots, x_ {n}).}

Obecněji řečeno, polynom ${ displaystyle f (x_ {1}, tečky, x_ {n}, y_ {1}, tečky, y_ {t})}$ se říká, že je střídavě ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ pokud změní znaménko, pokud jeden přepne kterékoli ze dvou ${ displaystyle x_ {i}}$ opouští ${ displaystyle y_ {j}}$ pevný.^[1]

Vztah k symetrickým polynomům

Výrobky z symetrický a střídavé polynomy (ve stejných proměnných ${ displaystyle x_ {1}, tečky, x_ {n}}$ ) chovat se takto:

součin dvou symetrických polynomů je symetrický,
součin symetrického polynomu a střídavého polynomu se střídá a
součin dvou střídavých polynomů je symetrický.

Toto je přesně tabulka přidání pro parita, přičemž „symetrický“ odpovídá „sudému“ a „střídavý“ odpovídá „lichému“. Přímý součet prostorů symetrických a střídajících se polynomů tedy tvoří a superalgebra (A ${ displaystyle mathbf {Z} _ {2}}$ -odstupňovaná algebra ), kde symetrické polynomy jsou sudá část a střídavé polynomy jsou lichá část. Toto klasifikace nesouvisí s klasifikací polynomů podle stupeň.

Zejména střídavé polynomy tvoří a modul přes algebru symetrických polynomů (lichá část superalgebry je modul přes sudou část); ve skutečnosti je to bezplatný modul úrovně 1, s Vandermondeův polynom v n proměnné jako generátor.

Pokud charakteristický koeficientu prsten je 2, neexistuje žádný rozdíl mezi těmito dvěma pojmy: střídavé polynomy jsou přesně symetrické polynomy.

Vandermondeův polynom

Základní střídavý polynom je Vandermondeův polynom:

{ displaystyle v_ {n} = prod _ {1 leq i

To se jasně střídá, protože přepínání dvou proměnných mění znaménko jednoho výrazu a nemění ostatní.^[2]

Střídavé polynomy jsou přesně Vandermondovy polynomy krát symetrický polynom: ${ displaystyle a = v_ {n} cdot s}$ kde ${ displaystyle s}$ je symetrický. Je to proto, že:

${ displaystyle v_ {n}}$ je faktorem každého střídavého polynomu: ${ displaystyle (x_ {j} -x_ {i})}$ je faktorem každého střídavého polynomu, jako by ${ displaystyle x_ {i} = x_ {j}}$ , polynom je nulový (protože jejich přepnutím se polynom nemění, dostaneme

{ displaystyle f (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {n}) = f (x_ {1}, dots, x_ {j}, dots, x_ {i}, dots, x_ {n}) = - f (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {n}), }

tak

{ displaystyle (x_ {j} -x_ {i})}

je faktor), a tedy

{ displaystyle v_ {n}}

je faktor.

střídavý polynom krát krát symetrický polynom je střídavý polynom; tedy všechny násobky ${ displaystyle v_ {n}}$ jsou střídavé polynomy

Naopak poměr dvou střídavých polynomů je symetrická funkce, možná racionální (nemusí to být nutně polynom), ačkoli poměr střídavého polynomu vůči Vandermondeově polynomu je polynomem.Schurovy polynomy jsou definovány tímto způsobem jako střídavý polynom dělený Vandermondeovým polynomem.

Prstencová struktura

Označujeme tedy kruh symetrických polynomů Λ_n, kruh symetrických a střídavých polynomů je ${ displaystyle Lambda _ {n} [v_ {n}]}$ nebo přesněji ${ displaystyle Lambda _ {n} [v_ {n}] / langle v_ {n} ^ {2} - Delta rangle}$ , kde ${ displaystyle Delta = v_ {n} ^ {2}}$ je symetrický polynom, diskriminující.

To znamená, že kruh symetrických a střídavých polynomů je a kvadratické rozšíření prstence symetrických polynomů, kde jeden sousedil s druhou odmocninou diskriminačního.

Alternativně je to:

{ displaystyle R [e_ {1}, dots, e_ {n}, v_ {n}] / langle v_ {n} ^ {2} - Delta rangle.}

Pokud 2 není invertibilní, situace je poněkud odlišná a je nutné použít jiný polynom ${ displaystyle W_ {n}}$ , a získá jiný vztah; viz Romagny.

Teorie reprezentace

Z pohledu teorie reprezentace, symetrické a střídavé polynomy jsou subreprezentacemi akce symetrické skupiny na n písmena na polynomiálním kruhu v n proměnné. (Formálně působí symetrická skupina n písmena, a tak působí zejména na odvozené objekty objekty zdarma na n písmena, například kruh polynomů.)

Symetrická skupina má dvě jednorozměrná reprezentace: triviální reprezentace a znaková reprezentace. Symetrické polynomy jsou triviální reprezentací a střídavé polynomy jsou znakovou reprezentací. Formálně je skalární rozpětí libovolného symetrického (resp. Střídavého) polynomu triviální (resp. Znakovou) reprezentací symetrické skupiny a vynásobením tenzorů polynomů reprezentacemi.

V charakteristice 2 se nejedná o odlišné reprezentace a analýza je složitější.

Li ${ displaystyle n> 2}$ , existují také další subreprezentace působení symetrické skupiny na kruh polynomů, jak je popsáno v teorie reprezentace symetrické skupiny.

Nestabilní

Střídavé polynomy jsou nestabilní jev (v jazyce stabilní homotopická teorie ): kruh symetrických polynomů v n proměnné lze získat z kruhu symetrických polynomů v libovolně mnoha proměnných vyhodnocením všech proměnných výše ${ displaystyle x_ {n}}$ na nulu: symetrické polynomy jsou tedy stabilní nebo kompatibilní. To však neplatí pro střídavé polynomy, zejména pro Vandermondeův polynom.

Viz také

Poznámky

^ Polynomiální identity a asymptotické metody, str. 12
^ Spíše přeuspořádává pouze ostatní výrazy: pro ${ displaystyle n = 3}$ přepínání ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ Změny ${ displaystyle (x_ {2} -x_ {1})}$ na ${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) = - (x_ {2} -x_ {1})}$ a směny ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {1})}$ s ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {2})}$ , ale nemění své znamení.

Reference

A. Giambruno, Michail Zaicev, Polynomiální identity a asymptotické metody, AMS Bookstore, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7, str. 352
Základní věta o střídavých funkcích autor: Matthieu Romagny, 15. září 2005

[1] Polynomiální identity a asymptotické metody, str. 12

[2] Spíše přeuspořádává pouze ostatní výrazy: pro ${ displaystyle n = 3}$ přepínání ${ displaystyle x_ {1}}$ a ${ displaystyle x_ {2}}$ Změny ${ displaystyle (x_ {2} -x_ {1})}$ na ${ displaystyle (x_ {1} -x_ {2}) = - (x_ {2} -x_ {1})}$ a směny ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {1})}$ s ${ displaystyle (x_ {3} -x_ {2})}$ , ale nemění své znamení.

[1]

[2]