Vandermondeův polynom - Vandermonde polynomial

v algebra, Vandermondeův polynom objednané sady n proměnné ${ displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$, pojmenoval podle Alexandre-Théophile Vandermonde, je polynom:

${ displaystyle V_ {n} = prod _ {1 leq i$

(Některé zdroje používají opačné pořadí ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$, která mění znaménko ${ displaystyle { binom {n} {2}}}$ krát: tedy v některých dimenzích se tyto dva vzorce shodují v znaménku, zatímco v jiných mají opačné znaménka.)

Také se tomu říká Vandermonde determinant, jak to je určující z Vandermondeova matice.

Hodnota závisí na pořadí výrazů: jedná se o střídavý polynom, ne a symetrický polynom.

Střídavě

Definující vlastnost Vandermondeova polynomu je, že je střídavý v položkách, což znamená, že permutuje ${ displaystyle X_ {i}}$ podle lichá permutace změní znaménko a zároveň je permutuje znakem dokonce permutace nezmění hodnotu polynomu - ve skutečnosti se jedná o základní střídavý polynom, jak bude přesně uvedeno níže.

Závisí tedy na pořadí a je nula, pokud jsou dvě položky stejné - to také vyplývá ze vzorce, ale je to také důsledek střídání: pokud jsou dvě proměnné stejné, jejich přepnutím se hodnota nezmění a hodnota se převrátí , poddajný ${ displaystyle V_ {n} = - V_ {n},}$ a tudíž ${ displaystyle V_ {n} = 0}$ (za předpokladu, že charakteristika není 2, jinak je střídání ekvivalentní symetrii).

Naopak, Vandermondeův polynom je faktorem každého střídavého polynomu: jak je uvedeno výše, střídavý polynom zmizí, pokud jsou dvě libovolné proměnné stejné, a proto musí mít ${ displaystyle (X_ {i} -X_ {j})}$ jako faktor pro všechny ${ displaystyle i neq j}$.

Střídavé polynomy

To znamená, že polynom Vandermonde (společně s symetrické polynomy ) generuje střídavé polynomy.

Diskriminační

Jeho náměstí se obecně nazývá diskriminující, i když některé zdroje nazývají samotný Vandermondeův polynom jako diskriminační.

Diskriminační (čtverec Vandermondeova polynomu: ${ displaystyle Delta = V_ {n} ^ {2}}$) nezávisí na pořadí podmínek, jako ${ displaystyle (-1) ^ {2} = 1}$, a je tedy invariantem k neuspořádaný sada bodů.

Pokud někdo naváže Vandermondeův polynom na kruh symetrických polynomů v n proměnné ${ displaystyle Lambda _ {n}}$, jeden získá kvadratické rozšíření ${ displaystyle Lambda _ {n} [V_ {n}] / langle V_ {n} ^ {2} - Delta rangle}$, což je prsten z střídavé polynomy.

Vandermondeův polynom polynomu

Vzhledem k polynomu je Vandermondeův polynom jeho kořenů definován nad rozdělení pole; pro nemonický polynom s předstihovým koeficientem Alze definovat Vandermondeův polynom jako

${ displaystyle V_ {n} = a ^ {n-1} prod _ {1 leq i$

(vynásobení vedoucím výrazem) v souladu s diskriminačním.

Zobecnění

Na libovolných prstenech místo toho jeden používá ke generování střídavých polynomů jiný polynom - viz (Romagny, 2005).

Weylův vzorec znaků

(obrovská generalizace)

Vandermondeův polynom lze považovat za zvláštní případ Weylův vzorec znaků, konkrétně Weylův jmenovatel (případ triviální zastoupení ) z speciální jednotná skupina ${ displaystyle mathrm {SU} (n)}$.

Viz také

• Capelliho polynom (ref )

Reference

• Základní věta o střídavých funkcích autor: Matthieu Romagny, 15. září 2005