Supersingulární povrch K3 - Supersingular K3 surface

v algebraická geometrie, a supersingulární povrch K3 je Povrch K3 přes pole k z charakteristický p > 0 takové, že svahy Frobenius na krystalická kohomologie H2(X,Ž(k)) jsou všechny rovny 1.[1] Tito byli také povoláni Artin supersingulární K3 povrchy. Supersingulární povrchy K3 lze považovat za nejzvláštnější a nejzajímavější ze všech povrchů K3.

Definice a hlavní výsledky

Obecněji řečeno, plynulá projektivní rozmanitost X přes pole charakteristik p > 0 je volána nadpřirozený pokud všechny svahy Frobenia na krystalické kohomologii HA(X,Ž(k)) se rovnají A/ 2, pro všechny A. To zejména dává standardní představu o nadpřirozená abelianská odrůda. Pro rozmanitost X přes konečné pole Fq, je ekvivalentní říci, že vlastní hodnoty Frobenius na l-adická kohomologie HA(X,Ql) se rovnají qA/2 časy kořenů jednoty. Z toho vyplývá, že jakákoli odrůda s pozitivní charakteristikou, jejíž l-adická kohomologie je generována algebraické cykly je supersingulární.

Povrch K3 jehož l-adická kohomologie je generována algebraickými cykly, někdy se jí říká a Shioda supersingulární Povrch K3. Od druhého Betti číslo povrchu K3 je vždy 22, tato vlastnost znamená, že povrch má v sobě 22 nezávislých prvků Picardova skupina (ρ = 22). Z toho, co jsme řekli, musí být povrch K3 s Picardovým číslem 22 supersingulární.

Naopak Tate dohad by znamenalo, že každý supersingulární povrch K3 nad algebraicky uzavřeným polem má Picardovo číslo 22. Toto je nyní známé v každé charakteristice p kromě 2, protože Tateova domněnka byla prokázána pro všechny povrchy K3 v charakteristice p nejméně 3 o Nygaard-Ogus (1985), Maulik (2014), Charles (2013), a Madapusi Pera (2013).

Abychom viděli, že povrchy K3 s Picardovým číslem 22 existují pouze v pozitivní charakteristice, lze použít Hodgeova teorie dokázat, že Picardovo číslo povrchu K3 v charakteristické nule je nejvýše 20. Ve skutečnosti Hodge diamant pro jakýkoli složitý povrch K3 je stejný (viz klasifikace ) a prostřední řádek čte 1, 20, 1. Jinými slovy, h2,0 a h0,2 oba mají hodnotu 1, s h1,1 = 20. Proto je rozměr prostoru překlenutého algebraickými cykly nejvýše 20 v charakteristice nula; povrchy s touto maximální hodnotou se někdy nazývají singulární povrchy K3.

Dalším jevem, který se může vyskytnout pouze u pozitivní charakteristiky, je to, že může být povrch K3 iracionální. Michael Artin poznamenal, že každý neracionální povrch K3 nad algebraicky uzavřeným polem musí mít Picardovo číslo 22. (Zejména neracionální povrch K3 musí být supersingulární.) Naopak Artin předpokládal, že každý povrch K3 s Picardovým číslem 22 musí být iracionální.[2] Artinova domněnka byla prokázána v charakteristice 2 autorem Rudakov a Šafarevič (1978). Důkazy v každé vlastnosti p nejméně 5 z nich si nárokovalo Liedtke (2013) a Lieblich (2014), ale později vyvrácen Bragg & Lieblich (2019).

Dějiny

První příklad povrchu K3 s Picardovým číslem 22 byl dán Tate (1965), který poznamenal, že Fermatova kvartika

w4 + X4 + y4 + z4 = 0

má Picard číslo 22 nad algebraicky uzavřenými poli charakteristiky 3 mod 4. Potom Shioda ukázal, že eliptický modulární povrch úrovně 4 (univerzální zobecněná eliptická křivka E(4) → X(4)) v charakteristice 3 mod 4 je povrch K3 s Picardovým číslem 22, stejně jako Kummerův povrch produktu dvou nadpřirozené eliptické křivky v liché charakteristice. Shimada (2004, 2004b ) ukázal, že všechny povrchy K3 s Picardem číslo 22 jsou dvojité kryty z projektivní rovina. V případě charakteristiky 2 může být nutné, aby dvojitý kryt byl neoddělitelná krytina.

The diskriminující z křižovatka na Picardově skupině povrchu K3 s Picardovým číslem 22 je sudá síla

p2E

charakteristiky p, jak ukázali Artin a Milne. Tady E se nazývá Artin neměnný povrchu K3. Artin to ukázal

1 ≤ E ≤ 10.

K dispozici je odpovídající Artinova stratifikace modulových prostorů supersingulárních povrchů K3, které mají rozměr 9. Podprostor supersingulárních povrchů K3 s Artinovým invariantem E má rozměr E − 1.

Příklady

V charakteristice 2,

z2 = F(X, y) ,

pro dostatečně obecný polynom F(X, y) stupně 6, definuje povrch s 21 izolovanými singularity. Hladký projektiv minimální model takového povrchu je iracionální povrch K3, a tedy povrch K3 s Picardovým číslem 22. Největší invariant Artinu je zde 10.

Podobně v charakteristice 3,

z3 = G(X, y) ,

pro dostatečně obecný polynom G(X, y) stupně 4, definuje povrch s 9 izolovanými singularity. Hladký projektivní minimální model takového povrchu je opět neracionální povrch K3, a proto povrch K3 s Picardovým číslem 22. Nejvyšší Artinův invariant v této rodině je 6.

Dolgachev a Kondo (2003) popsal supersingulární povrch K3 v charakteristice 2 podrobně s Artinem číslo 1.

Kummerovy povrchy

Pokud je charakteristika p je větší než 2, Ogus (1979) ukázal, že každý povrch K3 S s Picardovým číslem 22 a Artinovým invariantem maximálně 2 je povrch Kummer, což znamená minimální rozlišení kvocientu an abelian povrch A podle mapování X ↦ − X. Přesněji, A je supersingulární abelianský povrch, izogenní k součinu dvou supersingulárních eliptických křivek.

Viz také

Poznámky

  1. ^ M. Artin a B. Mazur. Ann. Sci. École Normale Supérieure 10 (1977), 87-131. Str.90.
  2. ^ M. Artin. Ann. Sci. École Normale Supérieure 7 (1974), 543-567. Str. 552.

Reference