Součtová sekvence - Sum-free sequence - Wikipedia

V matematice, a součtová sekvence se zvyšuje sekvence z kladná celá čísla,

${ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots,}$

takový, že žádný termín ${ displaystyle a_ {n}}$ může být reprezentován jako součet libovolné podmnožiny předchozích prvků stejné sekvence.

To se liší od a bez součtu, kde je třeba se vyhnout pouze párům součtů, ale kde tyto součty mohou pocházet z celé množiny, nikoli pouze z předchozích výrazů.

Příklad

The pravomoci dvou,

1, 2, 4, 8, 16, ...

tvoří posloupnost bez součtu: každý člen v posloupnosti je o jeden více než součet všech předchozích výrazů, a proto jej nelze reprezentovat jako součet předchozích výrazů.

Součty vzájemných

O souboru celých čísel se říká, že je malý pokud je součet jeho reciproční konverguje na konečnou hodnotu. Například tím, že věta o prvočísle, prvočísla nejsou malé. Paul Erdős  (1962 ) dokázal, že každá sekvence bez součtu je malá, a zeptal se, jak velký by mohl být součet recipročních čísel. Například součet převrácených hodnot mocnin dvou (a geometrické řady ) jsou dva.

Li ${ displaystyle R}$ označuje maximální součet převrácených hodnot součtu volné sekvence, pak je následným výzkumem známo, že ${ Displaystyle 2.0654$.^[1]

Hustota

Ze skutečnosti, že součtové sekvence jsou malé, vyplývá, že mají nulu Schnirelmannova hustota; to je, pokud ${ displaystyle A (x)}$ je definován jako počet prvků sekvence, které jsou menší nebo rovny ${ displaystyle x}$, pak ${ displaystyle A (x) = o (x)}$. Erdős (1962) ukázal, že pro každou sekvenci bez součtu existuje neomezená posloupnost čísel ${ displaystyle x_ {i}}$ pro který ${ displaystyle A (x_ {i}) = O (x ^ { varphi -1})}$ kde ${ displaystyle varphi}$ je Zlatý řez, a vystavil součtovou sekvenci, pro kterou pro všechny hodnoty ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle A (x) = Omega (x ^ {2/7})}$, následně vylepšeno na ${ displaystyle A (x) = Omega (x ^ {1/3})}$ Deshouillers, Erdős a Melfi v roce 1999 a později ${ displaystyle A (x) = Omega (x ^ {1 / 2- varepsilon})}$ Luczak a Schoen v roce 2000, kteří také dokázali, že exponent 1/2 nelze dále vylepšit.

Poznámky

Reference

• Abbott, H. L. (1987), „O sekvencích bez součtu“, Acta Arithmetica, 48 (1): 93–96, doi:10,4064 / aa-48-1-93-96, PAN  0893466.
• Chen, Yong Gao (2013), „O vzájemném součtu sekvence bez součtu“, Science China Mathematics, 56 (5): 951–966, Bibcode:2013ScChA..56..951C, doi:10.1007 / s11425-012-4540-6.
• Deshouillers, Jean-Marc; Erdős, Pál; Melfi, Giuseppe (1999), „K otázce sekvencí bez součtu“, Diskrétní matematika, 200 (1–3): 49–54, doi:10.1016 / s0012-365x (98) 00322-7, PAN  1692278.
• Erdős, Pál (1962), „Számelméleti megjegyzések, III. Néhány additív számelméleti problémáról“ [Několik poznámek k teorii čísel, III] (PDF), Matematikai Lapok (v maďarštině), 13: 28–38, PAN  0144871.
• Levine, Eugene; O'Sullivan, Joseph (1977), „Horní odhad pro reciproční součet sekvence bez součtu“, Acta Arithmetica, 34 (1): 9–24, doi:10,4064 / aa-34-1-9-24, PAN  0466016.
• Luczak, Tomasz; Schoen, Tomasz (2000), „O maximální hustotě součtových množin“, Acta Arithmetica, 95 (3): 225–229, doi:10,4064 / aa-95-3-225-229, PAN  1793162.
• Yang, Shi Chun (2009), „Poznámka k převrácenému součtu sekvence bez součtu“, Journal of Mathematical Research and Exposition, 29 (4): 753–755, PAN  2549677.
• Yang, Shi Chun (2015), „Horní hranice pro Erdösův reciproční součet sekvence bez součtu“, Scientia Sinica Mathematica, 45 (3): 213–232, doi:10.1360 / N012014-00121.