Sada bez součtu - Sum-free set
v aditivní kombinatorika a teorie čísel podmnožina A z abelianská skupina G se říká, že je bez součtu pokud souprava A⊕A je disjunktní z A. Jinými slovy, A je součet bez rovnice nemá žádné řešení s .
Například sada lichá čísla je podmnožina celých čísel bez součtu a množina {N+1, ..., 2N} tvoří velkou podmnožinu součtu množiny {1, ..., 2N}. Fermatova poslední věta je tvrzení, že pro dané celé číslo n > 2, množina všech nenulových hodnot nth mocniny celých čísel je podmnožina bez součtu.
Některé základní otázky týkající se souprav bez součtu jsou:
- Kolik dílčích sad bez součtu {1, ..., N} jsou tam, pro celé číslo N? Ben Green ukázal[1] že odpověď je , jak předpovídá Cameron – Erdőův dohad[2] (viz Sloanova OEIS: A007865).
- Kolik souprav bez součtu má abelianská skupina G obsahovat?[3]
- Jaká je velikost největší součtu bez abelianské skupiny G obsahuje?[3]
Sada bez součtu se říká, že je maximální pokud to není správná podmnožina další soupravy bez součtu.
Reference
- ^ Green, Ben (listopad 2004). „Domněnka Cameron – Erdős“. Věstník London Mathematical Society. 36 (6): 769–778. arXiv:math.NT / 0304058. doi:10.1112 / S0024609304003650. PAN 2083752.
- ^ P.J. Cameron a P. Erdős, Na počtu množin celých čísel s různými vlastnostmiTeorie čísel (Banff, 1988), de Gruyter, Berlín 1990, str. 61-79
- ^ A b Ben Green a Imre Ruzsa, Soupravy bez součtu v abelianských skupinách, 2005.