Superkompaktní kardinál - Supercompact cardinal

v teorie množin, a superkompaktní kardinál je typ velký kardinál. Vykazují řadu odrazových vlastností.

Formální definice

Pokud je λ nějaké pořadové číslo, κ je λ-superkompaktní znamená, že existuje elementární vložení j z vesmíru PROTI do tranzitivu vnitřní model M s kritický bod κ, j(κ)> λ a

${ displaystyle {} ^ { lambda} M subseteq M ,.}$

To znamená, M obsahuje všechny jeho λ-sekvence. Pak κ je superkompaktní znamená, že je λ-superkompaktní pro všechny řadové řádky λ.

Alternativně je nespočetný kardinál κ superkompaktní pokud pro každého A takové, že |A| ≥ κ existuje a normální míra přes [A]^<κ, v následujícím smyslu.

[A]^<κ je definována takto:

${ displaystyle [A] ^ {< kappa}: = {x subseteq A || x | < kappa } ,.}$

An ultrafiltr U přes [A]^<κ je pokuta pokud je κ-kompletní a ${ displaystyle {x v [A] ^ {< kappa} | a v x } v U}$, pro každého ${ displaystyle a v A}$. Normální míra nad [A]^<κ je skvělý ultrafiltr U přes [A]^<κ s další vlastností, že každá funkce ${ displaystyle f: [A] ^ {< kappa} do A}$ takhle ${ displaystyle {x v [A] ^ {< kappa} | f (x) v x } v U}$ je konstantní na set in ${ displaystyle U}$. Tady "konstanta na setu U„znamená, že existuje ${ displaystyle a v A}$ takhle ${ displaystyle {x v [A] ^ {< kappa} | f (x) = a } v U}$.

Vlastnosti

Superkompaktní kardinálové mají odrazové vlastnosti. Pokud je kardinál s nějakou vlastností (řekněmevelký kardinál ), o kterém svědčí struktura s omezenou pozicí, existuje nad superkompaktním kardinálem κ, potom kardinál s touto vlastností existuje pod κ. Například pokud je κ superkompaktní a Zobecněná hypotéza kontinua drží pod κ pak platí všude, protože bijekce mezi množinou sil ν a kardinálem alespoň ν⁺⁺ by byl svědkem omezené pozice pro selhání GCH na ν, takže by také musel existovat pod κ.

Nalezení kanonického vnitřního modelu pro superkompaktní kardinály je jedním z hlavních problémů teorie vnitřního modelu.

Viz také

• Nezničitelnost
• Silně kompaktní kardinál
• Seznam velkých světových vlastností

Reference

• Drake, F. R. (1974). Teorie množin: Úvod do velkých kardinálů (Studie logiky a základy matematiky; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN  0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Teorie množin, třetí tisíciletí (revidované a rozšířené). Springer. ISBN  3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.). Springer. ISBN  3-540-00384-3.