Nepopsatelný kardinál - Indescribable cardinal

v matematika, a Q-nepopsatelný kardinál je určitý druh velký kardinál číslo, které je těžké popsat v nějakém jazyce Q. Existuje mnoho různých typů nepopsatelných kardinálů, které odpovídají různým možnostem jazyků Q. Byli představeni Hanf & Scott (1961).

Volá se základní číslo κ Πⁿ
_m-nepopsatelný pokud pro každou Π_m propozice φ a nastavte A ⊆ V_κ s (V_{κ + n}, ∈, A) ⊧ φ existuje α <κ s (V_{α + n}, ∈, A ∩ V_α) ⊧ φ. Zde se podíváme na vzorce s m-1 střídáním kvantifikátorů, přičemž nejvzdálenější kvantifikátor je univerzální. Σⁿ
_m-nepopsatelný kardinálové jsou definováni podobným způsobem. Myšlenka je, že κ nelze odlišit (při pohledu zdola) od menších kardinálů žádným vzorcem logiky n + 1. Řádu s m-1 střídáním kvantifikátorů, dokonce s výhodou zvláštního unárního predikátového symbolu (pro A). To znamená, že je velký, protože to znamená, že musí existovat mnoho menších kardinálů s podobnými vlastnostmi.

Volá se základní číslo κ naprosto nepopsatelné pokud je to Πⁿ
_m- nepopsatelné pro všechna kladná celá čísla m a n.

Pokud je α ordinál, volá se základní číslo κ α-nepopsatelné pokud pro každý vzorec φ a každou podmnožinu U z PROTI_κ takové, že φ (U) drží se PROTI_{κ + α} existuje nějaké λ <κ takové, že φ (U ∩ PROTI_λ) drží se PROTI_{λ + α}. Pokud α je nekonečný, pak α-nepopsatelné ordinály jsou naprosto nepopsatelné, a pokud α je konečný, jsou stejné jako Π^α
_ω- nepopsatelné ordinály. α-nepopsatelnost znamená, že α <κ, ale existuje alternativní pojem chytrí kardinálové to dává smysl, když α≥κ: existuje λ <κ a β takové, že φ (U ∩ PROTI_λ) drží se PROTI_{λ + β}.

Π¹
₁- nepopsatelní kardinálové jsou stejní jako slabě kompaktní kardinálové.

Kardinál je nepřístupný, právě když je to Π⁰
_n- nepopsatelné pro všechna kladná celá čísla n, ekvivalentně pokud je to Π⁰
₂-nepopsatelný, ekvivalentně, pokud je Σ¹
₁-nepopsatelný. Kardinál je Σ¹
_{n + 1}-nepopsatelný, pokud je to Π¹
_n-nepopsatelný. Vlastnost bytí Π¹
_n-indescribable is Π¹
_{n + 1}. Pro m> 1 je vlastnost bytí Π^m
_n- nepopsatelné je Σ^m
_n a vlastnost bytí Σ^m
_n-indescribable is Π^m
_n. Tedy pro m> 1 každý kardinál, který je buď Π^m
_{n + 1}- nepopsatelné nebo Σ^m
_{n + 1}-indescribable is both Π^m
_n- nepopsatelné a Σ^m
_n- nepopsatelné a sada takových kardinálů pod ním je nehybná. Síla konzistence je Σ^m
_n-indescribable cardinals is below that of Π^m
_n-indescribable, but for m> 1 it is consistent with ZFC that the least Σ^m
_n-indescribable existuje a je nad nejméně Π^m
_n- nepopsatelný kardinál (to dokazuje konzistence ZFC s Π^m
_n- nepopsatelný kardinál a a^m
_n- nepopsatelný kardinál nad ním).

Měřitelní kardinálové jsou Π²
₁- nepopsatelné, ale nejmenší měřitelný kardinál není Σ²
₁-nepopsatelný. Pod jakýmkoli měřitelným kardinálem je však mnoho naprosto nepopsatelných kardinálů.

Naprosto nepopsatelní kardinálové zůstávají v konstruovatelný vesmír a v jiných kanonických vnitřních modelech a podobně pro Π^m
_n a Σ^m
_n nepopsatelnost.

Reference

Drake, F. R. (1974). Teorie množin: Úvod do velkých kardinálů (Studie logiky a základy matematiky; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
Hanf, W. P .; Scott, D. S. (1961), „Klasifikace nepřístupných kardinálů“, Oznámení Americké matematické společnosti, 8: 445, ISSN 0002-9920
Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.). Springer. doi:10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN 3-540-00384-3.