Havriliak – Negami relaxace - Havriliak–Negami relaxation

The Havriliak – Negami relaxace je empirická modifikace Debye relaxace model v elektromagnetismu. Na rozdíl od modelu Debye je relaxace Havriliak – Negami odpovědná za asymetrie a šíři dielektrická disperze křivka. Model byl poprvé použit k popisu dielektrické relaxace některých polymery,^[1] přidáním dvou exponenciální parametry k Debye rovnici:

${ displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega) = varepsilon _ { infty} + { frac { Delta varepsilon} {(1+ (i omega tau) ^ { alpha}) ^ { beta}}},}$

kde ${ displaystyle varepsilon _ { infty}}$ je permitivita na vysokofrekvenčním limitu, ${ displaystyle Delta varepsilon = varepsilon _ {s} - varepsilon _ { infty}}$ kde ${ displaystyle varepsilon _ {s}}$ je statická nízkofrekvenční permitivita a ${ displaystyle tau}$ je charakteristika čas na odpočinek média. Exponenty ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ popsat asymetrii a šíři odpovídajících spekter.

V závislosti na aplikaci je Fourierova transformace natažená exponenciální funkce může být životaschopnou alternativou, která má o jeden parametr méně.

Pro ${ displaystyle beta = 1}$ rovnice Havriliak – Negami se redukuje na Cole – Coleova rovnice, pro ${ displaystyle alpha = 1}$ do Cole – Davidsonova rovnice.

Matematické vlastnosti

Skutečné a imaginární části

Úložná část ${ displaystyle varepsilon '}$ a ztrátová část ${ displaystyle varepsilon ''}$ permitivity (zde: ${ displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega) = varepsilon '( omega) -i varepsilon' '( omega)}$) lze vypočítat jako

${ displaystyle varepsilon '( omega) = varepsilon _ { infty} + Delta varepsilon left (1 + 2 ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2) + ( omega tau) ^ {2 alpha} vpravo) ^ {- beta / 2} cos ( beta phi)}$

a

${ displaystyle varepsilon '' ( omega) = Delta varepsilon left (1 + 2 ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2) + ( omega tau) ^ {2 alpha} right) ^ {- beta / 2} sin ( beta phi)}$

s

${ displaystyle phi = arctan left ({( omega tau) ^ { alpha} sin ( pi alpha / 2) nad 1 + ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2)} vpravo)}$

Ztráta ztráty

Maximum ztrátové části leží na

${ displaystyle omega _ { rm {max}} = left ({ sin left ({ pi alpha over 2 ( beta +1)} right) over sin left ({ pi alpha beta over 2 ( beta +1)} right)} right) ^ {1 / alpha} tau ^ {- 1}}$

Superpozice Lorentzianů

Relaxaci Havriliak – Negami lze vyjádřit jako superpozici jednotlivých relaxací Debye

${ displaystyle {{ hat { varepsilon}} ( omega) - epsilon _ { infty} přes Delta varepsilon} = int _ { tau _ {D} = 0} ^ { infty} {1 nad 1 + i omega tau _ {D}} g ( ln tau _ {D}) d ln tau _ {D}}$

s distribuční funkcí

${ displaystyle g ( ln tau _ {D}) = {1 over pi} {( tau _ {D} / tau) ^ { alpha beta} sin ( beta theta) nad (( tau _ {D} / tau) ^ {2 alpha} +2 ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} cos ( pi alfa) +1) ^ { beta / 2}}}$

kde

${ displaystyle theta = arctan left ({ sin ( pi alpha) over ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} + cos ( pi alpha)} vpravo )}$

pokud je argument arkustangensu pozitivní, jinak^[2]

${ displaystyle theta = arctan left ({ sin ( pi alpha) over ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} + cos ( pi alpha)} vpravo ) + pi}$

Logaritmické momenty

První logaritmický moment tohoto rozdělení, průměrná logaritmická relaxační doba je

${ displaystyle langle ln tau _ {D} rangle = ln tau + { Psi ( beta) + { rm {Eu}} přes alpha}}$

kde ${ displaystyle Psi}$ je funkce digamma a ${ displaystyle { rm {Eu}}}$ the Eulerova konstanta.^[3]

Inverzní Fourierova transformace

Inverzní Fourierovu transformaci funkce Havriliak-Negami (odpovídající relaxační funkce v časové oblasti) lze vypočítat numericky.^[4] Lze ukázat, že zapojené série expanzí jsou speciální případy Funkce Fox – Wright.^[5] Zejména v časové doméně odpovídající ${ displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega)}$ lze reprezentovat jako

${ displaystyle X (t) = varepsilon _ { infty} delta (t) + { frac { Delta varepsilon} { tau}} vlevo ({ frac {t} { tau}} vpravo) ^ { alpha beta -1} E _ { alpha, alpha beta} ^ { beta} (- (t / tau) ^ { alpha}),}$

kde ${ displaystyle delta (t)}$ je delta funkce Dirac a

${ displaystyle E _ { alpha, beta} ^ { gamma} (z) = { frac {1} { Gamma ( gamma)}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { Gamma ( gamma + k) z ^ {k}} {k! Gamma ( alpha k + beta)}}}$

je speciální instance Funkce Fox – Wright a přesně jsou to tři parametry Funkce Mittag-Leffler^[6] také známá jako funkce Prabhakar. Funkce ${ displaystyle E _ { alpha, beta} ^ { gamma} (z)}$ lze numericky vyhodnotit například pomocí kódu Matlab.^[7]

Reference

Viz také

• Cole – Coleova rovnice
• Dielektrická spektroskopie
• Dipole