Spiric sekce - Spiric section

Spiric sekce jako rovinné sekce torus

v geometrie, a spiric sekce, někdy nazývané a spirála Persea, je kvartál rovinná křivka definované rovnicemi tvaru

${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f.,}$

Ekvivalentně lze spirální řezy definovat jako dvoukruhový kvartové křivky, které jsou symetrické vzhledem k X a y-sekery. Spiric sekce jsou zahrnuty v rodině torické sekce a zahrnují rodinu hrochy a rodina Cassini ovály. Název pochází z σπειρα, což ve starořečtině znamená torus.^{[Citace je zapotřebí ]}

Spirální řez je někdy definován jako křivka průniku a torus a rovinu rovnoběžnou s jeho osou symetrie otáčení. Tato definice však nezahrnuje všechny křivky dané předchozí definicí, pokud imaginární letadla jsou povolena.

Spirické sekce byly poprvé popsány starořeckým geometrem Perseus zhruba v roce 150 př. n.l. a předpokládá se, že budou popsány první torické úseky. Název spiric je způsobeno starodávnou notací spira torusu. ^[1],^[2]

Rovnice

A = 1, b = 2, C = 0, 0.8, 1

Začněte obvyklou rovnicí pro torus:

${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + b ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}).,}$

Zaměňovat y a z takže osa revoluce je nyní na xy- letadlo a nastavení z=C najít křivku křižovatky dává

${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (x ^ {2} + c ^ {2}).,}$

V tomto vzorci je torus je tvořen otáčením kruhu o poloměru A jeho střed sleduje další kruh o poloměru b (ne nutně větší než A, křižovatka je povolena). Parametr C je vzdálenost od protínající roviny k ose otáčení. Neexistují žádné spirální sekce s C > b + A, protože zde není žádná křižovatka; letadlo je příliš daleko od torusu, aby ho protínalo.

Rozšířením rovnice získáme tvar, který je vidět v definici

${displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = dx ^ {2} + ey ^ {2} + f,}$

kde

${displaystyle d = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}), e = 2 (a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2}), f = - (a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (abc).,}$

v polární souřadnice toto se stává

${displaystyle (r ^ {2} -a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} = 4b ^ {2} (r ^ {2} cos ^ {2} heta + c ^ {2}),}$

nebo

${displaystyle r ^ {4} = dr ^ {2} cos ^ {2} heta + er ^ {2} sin ^ {2} heta + f.,}$

Spiric sekce na vřetenovém torusu

Spiric sekce na vřetenovém torusu

Spirální řezy na vřetenovém torusu, jejichž roviny protínají vřeteno (vnitřní část), se skládají z vnější a vnitřní křivky (viz obrázek).

Sprirické sekce jako izoptika

Izoptika elipsy a hyperboly jsou spirální části. (S. také webový odkaz Matematický nadšenec.)

Příklady spirálních sekcí

Mezi příklady patří hroch a Cassini ovál a jejich příbuzní, například lemniscate z Bernoulli. The Cassini ovál má pozoruhodnou vlastnost, kterou produkt vzdálenosti ke dvěma ohniskům jsou konstantní. Pro srovnání je součet konstantní v elipsy, rozdíl je konstantní v hyperboly a poměr je konstantní v kruhy.

Reference

• Weisstein, Eric W. „Spiric Section“. MathWorld.
• Historie MacTutoru
• Popis 2Dcurves.com
• MacTutor biografie Perseus
• Matematický nadšenec číslo 9, článek 4

Charakteristický