Kleinova geometrie - Klein geometry - Wikipedia

v matematika, a Kleinova geometrie je typ geometrie motivováno Felix Klein ve svém vlivném Program Erlangen. Přesněji řečeno, je to homogenní prostor X společně s a tranzitivní akce na X podle a Lež skupina G, který funguje jako skupina symetrie geometrie.

Pozadí a motivaci najdete v článku na webu Program Erlangen.

Formální definice

A Kleinova geometrie je pár (G, H) kde G je Lež skupina a H je Zavřeno Lež podskupina z G tak, že (vlevo) cosetový prostor G/H je připojeno. Skupina G se nazývá hlavní skupina geometrie a G/H se nazývá prostor geometrie (nebo, zneužitím terminologie, jednoduše Kleinova geometrie). Prostor X = G/H Kleinovy ​​geometrie je hladké potrubí dimenze

ztlumit X = dim G - dim H.

K dispozici je přirozený hladký povrch levá akce z G na X dána

${ displaystyle g. (aH) = (ga) H.}$

Je zřejmé, že tato akce je přechodná (přijmout A = 1), aby bylo možné potom uvažovat X jako homogenní prostor za akci G. The stabilizátor identity coset H ∈ X je přesně ta skupina H.

Vzhledem k jakémukoli připojenému hladkému potrubí X a plynulá přechodná akce skupiny Lie G na X, můžeme sestrojit přidruženou Kleinovu geometrii (G, H) stanovením základního bodu X₀ v X a nechat H být podskupinou stabilizátoru X₀ v G. Skupina H je nutně uzavřená podskupina G a X je přirozeně difeomorfní na G/H.

Dvě Kleinovy ​​geometrie (G₁, H₁) a (G₂, H₂) jsou geometricky izomorfní pokud existuje Lež skupina isomorfismus φ : G₁ → G₂ aby φ(H₁) = H₂. Zejména pokud φ je časování elementem G ∈ G, vidíme to (G, H) a (G, gHg⁻¹) jsou izomorfní. Kleinova geometrie spojená s homogenním prostorem X je pak jedinečný až do izomorfismu (tj. je nezávislý na zvoleném základním bodě X₀).

Popis svazku

Vzhledem k tomu, lež skupina G a uzavřená podskupina H, je přirozené správná akce z H na G dané správným násobením. Tato akce je bezplatná i správně. The oběžné dráhy jsou prostě levice kosety z H v G. Jeden z toho dospěl k závěru G má strukturu hladké ředitel školy H- svazek přes levý prostor cosetu G/H:

${ displaystyle H až G až G / H.}$

Druhy Kleinových geometrií

Efektivní geometrie

Akce G na X = G/H nemusí být efektivní. The jádro Kleinovy ​​geometrie je definováno jako jádro akce G na X. Je to dáno

${ displaystyle K = {k v G: g ^ {- 1} kg v H ; ; pro všechny g v G }.}$

Jádro K. lze také popsat jako jádro z H v G (tj. největší podskupina H to je normální v G). Je to skupina generovaná všemi normálními podskupinami G které leží uvnitř H.

Kleinova geometrie se říká, že je efektivní -li K. = 1 a místně efektivní -li K. je oddělený. Li (G, H) je Kleinova geometrie s jádrem K., pak (G/K., H/K.) je efektivní Kleinova geometrie kanonicky spojená s (G, H).

Geometricky orientované geometrie

Kleinova geometrie (G, H) je geometricky orientovaný -li G je připojeno. (To ano ne naznačují to G/H je orientované potrubí ). Li H je připojen, z toho vyplývá G je také připojen (je to proto G/H se předpokládá, že je spojeno, a G → G/H je fibrace ).

Vzhledem k jakékoli Kleinově geometrii (G, H), existuje geometricky orientovaná geometrie kanonicky spojená s (G, H) se stejným základním prostorem G/H. To je geometrie (G₀, G₀ ∩ H) kde G₀ je složka identity z G. Všimněte si, že G = G₀ H.

Reduktivní geometrie

Kleinova geometrie (G, H) se říká, že je redukční a G/H A reduktivní homogenní prostor pokud Lež algebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ z H má H-invariantní doplněk v ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Příklady

V následující tabulce je popis klasických geometrií, modelovaných jako Kleinovy ​​geometrie.

	Základní prostor	Transformační skupina G	Podskupina H	Invarianty
Projektivní geometrie	Skutečný projektivní prostor ${ displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^ {n}}$	Projektivní skupina ${ displaystyle mathrm {PGL} (n + 1)}$	Podskupina ${ displaystyle P}$ upevnění a vlajka ${ displaystyle {0 } podmnožina V_ {1} podmnožina V_ {n}}$	Projektivní linie, křížový poměr
Konformní geometrie na kouli	Koule ${ displaystyle S ^ {n}}$	Skupina Lorentz z ${ displaystyle (n + 2)}$-rozměrný prostor ${ displaystyle mathrm {O} (n + 1,1)}$	Podskupina ${ displaystyle P}$ upevnění a čára v nulový kužel Minkowského metriky	Zobecněné kruhy, úhly
Hyperbolická geometrie	Hyperbolický prostor ${ displaystyle H (n)}$, po vzoru např. jako časově podobné řádky v Minkowského prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {1, n}}$	Ortochronní Lorentzova skupina ${ displaystyle mathrm {O} (1, n) / mathrm {O} (1)}$	${ displaystyle mathrm {O} (1) krát mathrm {O} (n)}$	Čáry, kružnice, vzdálenosti, úhly
Eliptická geometrie	Eliptický prostor, modelovaný např. jako řádky přes původ v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$	${ displaystyle mathrm {O} (n + 1) / mathrm {O} (1)}$	${ displaystyle mathrm {O} (n) / mathrm {O} (1)}$	Čáry, kružnice, vzdálenosti, úhly
Sférická geometrie	Koule ${ displaystyle S ^ {n}}$	Ortogonální skupina ${ displaystyle mathrm {O} (n + 1)}$	Ortogonální skupina ${ displaystyle mathrm {O} (n)}$	Čáry (velké kruhy), kruhy, vzdálenosti bodů, úhly
Afinní geometrie	Afinní prostor ${ displaystyle A (n) simeq mathbb {R} ^ {n}}$	Afinní skupina ${ displaystyle mathrm {Aff} (n) simeq mathbb {R} ^ {n} rtimes mathrm {GL} (n)}$	Obecná lineární skupina ${ displaystyle mathrm {GL} (n)}$	Čáry, podíl povrchových ploch geometrických tvarů, těžiště z trojúhelníky
Euklidovská geometrie	Euklidovský prostor ${ displaystyle E (n)}$	Euklidovská skupina ${ displaystyle mathrm {Euc} (n) simeq mathbb {R} ^ {n} rtimes mathrm {O} (n)}$	Ortogonální skupina ${ displaystyle mathrm {O} (n)}$	Vzdálenosti bodů, úhly z vektory, oblasti

Reference

• R. W. Sharpe (1997). Diferenciální geometrie: Cartanovo zobecnění Kleinova programu Erlangen. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94732-9.