Problémy s malinami - Smales problems - Wikipedia

Smaleovy problémy je seznam osmnácti nevyřešené úlohy z matematiky to navrhl Steve Smale v roce 1998,^[1] publikována v roce 1999.^[2] Smale sestavil tento seznam v odpovědi na žádost od uživatele Vladimír Arnold, poté viceprezident Mezinárodní matematická unie, který požádal několik matematiků, aby navrhli seznam problémů pro 21. století. Arnoldova inspirace vycházela ze seznamu Hilbertovy problémy který byl publikován na počátku 20. století.

Tabulka problémů

Problém	Stručné vysvětlení	Postavení	Rok vyřešen
1. místo	Riemannova hypotéza: Skutečná část každé netriviální nuly funkce Riemann zeta je 1/2. (viz také Hilbertův osmý problém )	Nevyřešené.	–
2. místo	Poincarého domněnka: Každé jednoduše připojené, uzavřené 3-potrubí je homeomorfní s 3-sférou.	Vyřešeno. Výsledek: Ano, prokázáno Grigori Perelman použitím Ricciho tok.[3][4][5]	2003
3. místo	Problém P versus NP: Pro všechny problémy, pro které algoritmus může ověřit dané řešení rychle (tj. v polynomiální čas ), může také algoritmus nalézt to řešení rychle?	Nevyřešené.	–
4. místo	Shub – Smale tau-dohad o celočíselných nulách polynomu jedné proměnné[6][7]	Nevyřešené.	–
5	Může se někdo rozhodnout, zda a Diophantine rovnice ƒ(X,y) = 0 (vstup ƒ ∈ ${ textstyle mathbb {Z}}$ [u,proti]) má celočíselné řešení, (X,y), včas (2s)C pro nějakou univerzální konstantuC? Lze tedy o problému rozhodnout v exponenciálním čase?	Nevyřešené.	–
6.	Je počet relativních rovnováh (centrální konfigurace ) konečný, v nproblém těla nebeské mechaniky pro jakoukoli volbu kladných reálných čísel m1, ..., mn jako masy?	Částečně vyřešen. V roce 2012 prokázali téměř všechny systémy pěti těl A. Albouy a V. Kaloshin.[8]	2012
7.	Algoritmus pro nalezení množiny ${ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {N})}$ taková, že funkce: ${ displaystyle V_ {N} (x) = součet _ {1 leq i leq j leq N} log { frac {1} {|| x_ {i} -x_ {j} ||}} }$ je minimalizován pro distribuci N bodů na 2 sféře. To je ekvivalentní s Thomsonův problém.	Nevyřešené.	–
8.	Rozšířit matematický model o teorie obecné rovnováhy zahrnout cena úpravy	Gjerstad (2013)[9] rozšiřuje deterministický model úpravy cen na stochastický model a ukazuje, že když je stochastický model linearizován kolem rovnováhy, výsledkem je model autoregresní úpravy cen používaný v aplikované ekonometrii. Poté testuje model s údaji o úpravě cen z obecného rovnovážného experimentu. Model funguje dobře v obecném rovnovážném experimentu se dvěma komoditami.	2013
9	The lineární programování problém: Najděte a silně polynomický čas algoritmus, který pro danou matici A ∈ Rm×n a b ∈ Rm rozhodne, zda existuje X ∈ Rn s Sekera ≥ b.	Nevyřešené.	–
10.	Pughovo závěrečné lemma (vyšší řád hladkosti)	Částečně vyřešeno. V roce 2016 prokázali M. Asaoka a K. Irie pro hamiltonovské difeomorfismy uzavřených povrchů.[10]	2016
11.	Je jednorozměrná dynamika obecně hyperbolická? (a) Může složitý polynom T být aproximován jedním stejným stupněm s vlastností, že každý kritický bod má tendenci k periodickému klesání pod iterací? (b) Může hladkou mapu T : [0,1] → [0,1] být Cr aproximován jedním, který je hyperbolický pro všechny r > 1?	(a) Nevyřešené, i v nejjednodušším parametrickém prostoru polynomů, Mandelbrotova sada. (b) Vyřešeno. Dokázali to Kozlovski, Shen a van Strien.[11]	2007
12	Pro uzavřené potrubí ${ displaystyle M}$ a jakékoli ${ displaystyle r geq 1}$ nechat ${ displaystyle mathrm {Diff} ^ {r} (M)}$ být topologická skupina z ${ displaystyle C ^ {r}}$ difeomorfismy z ${ displaystyle M}$ na sebe. Dáno svévolně ${ displaystyle A in mathrm {Diff} ^ {r} (M)}$, je možné to takto aproximovat libovolně ${ displaystyle T in mathrm {Diff} ^ {r} (M)}$ že dojíždí pouze se svými iteracemi? Jinými slovy, je podmnožinou všech difeomorfismů, jejichž centralizátory jsou triviální husté ${ displaystyle mathrm {Diff} ^ {r} (M)}$?	Částečně vyřešeno. Vyřešeno v C1 topologie od Christian Bonatti, Sylvain Crovisier a Amie Wilkinson[12] v roce 2009. Stále otevřené v Cr topologie pro r > 1.	2009
13	Hilbertův 16. problém: Popište relativní polohy ovály pocházející z a nemovitý algebraická křivka a jako mezní cykly polynomu vektorové pole v letadle.	Nevyřešené, dokonce ani pro algebraické křivky 8. stupně.	–
14	Proveďte vlastnosti Lorenzův atraktor vystavit to podivného atraktoru?	Vyřešeno. Výsledek: Ano, vyřešeno Warwick Tucker použitím aritmetika intervalu.[13]	2002
15	Udělejte Navier-Stokesovy rovnice v R3 vždy mít jedinečné plynulé řešení která se vztahuje na celou dobu?	Nevyřešené.	–
16. den	Jacobian dohad: Pokud Jacobian determinant F je nenulová konstanta a k má charakteristický 0, tedy F má inverzní funkci G : kN → kN, a G je pravidelný (v tom smyslu, že jeho komponenty jsou polynomy).	Nevyřešené.	–
17	Řešení polynomiální rovnice v polynomiální čas v průměrném případě	Vyřešeno. C. Beltrán a L. M. Pardo našli jednotný pravděpodobnostní algoritmus (průměr Algoritmus Las Vegas ) pro Smaleův 17. problém[14][15] F. Cucker a P. Bürgisser udělal uhlazená analýza pravděpodobnostního algoritmu à la Beltrán-Pardo a poté vykazoval deterministický algoritmus běžící v čase ${ displaystyle N ^ {O ( log log N)}}$.[16] Konečně, P. Lairez našel alternativní metodu k de-randomizaci algoritmu a tak našel deterministický algoritmus, který běží v průměrném polynomiálním čase.[17] Všechny tyto práce navazují na Shubovu a Smaleovu základní práci („Bezoutova série“) zahájenou v roce[18]	2008-2016
18. den	Limity inteligence (hovoří o základních problémech inteligence a učení, a to jak z lidské, tak i strojové stránky)[19]	Nevyřešené.	–

V pozdějších verzích Smale také uvedl tři další problémy, „které se nezdají být natolik důležité, aby si zasloužily místo na našem hlavním seznamu, ale přesto by bylo hezké je vyřešit:“^[20][21]

1. Problém střední hodnoty
2. Je tři koule A minimální sada (Gottschalkova domněnka )?
3. Je Anosov difeomorfismus a kompaktní potrubí topologicky stejné jako Lež skupina model Johna Frankse?

Viz také

• Problémy s cenou tisíciletí
• Simonovy problémy

Reference