Lemma Shapiros - Shapiros lemma - Wikipedia

v matematika, zejména v oblastech abstraktní algebra jednat s skupinová kohomologie nebo relativní homologická algebra, Shapirovo lemma, také známý jako Eckmann – Shapiro lemma, vztahuje rozšíření modulů přes jeden prsten k rozšíření přes druhý, zejména skupinové vyzvánění a skupina a podskupina. Vztahuje se tedy k skupinová kohomologie s ohledem na skupinu na kohomologii s ohledem na podskupinu. Shapirovo lema je pojmenováno po Arnoldovi Shapirovi, který to dokázal v roce 1961;^[1] nicméně, Beno Eckmann objevil dříve, v roce 1953.^[2]

Prohlášení pro prsteny

Nechat R → S být kruhový homomorfismus, aby S se stává levou a pravou R-modul. Nechat M být vlevo S-modul a N vlevo R-modul. Omezením skalárů M je také levice R-modul.

• Li S je projektivní jako právo R-modul, pak:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} (N, {} _ {R} M) cong operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (S otimes _ {R} N, M)}$

• Li S je projektivní jako levá R-modul, pak:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {n} ({} _ {R} M, N) cong operatorname {Ext} _ {S} ^ {n} (M, operatorname {Hom} _ {R} (S, N))}$

Viz (Benson 1991, str. 47). Podmínky projektivity lze oslabit na podmínky zmizení určitých Tor- nebo Ext-skupin: viz (Cartan a Eilenberg 1956, str. 118, VI.§5).

Prohlášení pro skupinové prsteny

Když H je podskupina konečných index v G, pak skupinové zazvonění R[G] je konečně generován projektivní jako levý a pravý R[H] modul, takže předchozí věta platí jednoduchým způsobem. Nechat M být konečně-dimenzionální reprezentací G a N konečně-dimenzionální reprezentace H. V tomto případě modul S ⊗_R N se nazývá indukovaná reprezentace z N z H na G, a _RM se nazývá omezené zastoupení z M z G na H. Jeden má to:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {G} ^ {n} (M, N uparrow _ {H} ^ {G}) cong operatorname {Ext} _ {H} ^ {n} (M downarrow _ {H} ^ {G}, N)}$

Když n = 0, toto se nazývá Frobeniova vzájemnost pro zcela redukovatelné moduly a Nakayama reciprocitu obecně. Viz (Benson 1991, str. 42), který také obsahuje tyto vyšší verze Mackeyova rozkladu.

Prohlášení pro skupinovou kohomologii

Specializace M být triviálním modulem vytváří známé Shapirovo lemma. Nechat H být podskupinou G a N reprezentace H. Pro N^G the indukovaná reprezentace z N z H na G za použití tenzorový produkt a pro H_* the skupinová homologie:

H_*(G, N^G) = H_*(H, N)

Podobně pro N^G společně indukované zastoupení N z H na G za použití Hom funktor a pro H^* the skupinová kohomologie:

H^*(G, N^G) = H^*(H, N)

Když H je konečný index v G, poté se indukované a koindukované reprezentace shodují a lemma platí pro homologii i kohomologii.

Viz (Weibel 1994, str. 172).

Poznámky

Reference

• Benson, D. J. (1991), Zastoupení a kohomologie. Já, Cambridge studia pokročilé matematiky, 30, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36134-7, PAN  1110581
• Cartan, H .; Eilenberg, S. (1956), Homologická algebra, Princeton University Press
• Eckmann, Beno (1953), "Cohomology of groups and transfer", Annals of Mathematics, 2. ser., 58 (3): 481–493, doi:10.2307/1969749, PAN  0058600.
• Stránka 59 z Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.