Selbergsova identita - Selbergs identity - Wikipedia

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Prosince 2017)

v teorie čísel, Selbergova identita je přibližná identita zahrnující logaritmy prvočísel nalezených Selberg  (1949 ). Selberg a Erdős oba použili tuto identitu k poskytnutí základních důkazů o věta o prvočísle.

Prohlášení

Existuje několik různých, ale ekvivalentních forem Selbergovy identity. Jedna forma je

${ displaystyle sum _ {p$

kde částky přesahují prvočísla p a q.

Vysvětlení

Podivně vypadající výraz na levé straně Selbergovy identity je (až na menší výrazy) součet

${ displaystyle sum _ {n$

kde jsou čísla

${ displaystyle c_ {n} = lambda (n) log n + součet _ {d | n} lambda (d) lambda (n / d)}$

jsou koeficienty Dirichletova řada

${ displaystyle { frac { zeta ^ { prime prime} (s)} { zeta (s)}} = left ({ frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} vpravo) ^ { prime} + vlevo ({ frac { zeta ^ { prime} (s)} { zeta (s)}} vpravo) ^ {2} = součet { frac {c_ {n}} {n ^ {s}}}}$.

Tato funkce má a pól objednávky 2 v s= 1 s koeficientem 2, který dává dominantní člen 2X log (X) v asymptotická expanze z ${ displaystyle sum _ {n$.

Další variace identity

Selbergova identita někdy také odkazuje na následující identitu dělitele součtu zahrnující von Mangoldtova funkce a Möbiova funkce když ${ displaystyle n geq 1}$:^[1]

${ displaystyle Lambda log (n) + sum _ {d | n} Lambda (d) Lambda left ({ frac {n} {d}} right) = sum _ {d | n } mu (d) log ^ {2} left ({ frac {n} {d}} right).}$

Tato varianta Selbergovy identity je prokázána pomocí konceptu braní derivátů aritmetické funkce definován ${ displaystyle f ^ { prime} (n) = f (n) cdot log (n)}$ v oddíle 2.18 knihy Apostol (viz také tento odkaz ).

Reference

• Pisot, Charles (1949), Démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers, Séminaire Bourbaki, 1, PAN  1605145
• Selberg, Atle (1949), „Elementární důkaz věty o prvočísle“, Ann. matematiky., 2, 50: 305–313, doi:10.2307/1969455, PAN  0029410