Savitzky – Golayův filtr - Savitzky–Golay filter - Wikipedia

Animace zobrazující použití vyhlazování, procházející daty zleva doprava. Červená čára představuje místní polynom, který se používá k přizpůsobení podmnožiny dat. Vyhlazené hodnoty jsou zobrazeny jako kruhy.

A Savitzky – Golayův filtr je digitální filtr které lze použít na sadu digitální data body za účelem vyhlazení data, to znamená zvýšit přesnost dat bez narušení tendence signálu. Toho je dosaženo v procesu známém jako konvoluce, přizpůsobením postupných dílčích sad sousedních datových bodů s nízkým stupněm polynomiální metodou lineární nejmenší čtverce. Když jsou datové body rovnoměrně rozmístěny, an analytické řešení rovnice nejmenších čtverců lze nalézt ve formě jediné sady „konvolučních koeficientů“, které lze použít na všechny datové podskupiny, a poskytnout odhady vyhlazeného signálu (nebo derivátů vyhlazeného signálu) na centrální bod každé podskupiny. Metoda založená na zavedených matematických postupech^[1][2] byl popularizován Abraham Savitzky a Marcel J. E. Golay, který v roce 1964 publikoval tabulky konvolučních koeficientů pro různé polynomy a velikosti podmnožiny.^[3][4] Některé chyby v tabulkách byly opraveny.^[5] Metoda byla rozšířena pro zpracování 2 a 3-dimenzionálních dat.

Savitzky and Golay's paper je jedním z nejčastěji citovaných článků v časopise Analytická chemie^[6] a je tímto deníkem klasifikován jako jeden ze svých „10 klíčových článků“, který říká „lze tvrdit, že úsvit počítačově řízeného analytického nástroje lze vysledovat až k tomuto článku“.^[7]

Aplikace

Data se skládají ze sady bodů {X_j, y_j}, j = 1, ..., n, kde X je nezávislá proměnná a y_j je pozorovaná hodnota. Jsou ošetřeni sadou m konvoluční koeficienty, C_i, podle výrazu

${ displaystyle Y_ {j} = součet _ {i = { tfrac {1-m} {2}}} ^ { tfrac {m-1} {2}} C_ {i} , y_ {j + i}, qquad { frac {m-1} {2}} leq j leq n - { frac {m-1} {2}}}$

Vybrané konvoluční koeficienty jsou uvedeny v tabulky níže. Například pro vyhlazení 5bodovým kvadratickým polynomem, m = 5, i = -2, -1, 0, 1, 2 a jth vyhlazený datový bod, Y_j, je dána

${ displaystyle Y_ {j} = { frac {1} {35}} (- 3y_ {j-2} + 12y_ {j-1} + 17y_ {j} + 12y_ {j + 1} -3y_ {j + 2})}$,

kde, C₋₂ = −3/35, C₋₁ = 12/35 atd. Existuje mnoho aplikací vyhlazování, které se provádí především proto, aby se data zdala být méně hlučná, než ve skutečnosti jsou. Následují aplikace numerické diferenciace dat.^[8] Poznámka Při výpočtu nth derivát, další měřítko faktor ${ displaystyle { frac {n!} {h ^ {n}}}}$ lze použít na všechny vypočítané datové body k získání absolutních hodnot (viz výrazy pro ${ displaystyle { frac {d ^ {n} Y} {dx ^ {n}}}}$(níže, podrobnosti).

(1) Syntetický Lorentzian + šum (modrý) a 1. derivát (zelený)

(2) Titrační křivka (modrá) pro kyselina mallonová a 2. derivát (zelený). Část ve světle modrém rámečku je zvětšena 10krát

(3) Lorentzian na exponenciální základní linii (modrá) a druhá derivace (zelená)

(4) Součet dvou Lorentzianů (modrá) a druhé derivace (zelená)

(5) 4. derivace součtu dvou Lorentzianů

1. Umístění maxima a minima v experimentálních datových křivkách. To byla aplikace, která Savitzkyho nejprve motivovala.^[4] První derivace funkce je nula na maximu nebo minimu. Diagram ukazuje datové body patřící k syntetickému Lorentzian křivka s přidaným šumem (modré diamanty). Data jsou vynesena na stupnici poloviční šířky vzhledem k maximu píku při nule. Vyhlazená křivka (červená čára) a 1. derivace (zelená) byly vypočítány pomocí 7bodových kubických filtrů Savitzky – Golay. Lineární interpolace prvních hodnot derivace v pozicích na obou stranách nulového přechodu udává polohu maxima špičky. K tomuto účelu lze také použít třetí deriváty.
2. Umístění koncového bodu v a titrační křivka. Koncový bod je inflexní bod kde druhá derivace funkce je nula.^[9] Titrační křivka pro kyselina mallonová ilustruje sílu metody. První koncový bod při 4 ml je sotva viditelný, ale druhý derivát umožňuje jeho hodnotu snadno určit lineární interpolací k nalezení přechodu nuly.
3. Zploštění základní linie. v analytická chemie někdy je nutné změřit výšku absorpční pásmo proti zakřivené základní linii.^[10] Protože zakřivení základní linie je mnohem menší než zakřivení absorpčního pásma, druhá derivace účinně zplošťuje základní linii. Tři měřítka výšky derivace, která je úměrná výšce absorpčního pásma, jsou vzdálenosti „peak-to-valley“ h1 a h2 a výška od základní linie, h3.^[11]
4. Vylepšení rozlišení ve spektroskopii. Pásma ve druhé derivaci spektroskopické křivky jsou užší než pásma ve spektru: zmenšila se poloviční šířka. To umožňuje, aby byly částečně překrývající se pásma „vyřešeny“ na samostatné (negativní) vrcholy.^[12] Diagram ilustruje, jak to lze použít také pro chemický rozbor pomocí měření vzdáleností „peak-to-valley“. V tomto případě jsou údolí majetkem 2. derivace Lorentzian. (X-osová poloha je relativní k poloze maxima špičky na stupnici od poloviční šířka v poloviční výšce ).
5. Vylepšení rozlišení pomocí 4. derivace (pozitivní vrcholy). Minima jsou vlastností 4. derivace Lorentziana.

Klouzavý průměr

Filtr klouzavého průměru se běžně používá s daty časových řad k vyhlazení krátkodobých výkyvů a zvýraznění dlouhodobějších trendů nebo cyklů. Často se používá v technické analýze finančních údajů, jako jsou ceny akcií, výnosy nebo objemy obchodování. Používá se také v ekonomii ke zkoumání hrubého domácího produktu, zaměstnanosti nebo jiných makroekonomických časových řad.

Filtr neváženého klouzavého průměru je nejjednodušší filtr konvoluce. Každá podmnožina datové sady je opatřena přímou vodorovnou čarou. Nebylo zahrnuto do Savitzsky-Golayových tabulek konvolučních koeficientů, protože všechny hodnoty koeficientů se jednoduše rovnou 1/m.

Odvození konvolučních koeficientů

Když jsou datové body rovnoměrně rozmístěny, an analytické řešení lze najít rovnice nejmenších čtverců.^[2] Toto řešení tvoří základ konvoluce metoda numerického vyhlazení a diferenciace. Předpokládejme, že data se skládají ze sady n body (X_j, y_j) (j = 1, ..., n), kde X je nezávislá proměnná a y_j je vztažná hodnota. Polynom bude doplněn o lineární nejmenší čtverce na sadu m (liché číslo) sousední datové body, každý oddělen intervalem h. Nejprve se provede změna proměnné

${ displaystyle z = {{x - { bar {x}}} nad h}}$

kde ${ displaystyle { bar {x}}}$ je hodnota centrálního bodu. z bere hodnoty ${ displaystyle { tfrac {1-m} {2}}, cdots, 0, cdots, { tfrac {m-1} {2}}}$ (např. m = 5 → z = −2, −1, 0, 1, 2).^{[poznámka 1]} Polynom, stupně k je definován jako

${ displaystyle Y = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} cdots + a_ {k} z ^ {k}.}$^{[poznámka 2]}

Koeficienty A₀, A₁ atd. jsou získány řešením normální rovnice (tučně A představuje a vektor, tučně J představuje a matice ).

${ displaystyle { mathbf {a}} = left ({{ mathbf {J}} ^ { mathbf {T}} { mathbf {J}}} right) ^ {- { mathbf {1} }} { mathbf {J}} ^ { mathbf {T}} { mathbf {y}},}$

kde ${ displaystyle mathbf {J}}$ je Vandermondeova matice, to je ${ displaystyle i}$-tá řada ${ displaystyle mathbf {J}}$ má hodnoty ${ displaystyle 1, z_ {i}, z_ {i} ^ {2}, tečky}$.

Například pro kubický polynom přizpůsobený 5 bodům, z= −2, −1, 0, 1, 2 jsou normální rovnice řešeny následovně.

${ displaystyle mathbf {J} = { begin {pmatrix} 1 & -2 & 4 & -8 1 & -1 & 1 & -1 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 4 & 8 end {pmatrix}}}$

${ displaystyle mathbf {J ^ {T} J} = { begin {pmatrix} m & sum z & sum z ^ {2} & sum z ^ {3} sum z & sum z ^ {2 } & sum z ^ {3} & sum z ^ {4} sum z ^ {2} & sum z ^ {3} & sum z ^ {4} & sum z ^ {5} součet z ^ {3} & součet z ^ {4} & součet z ^ {5} & součet z ^ {6} konec {pmatrix}} = { begin {pmatrix} m & 0 & součet z ^ {2} & 0 0 & součet z ^ {2} & 0 & součet z ^ {4} součet z ^ {2} & 0 & součet z ^ {4} & 0 0 & součet z ^ {4} & 0 & sum z ^ {6} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 5 & 0 & 10 & 0 0 & 10 & 0 & 34 10 & 0 & 34 & 0 0 & 34 & 0 & 130 end {pmatrix}}}$

Nyní lze normální rovnice zapracovat do dvou samostatných sad rovnic, a to uspořádáním řádků a sloupců pomocí

${ displaystyle mathbf {J ^ {T} J} _ { text {even}} = { begin {pmatrix} 5 a 10 10 & 34 end {pmatrix}} quad mathrm {and} quad mathbf {J ^ {T} J} _ { text {odd}} = { begin {pmatrix} 10 & 34 34 & 130 end {pmatrix}}}$

Výrazy pro inverzi každé z těchto matic lze získat pomocí Cramerovo pravidlo

${ displaystyle ( mathbf {J ^ {T} J}) _ { text {even}} ^ {- 1} = {1 nad 70} { begin {pmatrix} 34 & -10 - 10 & 5 end {pmatrix}} quad mathrm {a} quad ( mathbf {J ^ {T} J}) _ { text {odd}} ^ {- 1} = {1 nad 144} { začátek {pmatrix} 130 a -34 - 34 a 10 konec {pmatrix}}}$

Normální rovnice se stanou

${ displaystyle { begin {pmatrix} {a_ {0}} {a_ {2}} end {pmatrix}} _ {j} = {1 přes 70} { begin {pmatrix} 34 & - 10 - 10 & 5 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 4 & 1 & 0 & 1 & 4 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} y_ {j-2} y_ {j-1} y_ {j} y_ {j + 1} y_ {j + 2} end {pmatrix}}}$

a

${ displaystyle { begin {pmatrix} a_ {1} a_ {3} end {pmatrix}} _ {j} = {1 přes 144} { begin {pmatrix} 130 & -34 - 34 a 10 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} -2 & -1 & 0 & 1 & 2 - 8 & -1 & 0 & 1 & 8 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} y_ {j-2} y_ {j -1} y_ {j} y_ {j + 1} y_ {j + 2} end {pmatrix}}}$

Násobení a odstraňování společných faktorů,

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {0, j} & = {1 přes 35} (- 3r_ {j-2} + 12r_ {j-1} + 17r_ {j} + 12r_ {j + 1} -3y_ {j + 2}) a_ {1, j} & = {1 nad 12} (y_ {j-2} -8y_ {j-1} + 8y_ {j + 1} -y_ {j + 2}) a_ {2, j} & = {1 nad 14} (2y_ {j-2} -y_ {j-1} -2y_ {j} -y_ {j + 1} + 2y_ {j + 2}) a_ {3, j} & = {1 nad 12} (- y_ {j-2} + 2y_ {j-1} -2y_ {j + 1} + y_ {j + 2}) konec {zarovnáno}}}$

Koeficienty y v těchto výrazech jsou známé jako konvoluce koeficienty. Jsou to prvky matice

${ displaystyle mathbf {C = (J ^ {T} J) ^ {- 1} J ^ {T}}}$

Obecně,

${ displaystyle (C otimes y) _ {j} = Y_ {j} = součet _ {i = - { tfrac {m-1} {2}}} ^ { tfrac {m-1} { 2}} C_ {i} , y_ {j + i}, qquad { frac {m + 1} {2}} leq j leq n - { frac {m-1} {2}}}$

V maticovém zápisu je tento příklad zapsán jako

${ displaystyle { begin {pmatrix} Y_ {3} Y_ {4} Y_ {5} vdots end {pmatrix}} = {1 nad 35} { begin {pmatrix} -3 a 12 & 17 & 12 & -3 & 0 & 0 & cdots 0 & -3 & 12 & 17 & 12 & -3 & 0 & cdots 0 & 0 & -3 & 12 & 17 & 12 & -3 & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & ddots end { pmatrix}} { begin {pmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} y_ {4} y_ {5} y_ {6} y_ {7} vdots end {pmatrix}}}$

Tabulky konvolučních koeficientů, vypočítané stejným způsobem pro m až 25, byly publikovány pro vyhlazovací filtr Savitzky – Golay v roce 1964,^[3][5] Hodnota centrálního bodu, z = 0, je získán z jedné sady koeficientů, A₀ pro vyhlazení A₁ pro 1. derivaci atd. Numerické derivace se získají diferenciací Y. To znamená, že deriváty se počítají pro křivku vyhlazených dat. Pro kubický polynom

${ displaystyle { begin {aligned} Y & = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} = a_ {0} & { text {at}} z = 0, x = { bar {x}} { frac {dY} {dx}} & = { frac {1} {h}} vlevo ({a_ {1} + 2a_ {2} z + 3a_ {3} z ^ {2}} vpravo) = { frac {1} {h}} a_ {1} & { text {at}} z = 0, x = { lišta {x}} { frac {d ^ {2} Y} {dx ^ {2}}} & = { frac {1} {h ^ {2}}} vlevo ({2a_ {2} + 6a_ {3} z} right) = { frac {2} {h ^ {2}}} a_ {2} & { text {at}} z = 0, x = { bar {x}} { frac {d ^ {3} Y} {dx ^ {3}}} & = { frac {6} {h ^ {3}}} a_ {3} end {zarovnáno}}}$

Obecně platí, že polynomy stupně (0 a 1),^{[Poznámka 3]} (2 a 3), (4 a 5) atd. Dávají stejné koeficienty pro vyhlazení a dokonce i derivace. Polynomy stupně (1 a 2), (3 a 4) atd. Dávají stejné koeficienty pro liché derivace.

Algebraické výrazy

Není nutné vždy používat tabulky Savitzky – Golay. Součty v matici J^TJ lze hodnotit v uzavřená forma,

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {z = - { frac {m-1} {2}}} ^ { frac {m-1} {2}} z ^ {2} & = { m (m ^ {2} -1) přes 12} součet z ^ {4} & = {m (m ^ {2} -1) (3m ^ {2} -7) přes 240} součet z ^ {6} & = {m (m ^ {2} -1) (3m ^ {4} -18m ^ {2} +31) přes 1344} end {zarovnáno}}}$

takže lze odvodit algebraické vzorce pro konvoluční koeficienty.^{[13][poznámka 4]} Funkce, které jsou vhodné pro použití s ​​křivkou, která má inflexní bod jsou:

Vyhlazení, polynomiální stupeň 2,3: ${ displaystyle C_ {0i} = { frac { vlevo ({3m ^ {2} -7-20i ^ {2}} vpravo) / 4} {m vlevo ({m ^ {2} -4} right) / 3}}; quad { frac {1-m} {2}} leq i leq { frac {m-1} {2}}}$ (rozsah hodnot pro i platí také pro níže uvedené výrazy)

1. derivace: polynomiální stupeň 3,4 ${ displaystyle C_ {1i} = { frac {5 vlevo ({3m ^ {4} -18m ^ {2} +31} vpravo) i-28 vlevo ({3m ^ {2} -7} vpravo) i ^ {3}} {m vlevo ({m ^ {2} -1} vpravo) vlevo ({3m ^ {4} -39m ^ {2} +108} vpravo) / 15}} }$

2. derivace: polynomiální stupeň 2,3 ${ displaystyle C_ {2i} = { frac {12mi ^ {2} -m left ({m ^ {2} -1} right)} {m ^ {2} left ({m ^ {2} -1} right) left ({m ^ {2} -4} right) / 30}}}$

3. derivace: polynomiální stupeň 3,4 ${ displaystyle C_ {3i} = { frac {- vlevo ({3m ^ {2} -7} vpravo) i + 20i ^ {3}} {m vlevo ({m ^ {2} -1} right) left ({3m ^ {4} -39m ^ {2} +108} right) / 2520}}}$

Jednodušší výrazy, které lze použít s křivkami, které nemají inflexní bod, jsou:

Vyhlazení, polynomický stupeň 0,1 (klouzavý průměr): ${ displaystyle C_ {0i} = { frac {1} {m}}}$

1. derivace, polynomiální stupeň 1,2: ${ displaystyle C_ {1i} = { frac {i} {m (m ^ {2} -1) / 12}}}$

Lze získat vyšší deriváty. Čtvrtou derivaci lze například získat provedením dvou průchodů druhé derivační funkce.^[14]

Použití ortogonálních polynomů

Alternativa k montáži m datové body jednoduchým polynomem v pomocné proměnné, z, je použít ortogonální polynomy.

${ displaystyle Y = b_ {0} P ^ {0} (z) + b_ {1} P ^ {1} (z) cdots + b_ {k} P ^ {k} (z).}$

kde P⁰, ..., P^k je sada vzájemně ortogonálních polynomů stupně 0, ...,k. Úplné podrobnosti o tom, jak získat výrazy pro ortogonální polynomy a vztah mezi koeficienty b a A jsou dány hostem.^[2] Výrazy pro konvoluční koeficienty lze snadno získat, protože matice normálních rovnic, J^TJ, je diagonální matice protože součin dvou libovolných ortogonálních polynomů je nulový na základě jejich vzájemné ortogonality. Proto je každý nenulový prvek jeho inverze jednoduše převráceným odpovídajícím prvkem v matici normální rovnice. Výpočet je dále zjednodušen pomocí rekurze stavět ortogonálně Gram polynomy. Celý výpočet lze kódovat do několika řádků PASCAL, počítačový jazyk vhodný pro výpočty zahrnující rekurzi.^[15]

Zpracování prvního a posledního bodu

Savitzky – Golayovy filtry se nejčastěji používají k získání vyhlazené nebo odvozené hodnoty v centrálním bodě, z = 0, s použitím jedné sady konvolučních koeficientů. (m - 1) / 2 body na začátku a na konci série nelze pomocí tohoto procesu vypočítat. K zamezení této nepříjemnosti lze použít různé strategie.

• Data by mohla být uměle rozšířena přidáním kopií první (v opačném pořadí)m - 1) / 2 body na začátku a kopie posledního (m - 1) / 2 body na konci. Například s m = 5, dva body jsou přidány na začátku a na konci dat y₁, ..., y_n.

y₃,y₂,y₁, ... ,y_n, y_n−1, y_n−2.

• Když se podíváme znovu na vhodný polynom, je zřejmé, že lze vypočítat data pro všechny hodnoty z použitím všech sad konvolučních koeficientů pro jeden polynom, a₀ ... a_k.

Pro kubický polynom

${ displaystyle { begin {aligned} Y & = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} { frac {dY} { dx}} & = { frac {1} {h}} (a_ {1} + 2a_ {2} z + 3a_ {3} z ^ {2}) { frac {d ^ {2} Y} {dx ^ {2}}} & = { frac {1} {h ^ {2}}} (2a_ {2} + 6a_ {3} z) { frac {d ^ {3} Y} { dx ^ {3}}} & = { frac {6} {h ^ {3}}} a_ {3} end {zarovnáno}}}$

• Rovněž lze snadno získat konvoluční koeficienty pro chybějící první a poslední bod.^[15] To je ekvivalentní s namontováním prvního (m + 1) / 2 body se stejným polynomem a obdobně pro poslední body.

Vážení dat

Ve výše uvedeném zpracování je implicitní, že všechny datové body mají stejnou váhu. Technicky vzato Objektivní funkce

${ displaystyle U = suma _ {i} w_ {i} (Y_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}$

minimalizace v procesu nejmenších čtverců má jednotkové hmotnosti, w_i = 1. Když váhy nejsou všechny stejné, stanou se normální rovnice

${ displaystyle mathbf {a} = left ( mathbf {J ^ {T} W} mathbf {J} right) ^ {- 1} mathbf {J ^ {T} W} mathbf {y} qquad W_ {i, i} neq 1}$,

Pokud se pro všechny datové podmnožiny používá stejná sada diagonálních vah, Ž = diag (w₁,w₂,...,w_m), lze napsat analytické řešení normálních rovnic. Například s kvadratickým polynomem,

${ displaystyle mathbf {J ^ {T} WJ} = { begin {pmatrix} m součet w_ {i} & součet w_ {i} z_ {i} & součet w_ {i} z_ {i} ^ {2} součet w_ {i} z_ {i} & součet w_ {i} z_ {i} ^ {2} & součet w_ {i} z_ {i} ^ {3} součet w_ {i} z_ {i} ^ {2} & sum w_ {i} z_ {i} ^ {3} & sum w_ {i} z_ {i} ^ {4} end {pmatrix}}}$

Explicitní výraz pro inverzi této matice lze získat pomocí Cramerovo pravidlo. Soubor konvolučních koeficientů lze poté odvodit jako

${ displaystyle mathbf {C} = left ( mathbf {J ^ {T} W} mathbf {J} right) ^ {- 1} mathbf {J ^ {T} W}.}$

Alternativně koeficienty, C, lze vypočítat v tabulce pomocí integrované rutiny inverze matice k získání inverze matice normálních rovnic. Tuto sadu koeficientů lze po výpočtu a uložení použít pro všechny výpočty, pro které platí stejné váhové schéma. Pro každé jiné váhové schéma je zapotřebí odlišná sada koeficientů.

Dvourozměrné konvoluční koeficienty

Dvojrozměrné vyhlazení a rozlišení lze také použít na tabulky datových hodnot, jako jsou hodnoty intenzity ve fotografickém obrazu, který je složen z obdélníkové mřížky pixelů.^{[16] [17]} Taková mřížka se označuje jako jádro a datové body, které tvoří jádro, se označují jako uzly. Trik spočívá v transformaci obdélníkového jádra do jedné řady jednoduchým uspořádáním indexů uzlů. Zatímco koeficienty jednorozměrného filtru jsou nalezeny vložením polynomu do pomocné proměnné z na sadu m datové body, jsou dvourozměrné koeficienty nalezeny vložením polynomu do pomocných proměnných proti a w na soubor hodnot na m × n uzly jádra. Následující příklad, pro bivariační polynom celkového stupně 3, m = 7 a n = 5, ilustruje proces, který je paralelní s procesem pro jednorozměrný případ výše.^[18]

${ displaystyle v = { frac {x - { bar {x}}} {h (x)}}; w = { frac {y - { bar {y}}} {h (y)}} }$

${ displaystyle Y = a_ {00} + a_ {10} v + a_ {01} w + a_ {20} v ^ {2} + a_ {11} vw + a_ {02} w ^ {2} + a_ { 30} v ^ {3} + a_ {21} v ^ {2} w + a_ {12} vw ^ {2} + a_ {03} w ^ {3}}$

Obdélníkové jádro s 35 datovými hodnotami, d₁ − d₃₅

proti w	−3	−2	−1	0	1	2	3
−2	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7
−1	d8	d9	d10	d11	d12	d13	d14
0	d15	d16	d17	d18	d19	d20	d21
1	d22	d23	d24	d25	d26	d27	d28
2	d29	d30	d31	d32	d33	d34	d35

stane se vektorem, když jsou řádky umístěny jeden po druhém.

d = (d₁ ... d₃₅)^T

Jacobian má 10 sloupců, jeden pro každý z parametrů A₀₀ − A₀₃a 35 řádků, jeden pro každou dvojici proti a w hodnoty. Každý řádek má formulář

${ displaystyle J _ { text {řádek}} = 1 quad v quad w quad v ^ {2} quad vw quad w ^ {2} quad v ^ {3} quad v ^ {2} w quad vw ^ {2} quad w ^ {3}}$

Konvoluční koeficienty se počítají jako

${ displaystyle mathbf {C} = left ( mathbf {J} ^ {T} mathbf {J} right) ^ {- 1} mathbf {J} ^ {T}}$

První řada C obsahuje 35 konvolučních koeficientů, které lze vynásobit 35 datovými hodnotami pro získání polynomiálního koeficientu ${ displaystyle a_ {00}}$, což je vyhlazená hodnota v centrálním uzlu jádra (tj. v 18. uzlu výše uvedené tabulky). Podobně i další řádky C lze vynásobit 35 hodnotami k získání dalších polynomiálních koeficientů, které lze zase použít k získání vyhlazených hodnot a různých vyhlazených parciálních derivací v různých uzlech.

Nikitas a Pappa-Louisi ukázali, že v závislosti na formátu použitého polynomu se kvalita vyhlazení může výrazně lišit.^[19] Doporučují použít polynom formuláře

${ displaystyle Y = sum _ {i = 0} ^ {p} sum _ {j = 0} ^ {q} a_ {ij} v ^ {i} w ^ {j}}$

protože takové polynomy mohou dosáhnout dobrého vyhlazení jak v centrální, tak v téměř hraniční oblasti jádra, a proto je lze s jistotou použít při vyhlazování jak ve vnitřních, tak v hraničních datových bodech vzorkované domény. Abychom se vyhnuli špatné kondici při řešení problému nejmenších čtverců, p < m a q < n. Pro software, který počítá dvourozměrné koeficienty, a pro databázi takových CViz níže část o vícerozměrných konvolučních koeficientech.

Multi-dimenzionální konvoluční koeficienty

Myšlenku dvourozměrných konvolučních koeficientů lze přímo rozšířit i do vyšších prostorových dimenzí,^[16][20] uspořádáním vícerozměrné distribuce uzlů jádra do jednoho řádku. Po výše zmíněném nálezu Nikitase a Pappa-Louisiho^[19] v dvourozměrných případech se ve vícerozměrných případech doporučuje použití následující formy polynomu:

${ displaystyle Y = sum _ {i_ {1} = 0} ^ {p_ {1}} sum _ {i_ {2} = 0} ^ {p_ {2}} cdots sum _ {i_ {D } = 0} ^ {p_ {D}} (a_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {D}} krát u_ {1} ^ {i_ {1}} u_ {2} ^ {i_ { 2}} cdots u_ {D} ^ {i_ {D}})}$

kde D je rozměr prostoru, ${ displaystyle a}$jsou polynomiální koeficienty a uJsou souřadnice v různých prostorových směrech. Algebraické výrazy pro parciální derivace libovolného řádu, ať už smíšeného nebo jiného, ​​lze snadno odvodit z výše uvedeného výrazu.^[20] Všimněte si, že C závisí na způsobu, jakým jsou uzly jádra uspořádány v řadě, a na způsobu, jakým jsou uspořádány různé termíny rozšířené formy výše uvedeného polynomu, při přípravě Jacobian.

Přesný výpočet C ve vícerozměrných případech se stává náročným, protože přesnost standardních čísel s plovoucí desetinnou čárkou, která jsou k dispozici v počítačových programovacích jazycích, již není dostatečná. Nedostatečná přesnost způsobí, že chyby zkrácení s plovoucí desetinnou čárkou se stanou srovnatelnými s velikostmi některých C prvky, což zase výrazně zhoršuje jeho přesnost a činí jej zbytečným. Chandra Shekhar přinesl dva otevřený zdroj software, Pokročilá kalkulačka koeficientu konvoluce (ACCC) a Kalkulačka přesných konvolučních koeficientů (PCCC), které adekvátně řeší tyto problémy s přesností. ACCC provádí výpočet pomocí čísel s plovoucí desetinnou čárkou iterativním způsobem.^[21] Přesnost čísel s plovoucí desetinnou čárkou se postupně zvyšuje v každé iteraci pomocí GNU MPFR. Jakmile se získá CJe to ve dvou po sobě jdoucích iteracích, které začínají mít stejné významné číslice až do předem určené vzdálenosti, předpokládá se, že konvergence dosáhla. Pokud je vzdálenost dostatečně velká, získá výpočet velmi přesnou hodnotu C. PCCC používá výpočty racionálních čísel pomocí GNU Multiple Precision Arithmetic Library a poskytuje zcela přesné údaje C, v racionální číslo formát.^[22] Nakonec jsou tato racionální čísla převedena na čísla s plovoucí desetinnou čárkou, dokud není zadán počet platných číslic.

Databáze Cje , které se počítají pomocí ACCC, pro symetrická jádra a symetrické i asymetrické polynomy na jednotně rozmístěných uzlech jádra v 1, 2, 3 a 4 dimenzionálních prostorech.^[23] Chandra Shekhar také stanovila matematický rámec, který popisuje použití C počítáno na jednotně rozmístěných uzlech jádra k provedení filtrování a částečných diferenciací (různých řádů) na nejednotně rozmístěných uzlech jádra,^[20] umožňující použití C poskytované ve výše uvedené databázi. Ačkoli tato metoda poskytuje pouze přibližné výsledky, jsou přijatelné ve většině technických aplikací za předpokladu, že nerovnoměrnost uzlů jádra je slabá.

Některé vlastnosti konvoluce

1. Součet konvolučních koeficientů pro vyhlazení se rovná jedné. Součet koeficientů pro liché deriváty je nula.^[24]
2. Součet čtvercových konvolučních koeficientů pro vyhlazení se rovná hodnotě centrálního koeficientu.^[25]
3. Vyhlazení funkce ponechá oblast pod funkcí beze změny.^[24]
4. Konvoluce symetrické funkce s sudými derivačními koeficienty zachovává střed symetrie.^[24]
5. Vlastnosti derivačních filtrů.^[26]

Zkreslení signálu a redukce šumu

Je nevyhnutelné, že signál bude v procesu konvoluce zkreslen. Z vlastnosti 3 výše, když jsou data, která mají vrchol, vyhlazena, výška vrcholu se sníží a poloviční šířka bude zvýšena. Rozsah zkreslení i S / N (odstup signálu od šumu ) vylepšení:

• klesá se zvyšujícím se stupněm polynomu
• zvětšovat se jako šířka, m konvoluční funkce se zvyšuje

Vliv vyhlazení na datové body s nekorelovaným šumem směrodatné odchylky jednotky

Například pokud je šum ve všech datových bodech nekorelovaný a má konstantu standardní odchylka, σ, směrodatná odchylka od šumu se sníží konvolucí s m- funkce vyhlazení bodu do^{[25][poznámka 5]}

polynomiální stupeň 0 nebo 1:${ displaystyle { sqrt {1 nad m}} sigma}$ (klouzavý průměr )

polynomiální stupeň 2 nebo 3: ${ displaystyle { sqrt { frac {3 (3m ^ {2} -7)} {4m (m ^ {2} -4)}}} sigma}$.

Tyto funkce jsou zobrazeny na grafu vpravo. Například s 9bodovou lineární funkcí (klouzavý průměr) jsou odstraněny dvě třetiny šumu a pomocí 9bodové kvadratické / kubické vyhlazovací funkce je odstraněna pouze asi polovina šumu. Většinu zbývajícího šumu tvoří nízkofrekvenční šum (viz Frekvenční charakteristiky konvolučních filtrů, níže).

Ačkoli funkce klouzavého průměru poskytuje nejlepší redukci šumu, je nevhodná pro vyhlazení dat, která mají zakřivení m bodů. Funkce kvadratického filtru není vhodná pro získání derivace datové křivky s inflexní bod protože kvadratický polynom žádný nemá. Optimální volba polynomiálního řádu a počtu konvolučních koeficientů bude kompromisem mezi redukcí šumu a zkreslením.^[27]

Multipass filtry

Jedním ze způsobů, jak zmírnit zkreslení a zlepšit odstranění šumu, je použít filtr menší šířky a provést s ním více než jednu konvoluci. U dvou průchodů stejného filtru to odpovídá jednomu průchodu filtru získaného konvolucí původního filtru se sebou.^[28] Například 2 průchody filtru s koeficienty (1/3, 1/3, 1/3) jsou ekvivalentní 1 průchodu filtru s koeficienty (1/9, 2/9, 3/9, 2/9, 1/9).

Nevýhodou vícenásobného průchodu je, že ekvivalentní šířka filtru pro n přihrávky m-bodová funkce je n(m - 1) + 1, takže multipassing podléhá větším konečným efektům. Nicméně, multipassing byl použit s velkou výhodou. Užitečné výsledky například přineslo přibližně 40–80 předávání dat s poměrem signálu k šumu pouze 5.^[29] Výše uvedené vzorce pro redukci šumu neplatí, protože korelace mezi vypočítanými datovými body se zvyšuje s každým průchodem.

Frekvenční charakteristiky konvolučních filtrů

Fourierova transformace 9bodové kvadratické / kubické vyhlazovací funkce

Konvoluční mapy k násobení v Fourier společná doména. The diskrétní Fourierova transformace konvolučního filtru je a funkce se skutečnou hodnotou které lze reprezentovat jako

${ displaystyle FT ( theta) = součet _ {j = { tfrac {1-m} {2}}} ^ { tfrac {m-1} {2}} C_ {j} cos (j theta)}$

θ běží od 0 do 180 stupňů, po kterém se funkce pouze opakuje. Typický je graf pro 9bodovou kvadratickou / kubickou vyhlazovací funkci. Při velmi nízkém úhlu je graf téměř plochý, což znamená, že nízkofrekvenční složky dat se během operace vyhlazení prakticky nezmění. Jak se úhel zvětšuje, hodnota klesá, takže vysokofrekvenční složky jsou stále více a více oslabovány. To ukazuje, že konvoluční filtr lze popsat jako a dolní propust: odstraněný hluk je primárně vysokofrekvenční šum a nízkofrekvenční šum prochází filtrem.^[30] Některé vysokofrekvenční složky šumu jsou zeslabeny více než jiné, jak ukazují zvlnění Fourierovy transformace pod velkými úhly. To může vést k malým oscilacím ve vyhlazených datech.^[31]

Konvoluce a korelace

Konvoluce ovlivňuje korelaci mezi chybami v datech. Účinek konvoluce lze vyjádřit jako lineární transformaci.

${ displaystyle Y_ {j} = součet _ {i = - { frac {m-1} {2}}} ^ { frac {m-1} {2}} C_ {i} , y_ { j + i}}$

Podle zákona z šíření chyb, variance-kovarianční matice údajů, A bude přeměněn na B podle

${ displaystyle mathbf {B} = mathbf {C} mathbf {A} mathbf {C} ^ {T}}$

Chcete-li zjistit, jak to v praxi platí, zvažte účinek tříbodového klouzavého průměru na první tři vypočítané body, Y₂ − Y₄, za předpokladu, že jsou datové body stejné rozptyl a že mezi nimi neexistuje žádná korelace. A bude matice identity vynásobeno konstantou, σ², rozptyl v každém bodě.

${ displaystyle mathbf {B} = { sigma ^ {2} nad 9} { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} = { sigma ^ {2} } { begin {pmatrix} 3 & 2 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 3 end {pmatrix}}}$

V tomto případě korelační koeficienty,

${ displaystyle rho _ {ij} = { frac {B_ {ij}} { sqrt {B_ {ii} B_ {jj}}}}, (i neq j)}$

mezi vypočítanými body i a j bude

${ displaystyle rho _ {i, i + 1} = {2 nad 3} = 0,66, , rho _ {i, i + 2} = {1 nad 3} = 0,33}$

Obecně jsou vypočtené hodnoty korelovány, i když pozorované hodnoty nekorelují. Korelace přesahuje m − 1 vypočítané body najednou.^[32]

Multipass filtry

Chcete-li ilustrovat účinek vícenásobného průchodu na šum a korelaci souboru dat, zvažte účinky druhého průchodu tříbodového filtru klouzavého průměru. Pro druhý průchod^{[poznámka 6]}

${ displaystyle mathbf {CBC ^ {T}} = { sigma ^ {2} nad 81} { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 3 & 2 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & 2 & 0 & 0 1 & 2 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 end {pmatrix } přes 81} { begin {pmatrix} 19 & 16 & 10 & 4 & 1 16 & 19 & 16 & 10 & 4 10 & 16 & 19 & 16 & 10 4 & 10 & 16 & 19 & 16 1 & 4 & 10 & 16 & 19 end {pmatrix}}}$

Po dvou průchodech se směrodatná odchylka středového bodu snížila na ${ displaystyle { sqrt { tfrac {19} {81}}} sigma = 0,48 sigma}$, ve srovnání s 0,58σ na jeden průchod. Redukce šumu je o něco menší, než by bylo dosaženo při průchodu 5bodovým klouzavým průměrem, který by za stejných podmínek vedl k tomu, že vyhlazené body budou mít menší směrodatnou odchylku 0,45σ.

Korelace nyní přesahuje rozpětí 4 sekvenčních bodů s korelačními koeficienty

${ displaystyle rho _ {i, i + 1} = {16 nad 19} = 0,84, rho _ {i, i + 2} = {10 nad 19} = 0,53, rho _ {i, já +3} = {4 nad 19} = 0,21, rho _ {i, i + 4} = {1 nad 19} = 0,05}$

Výhodou získanou provedením dvou průchodů s užší vyhlazovací funkcí je, že do vypočítaných dat vnáší menší zkreslení.

Viz také

• Jádro hladší - Různá terminologie pro mnoho stejných procesů používaných v systému Windows statistika
• Místní regrese - metody LOESS a LOWESS
• Numerická diferenciace - Aplikace na rozlišení funkce
• Vyhlazování spline
• Šablona (numerická analýza) - Aplikace na řešení diferenciálních rovnic

slepé střevo

Tabulky vybraných konvolučních koeficientů

Zvažte sadu datových bodů ${ displaystyle (x_ {j}, y_ {j}) _ {1 leq j leq n}}$. Tabulky Savitzky – Golay odkazují na případ, že jde o krok ${ displaystyle x_ {j} -x_ {j-1}}$ je konstantní, h. Příklady použití takzvaných konvolučních koeficientů s kubickým polynomem a velikostí okna, m, z 5 bodů jsou následující.

Vyhlazení

${ displaystyle Y_ {j} = { frac {1} {35}} (- 3 krát y_ {j-2} +12 krát y_ {j-1} +17 krát y_ {j} +12 krát y_ {j + 1} -3 krát y_ {j + 2})}$ ;

1. derivace

${ displaystyle Y '_ {j} = { frac {1} {12h}} (1 krát y_ {j-2} -8 krát y_ {j-1} +0 krát y_ {j} +8 krát y_ {j + 1} -1 krát y_ {j + 2})}$ ;

2. derivace

${ displaystyle Y '' _ {j} = { frac {1} {7h ^ {2}}} (2 krát y_ {j-2} -1 krát y_ {j-1} -2 krát y_ {j} -1 krát y_ {j + 1} +2 krát y_ {j + 2})}$.

Vybrané hodnoty konvolučních koeficientů pro polynomy stupně 1,2,3, 4 a 5 jsou uvedeny v následujících tabulkách. Hodnoty byly vypočítány pomocí kódu PASCAL poskytnutého v Gorry.^[15]

Poznámky

Reference

• Gans, Peter (1992). Data fitting in the chemical sciences: By the method of least squares. ISBN  9780471934127.

externí odkazy

• Advanced Convolution Coefficient Calculator (ACCC) for multidimensional least-squares filters
• Savitzky–Golay filter in Fundamentals of Statistics
• A wider range of coefficients for a range of data set sizes, orders of fit, and offsets from the centre point