Riemannova suma - Riemann sum

v matematika, a Riemannova suma je určitý druh přiblížení integrálu konečným součtem. Je pojmenována po německém matematikovi devatenáctého století Bernhard Riemann. Jednou z velmi běžných aplikací je aproximace oblasti funkcí nebo čar v grafu, ale také délka křivek a dalších aproximací.
Součet se vypočítá pomocí rozdělení region do tvarů (obdélníky, lichoběžníky, paraboly nebo krychle ), které společně tvoří oblast podobnou měřené oblasti, poté vypočítají plochu pro každý z těchto tvarů a nakonec přidají všechny tyto malé oblasti dohromady. Tento přístup lze použít k nalezení numerické aproximace pro a určitý integrál i když základní věta o počtu neumožňuje snadné nalezení a uzavřené řešení.
Protože oblast vyplněná malými tvary obvykle není úplně stejného tvaru jako oblast, která se měří, Riemannova suma se bude lišit od měřené oblasti. Tuto chybu lze snížit jemnějším rozdělením oblasti pomocí menších a menších tvarů. Jak se tvary zmenšují a zmenšují, součet se blíží k Riemannův integrál.
Definice
Nechat být funkcí definovanou v a uzavřený interval skutečných čísel, , a
- ,
být oddíl Já, kde
- .
A Riemannova suma z F přes Já s přepážkou P je definován jako
kde a .[1]Podle toho by se dalo vyprodukovat různé Riemannovy sumy jsou vybráni. Nakonec to nevadí, pokud je funkce Riemann integrovatelný, když je rozdíl nebo šířka součtů blíží se nule.
Některé konkrétní typy Riemannova součtu
Specifické možnosti dejte nám různé typy Riemannova součtu:
- Li pro všechny i, pak S se nazývá a levé pravidlo[2][3] nebo odešel Riemann součet.
- Li pro všechny i, pak S se nazývá a správné pravidlo[2][3] nebo vpravo Riemannova suma.
- Li pro všechny i, pak S se nazývá pravidlo středu[2][3] nebo střední Riemannova suma.
- Li (toto je supremum z F přes ), pak S je definován jako horní Riemannova suma nebo horní částka Darboux.
- Li (toto je infimum z F přes ), pak S je definován jako nižší Riemannova suma nebo nižší součet Darboux.
Všechny tyto metody patří mezi nejzákladnější způsoby, jak toho dosáhnout numerická integrace. Volně řečeno, funkce je Riemann integrovatelný pokud se všechny Riemannovy součty sbíhají, protože oddíl „je stále jemnější“.
I když to není technicky Riemannova součet, průměr levého a pravého Riemannova součtu je lichoběžníkový součet a je jedním z nejjednodušších z velmi obecného způsobu aproximace integrálů pomocí vážených průměrů. Ve složitosti následuje Simpsonovo pravidlo a Newton – Cotesovy vzorce.
Jakákoli Riemannova suma na daném oddílu (tj. Pro libovolný výběr mezi a ) je obsažen mezi spodní a horní částkou Darboux. To tvoří základ Darboux integrální, což je nakonec ekvivalentní Riemannovu integrálu.
Metody
Ke čtyřem metodám Riemannova součtu se obvykle nejlépe přistupuje s oddíly stejné velikosti. Interval [, ] se proto dělí na podintervaly, každý délky
Body v oddílu pak budou
Levý Riemannov součet

U levého Riemannova součtu dává aproximace funkce podle její hodnoty v levém koncovém bodě více obdélníků se základnou ΔX a výška F(A + iΔX). Dělat to pro i = 0, 1, ..., n - 1, a sečtením výsledných oblastí dává
Levá Riemannova částka se rovná nadhodnocení, pokud F je monotónně klesá v tomto intervalu a podhodnocení, pokud je monotónně roste.
Správně Riemannova suma

F je zde aproximována hodnotou v pravém koncovém bodě. To dává více obdélníků se základnou ΔX a výška F(A + i ΔX). Dělat to pro i = 1, ..., na sečtením výsledných oblastí vznikne
Správná Riemannova částka se rovná podhodnocení, pokud F je monotónně klesá, a nadhodnocení, pokud je monotónně roste Chyba tohoto vzorce bude
- ,
kde je maximální hodnota absolutní hodnota z na intervalu.
Pravidlo středu

Přibližné F ve středu intervalů dává F(A + ΔX/ 2) pro první interval, pro další F(A + 3ΔX/ 2) a tak dále až do F(b - ΔX/ 2). Shrnutí oblastí dává
- .
Chyba tohoto vzorce bude
- ,
kde je maximální hodnota absolutní hodnota z na intervalu.
Trapézové pravidlo

V tomto případě hodnoty funkce F na intervalu jsou aproximovány průměrem hodnot v levém a pravém koncovém bodě. Stejným způsobem jako výše, jednoduchý výpočet pomocí vzorce plochy
pro lichoběžník s rovnoběžnými stranami b1, b2 a výška h vyrábí
Chyba tohoto vzorce bude
kde je maximální hodnota absolutní hodnoty .
Aproximace získaná lichoběžníkovým pravidlem pro funkci je stejná jako průměr součtu levé a pravé ruky této funkce.
Spojení s integrací
Pro jednorozměrný Riemannův součet přes doménu , protože maximální velikost prvku oddílu se zmenšuje na nulu (to je limit normy oddílu jde na nulu), některé funkce budou mít všechny Riemannovy součty konvergovat na stejnou hodnotu. Tato mezní hodnota, pokud existuje, je definována jako určitý Riemannův integrál funkce přes doménu,
Pro doménu konečné velikosti, pokud se maximální velikost prvku oddílu zmenší na nulu, znamená to, že počet prvků oddílu přejde do nekonečna. U konečných oddílů jsou Riemannovy součty vždy aproximace mezní hodnoty a tato aproximace se zlepšuje, protože oddíl je jemnější. Následující animace pomáhají demonstrovat, jak zvýšení počtu oddílů (při snížení maximální velikosti prvku oddílu) lépe aproximuje „oblast“ pod křivkou:
Součet vlevo
Správný součet
Střední částka
Protože se zde předpokládá, že červená funkce je plynulá, všechny tři Riemannovy součty se sbíhají na stejnou hodnotu, jako je počet oddílů do nekonečna.
Příklad



Vezmeme si příklad, oblast pod křivkou y = X2 mezi 0 a 2 lze procedurálně vypočítat pomocí Riemannovy metody.
Interval [0, 2] je nejprve rozdělen na n podintervaly, z nichž každý má šířku ; to jsou šířky Riemannova obdélníků (dále jen „krabice“). Protože má být použita správná Riemannova suma, posloupnost X souřadnice polí budou . Pořadí výšek polí tedy bude . Je to důležitý fakt , a .
Plocha každého pole bude a proto nvpravo Riemannova suma bude:
Pokud je limit považován za n → ∞, lze vyvodit závěr, že aproximace se s přibývajícím počtem polí přibližuje skutečné hodnotě oblasti pod křivkou. Proto:
Tato metoda souhlasí s určitým integrálem vypočítaným více mechanickými způsoby:
Protože funkce je spojitá a monotónně se zvyšuje na intervalu, pravá Riemannova suma nadhodnocuje integrál o největší částku (zatímco levá Riemannova suma by podceňovala integrál o největší částku). Tato skutečnost, která je intuitivně zřejmá z diagramů, ukazuje, jak povaha funkce určuje, jak přesný je integrál odhadován. I když jsou jednoduché, pravé a levé Riemannovy součty často méně přesné než pokročilejší techniky odhadu integrálu, jako je Trapézové pravidlo nebo Simpsonovo pravidlo.
Ukázková funkce má snadno vyhledatelný derivát, takže odhad integrálu podle Riemannova součtu je většinou akademické cvičení; je však třeba si uvědomit, že ne všechny funkce mají anti-deriváty, takže odhad jejich integrálů součtem je prakticky důležitý.
Vyšší rozměry
Základní myšlenkou Riemannova součtu je „rozbít“ doménu pomocí oddílu na kousky, vynásobit „velikost“ každého kousku nějakou hodnotou, kterou funkce na tomto kousku převezme, a sečíst všechny tyto produkty. To lze zobecnit, aby Riemannovy součty pro funkce nad doménami více než jedné dimenze.
I když je proces rozdělení domény intuitivní, lze jej snadno pochopit, technické podrobnosti o tom, jak lze doménu rozdělit, jsou mnohem komplikovanější než jednorozměrný případ a zahrnují aspekty geometrického tvaru domény.[4]
Dva rozměry
Ve dvou dimenzích je doména lze rozdělit do několika buněk, takhle . Ve dvou rozměrech lze každou buňku interpretovat tak, že má „oblast“ označenou .[5] Riemannova suma je
kde .
Tři rozměry
Ve třech rozměrech je obvyklé používat písmeno pro doménu, takhle pod oddílem a je "objem" buňky indexovaný pomocí . Trojrozměrný Riemannův součet lze potom zapsat jako[6]
s .
Libovolný počet rozměrů
Vyšší dimenzionální Riemannovy sumy následují podobně jako od jedné do dvou až tří dimenzí. Pro libovolnou dimenzi n lze Riemannovu součet zapsat jako
kde , to znamená, že je to bod v n-dimenzionální buňce s n-rozměrným objemem .
Zobecnění
Ve vysoké obecnosti lze Riemannovy sumy zapisovat
kde znamená libovolný bod obsažený v prvku oddílu a je opatření na podkladové sadě. Zhruba řečeno, míra je funkce, která udává „velikost“ množiny, v tomto případě velikost množiny ; v jedné dimenzi to lze často interpretovat jako délku intervalu, ve dvou dimenzích, ploše, ve třech rozměrech, objemu atd.
Viz také
- Antiderivativní
- Eulerova metoda a metoda středního bodu, související metody řešení diferenciálních rovnic
- Lebesgueův integrál
- Riemannův integrál, limit Riemannova součtu, jak se oddíl stává nekonečně jemným
- Simpsonovo pravidlo, mocná numerická metoda silnější než základní Riemannovy součty nebo dokonce lichoběžníkové pravidlo
- Trapézové pravidlo, numerická metoda založená na průměru levého a pravého Riemannova součtu
Reference
- ^ Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G .; et al. (2005). Počet (4. vydání). Wiley. str. 252. (Mezi mnoha ekvivalentními variantami definice se tento odkaz velmi podobá zde uvedenému.)
- ^ A b C Hughes-Hallett, Deborah; McCullum, William G .; et al. (2005). Počet (4. vydání). Wiley. str. 340.
Zatím máme tři způsoby, jak odhadnout integrál pomocí Riemannova součtu: 1. The levé pravidlo používá levý koncový bod každého podintervalu. 2. The správné pravidlo používá pravý koncový bod každého podintervalu. 3. The pravidlo středu používá střed každého podintervalu.
- ^ A b C Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Kalkul z grafického, číselného a symbolického hlediska (Druhé vydání.). str. M-33.
S touto definicí se shodují součty levého, pravého a středního pravidla.
- ^ Swokowski, Earl W. (1979). Kalkul s analytickou geometrií (Druhé vydání.). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. 821–822. ISBN 0-87150-268-2.
- ^ Ostebee, Arnold; Zorn, Paul (2002). Kalkul z grafického, číselného a symbolického hlediska (Druhé vydání.). str. M-34.
Nasekáme rovinnou oblast R do m menší regiony R1, R2, R3, ..., Rm, možná různých velikostí a tvarů. „Velikost“ podoblasti Ri je nyní považován za jeho plocha, označeno ΔAi.
- ^ Swokowski, Earl W. (1979). Kalkul s analytickou geometrií (Druhé vydání.). Boston, MA: Prindle, Weber & Schmidt. str. 857–858. ISBN 0-87150-268-2.