Teorie revizí - Revision theory

Teorie revizí je podpole z filozofická logika. Skládá se z obecné teorie definice, mimo jiné včetně kruhových a vzájemně závislých koncepty. A kruhová definice je ten, ve kterém se definovaný koncept vyskytuje v prohlášení, které jej definuje - například definování G jako modré a nalevo od G. Revizní teorie poskytuje formální sémantika pro definované výrazy a formální kontrolní systémy studují logiku kruhových výrazů.

Definice jsou důležité ve filozofii a logice. Ačkoli kruhové definice byly považovány za logicky nesprávné nebo nesouvislé, teorie revize ukazuje, že mají smysl a lze je studovat pomocí matematický a filozofická logika. Používá se k poskytování kruhových analýz filozofických a logických konceptů.

Dějiny

Teorie revizí je zobecněním revizních teorií pravda rozvinutý Anil Gupta Hans Herzberger a Nuel Belnap.^[1] V revizních teoriích Gupty a Herzbergera se má revize odrážet intuitivní hodnocení vět, které používají predikát pravdy. Některé věty jsou při hodnocení stabilní, například věta pravdy,

Pravda je pravdivá.

Za předpokladu, že pravdivostní text je pravdivý, je pravdivý a za předpokladu, že je nepravdivý, je nepravdivý. Stav se nezmění. Na druhou stranu některé věty oscilují, například lhář,

Lhářská věta není pravdivá.

Za předpokladu, že je lhář pravdivý, lze ukázat, že je nepravdivý, a za předpokladu, že je nepravdivý, lze ukázat, že je pravdivý. Tato nestabilita se odráží v revizních sekvencích pro lháře.

Zobecnění na kruhové definice vyvinula Gupta ve spolupráci s Belnap. Jejich kniha, Revizní teorie pravdy, představuje podrobný vývoj teorie kruhových definic, jakož i přehled a kritickou diskusi o filozofických pohledech na pravdu a vztahu mezi pravdou a definicí.

Filozofické pozadí

Filozofické pozadí teorie revizí rozvíjejí Gupta a Belnap.^[2]Jiní filozofové, například Aladdin Yaqūb, vyvinuli filozofické interpretace teorie revizí v kontextu teorií pravdy, ale ne v obecném kontextu kruhových definic.^[3]

Gupta a Belnap tvrdí, že kruhové koncepty jsou smysluplné a logicky přijatelné. Kruhové definice jsou formálně přitažlivé, což dokazuje formální sémantika teorie revizí. Jak řekli Gupta a Belnap, „morálka, kterou čerpáme z paradoxů, spočívá v tom, že doména smysluplných je rozsáhlejší, než se zdá, že určité zdánlivě nesmyslné pojmy mají ve skutečnosti smysl.“^[4]

Význam kruhového predikátu není příponou, jak se často přiřazuje nekruhovým predikátům. Jeho významem je spíše pravidlo revize, které určuje, jak vygenerovat nové hypotetické rozšíření dané počáteční. Tyto nové přípony jsou přinejmenším stejně dobré jako originály, v tom smyslu, že vzhledem k jedné přípojce nová přípony obsahuje přesně ty věci, které uspokojí definiens pro konkrétní kruhový predikát. Obecně neexistuje žádné jedinečné rozšíření, na kterém by se revize usadila.^[5]

Teorie revizí nabízí alternativu k standardní teorie definic. Standardní teorie tvrdí, že dobré definice mají dvě vlastnosti. Nejprve lze vždy odstranit definované symboly a nahradit je tím, co je definuje. Zadruhé, definice by měly být konzervativní v tom smyslu, že přidání definice by nemělo vést k novým důsledkům v původním jazyce. Teorie revizí odmítá první, ale zachovává druhou, jak je ukázáno u obou silných smyslů platnosti uvedených níže.

Logik Alfred Tarski představil dvě kritéria pro hodnocení definic jako analýzy pojmů: formální správnost a materiální přiměřenost. Kritérium formální správnosti uvádí, že v definici: definiendum nesmí nastat v definiens. Kritérium materiální přiměřenosti říká, že definice musí být věrná analyzovanému konceptu. Gupta a Belnap doporučují, aby v případě konfliktu dvou kritérií upustili od materiální přiměřenosti.^[6] K určení, zda kruhová definice poskytuje dobrou analýzu konceptu, je nutné vyhodnotit materiální přiměřenost definice. Některé kruhové definice budou dobrou analýzou, jiné nikoli. Ať tak či onak, formální správnost v Tarskiho smyslu bude porušena.

Sémantika pro kruhové predikáty

Centrální sémantický myšlenka teorie revize je, že definice, jako je definice bytí a ${ displaystyle G}$ , poskytuje pravidlo revize to říká jednomu, co je nové rozšíření pro definiendum ${ displaystyle G}$ by mělo být, vzhledem k hypotetickému rozšíření definiendum a informace týkající se nedefinovaných výrazů. Opakované použití pravidla revize generuje sekvence hypotéz, kterými lze definovat logiku kruhových pojmů. V práci na teorii revizí je běžné používat symbol, ${ displaystyle = _ {df}}$ , k označení definice, přičemž levá strana je definiendum a pravá strana definiens.Příklad

Být a

{ displaystyle G}

je definována jako modrá a nalevo od a

{ displaystyle G}

pak lze zapsat jako

Být a

{ displaystyle G = _ {df}}

být jak modrý tak nalevo od

{ displaystyle G}

.

Vzhledem k hypotéze o rozšíření ${ displaystyle G}$ , lze získat nové rozšíření pro ${ displaystyle G}$ odvolání k významu nedefinovaných výrazů v definici, a to modrý a nalevo od.

Začínáme základním jazykem, ${ displaystyle L}$ , který je interpretován klasickým základem Modelka ${ displaystyle M}$ , což je dvojice a doména ${ displaystyle D}$ a interpretační funkce ${ displaystyle I}$ .^[7] Předpokládejme, že soubor definic ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je následující,

{ displaystyle { begin {aligned} G_ {1} { overline {x}} & = _ {Df} A_ {G_ {1}} ({ overline {x}}) & {} , , , vdots G_ {n} { overline {x}} & = _ {Df} A_ {G_ {n}} ({ overline {x}}) & {} , , , vdots end {zarovnáno}}}

kde každý ${ displaystyle A_ {G_ {i}}}$ je vzorec, který může obsahovat kteroukoli z látek definienda ${ displaystyle G_ {j}}$ , počítaje v to ${ displaystyle G_ {i}}$ sám. Je požadováno, aby v definicích byly zobrazeny pouze zobrazené proměnné, ${ displaystyle { overline {x}}}$ , jsou zdarma v definientia, vzorce ${ displaystyle A_ {G_ {i}}}$ . Jazyk je rozšířen o tyto nové predikáty, ${ displaystyle G_ {1}, ldots, G_ {n}, ldots}$ , tvořit ${ displaystyle L}$ ⁺. Když se set ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ obsahuje několik definovaných predikátů, je běžné používat notaci, ${ displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A ({ overline {x}}, G)}$ zdůraznit to ${ displaystyle A}$ může obsahovat ${ displaystyle G}$ .

Hypotéza ${ displaystyle h}$ je funkce z definienda z n-tic z ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ . Model ${ displaystyle M + h}$ je jako model ${ displaystyle M}$ kromě toho ${ displaystyle h}$ interpretuje každý definiendum podle následující dvojpodmínky, jejíž levá strana se čte jako „ ${ displaystyle G_ {i} ({ overline {t}})}$ je pravda v ${ displaystyle M + h}$ .”

{ displaystyle M + h modely G_ {i} ({ overline {t}}) { text {iff}} I ({ overline {t}}) v h (G_ {i})}

Sada ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ definic přináší pravidlo revize nebo operátor revize, ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}}}$ . Provozovatelé revizí dodržují následující ekvivalenci pro každého definiendum, ${ displaystyle G}$ , v ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ .

{ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} (h) modely G ({ overline {t}}) { text {iff}} M + h modely A_ {G} ( { overline {t}})}

N-tice uspokojí a definiendum ${ displaystyle G}$ po revizi jen v případě, že vyhovuje definiens pro ${ displaystyle G}$ , jmenovitě ${ displaystyle A_ {G}}$ , před revizí. To znamená, že n-tice, které uspokojí ${ displaystyle A_ {G}}$ podle hypotézy budou přesně ty, které uspokojí ${ displaystyle G}$ podle revize této hypotézy.

Klasické spojky jsou hodnoceny obvyklým, rekurzivním způsobem ${ displaystyle M + h}$ . Pouze hodnocení definovaného predikátu apeluje na hypotézy.

Sekvence

Sekvence revizí jsou sekvence hypotéz splňujících zvláštní podmínky.^[8] Zde se zaměříme na sekvence, které jsou ${ displaystyle omega}$ -long, protože transfinitní revizní sekvence vyžadují další specifikaci toho, co dělat v mezních fázích.

Nechat ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ být posloupností hypotéz, a nechť ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha}}$ být ${ displaystyle alpha}$ -th hypotéza v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ . An ${ displaystyle omega}$ dlouhá sekvence ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ hypotéz je revizní sekvence jen pro všechny ${ displaystyle n}$ ,

{ displaystyle { mathcal {S}} _ {n + 1} = delta _ {M, { mathcal {D}}} ({ mathcal {S}} _ {n}).}

Rekurzivně definujte iteraci jako

${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {0} (h) = h}$ a
${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n + 1} (h) = delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} ( delta _ { M, { mathcal {D}}} (h)).}$

The ${ displaystyle omega}$ - dlouhá sekvence revizí od ${ displaystyle h}$ lze psát následovně.

{ displaystyle h, delta _ {M, { mathcal {D}}} (h), delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {2} (h), ldots}

Jeden smysl pro platnost, ${ displaystyle S_ {0}}$ platnost, lze definovat následovně. Věta ${ displaystyle A}$ platí v ${ displaystyle S_ {0}}$ v ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle {D}}$ pokud existuje ${ displaystyle n}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle h}$ a pro všechny ${ displaystyle m geq n}$ , ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} (h) modely A}$ . Věta ${ displaystyle A}$ je platný dne ${ displaystyle D}$ jen v případě, že je platný ve všech ${ displaystyle M}$ .

Platnost v ${ displaystyle S_ {0}}$ lze přepracovat z hlediska stability v ${ displaystyle omega}$ dlouhé sekvence. Věta ${ displaystyle A}$ stabilně platí v revizní sekvenci jen pro případ, že existuje ${ displaystyle { alpha}}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle beta geq alpha}$ , ${ displaystyle M + {{ mathcal {S}} _ { beta}} modely A}$ . Věta ${ displaystyle A}$ je v revizní sekvenci stabilně nepravdivé, pouze v případě, že existuje ${ displaystyle { alpha}}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle beta geq alpha}$ , ${ displaystyle M + {{ mathcal {S}} _ { beta}} ne modely A}$ . V těchto termínech věta ${ displaystyle A}$ platí v ${ displaystyle S_ {0}}$ v ${ displaystyle M}$ pouze pro případ ${ displaystyle A}$ ve všech je stabilně pravdivá ${ displaystyle omega}$ - dlouhé revizní sekvence zapnuty ${ displaystyle M}$ .

Příklady

U prvního příkladu dovolme ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1}}$ být ${ displaystyle Gx = _ {Df} (x = a & sim Gx) lor (x = b & Gb).}$ Nechte doménu pozemního modelu ${ displaystyle M}$ být ${a, b}$ a nechte ${ displaystyle I (a) = a}$ a ${ displaystyle I (b) = b}$ . Pak existují čtyři možné hypotézy pro ${ displaystyle M}$ : ${ displaystyle emptyset}$ , ${A}$ , ${b}$ , ${a, b}$ . Prvních několik kroků revizních sekvencí vycházející z těchto hypotéz ilustruje následující tabulka.

Ukázková revize pro ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {1}}$
fáze 0	fáze 1	fáze 2	fáze 3
${ displaystyle emptyset}$	${A}$	${ displaystyle emptyset}$	${A}$
${A}$	${ displaystyle emptyset}$	${A}$	${ displaystyle emptyset}$
${b}$	${a, b}$	${b}$	${a, b}$
${a, b}$	${b}$	${a, b}$	${b}$

Jak je vidět z tabulky, ${ displaystyle a}$ jde dovnitř a ven z rozšíření ${ displaystyle G}$ . Nikdy se nestabilizuje. Na druhou stranu, ${ displaystyle b}$ buď zůstane, nebo zůstane venku. Je stabilní, ale to, zda je stabilně pravdivá nebo stabilně nepravdivá, závisí na počáteční hypotéze.

Dále nechte ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2}}$ být ${ displaystyle Hx = _ {Df} Hx lor sim Hx.}$ Jak ukazuje následující tabulka, všechny hypotézy základního modelu předchozího příkladu jsou revidovány na sadu ${a, b}$ .

Ukázková revize pro ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {2}}$
fáze 0	fáze 1	fáze 2	fáze 3
${ displaystyle emptyset}$	${a, b}$	${a, b}$	${a, b}$
${A}$	${a, b}$	${a, b}$	${a, b}$
${b}$	${a, b}$	${a, b}$	${a, b}$
${a, b}$	${a, b}$	${a, b}$	${a, b}$

Pro trochu složitější vzor revize dovolte ${ displaystyle {L}}$ obsahovat ${ displaystyle <}$ a všechny číslice, ${ displaystyle { overline {k}}}$ a nechte být pozemní model ${ displaystyle mathbb {N}}$ , jehož doménou jsou přirozená čísla, ${ displaystyle omega}$ , s tlumočením ${ displaystyle I}$ takhle ${ displaystyle I ({ overline {k}}) = k}$ pro všechny číslice a ${ displaystyle I (<)}$ je obvyklé řazení na přirozených číslech. Nechat ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$ být ${ displaystyle Jx = _ {Df} for all y (y$ Nechte počáteční hypotézu ${ displaystyle h}$ být ${ displaystyle emptyset}$ . V tomto případě se sekvence rozšíření buduje krok za krokem.

{ displaystyle varnothing, {0 }, {0,1 }, {0,1,2, }, ldots}

I když pro každého ${ displaystyle n}$ , ${ displaystyle J { overline {n}}}$ platí v ${ displaystyle mathbb {N}}$ , ${ displaystyle for all xJx}$ není platný v ${ displaystyle mathbb {N}}$ .

Předpokládejme, že počáteční hypotéza obsahuje 0, 2 a všechna lichá čísla. Po jedné revizi prodloužení ${ displaystyle J}$ bude ${0, 1, 2, 3, 4}$ . Následné revize vytvoří rozšíření jako v předchozím příkladu. Obecněji, pokud rozšíření ${ displaystyle J}$ není všechno ${ displaystyle mathbb {N}}$ , pak jedna revize ořízne příponu ${ displaystyle J}$ až na možná prázdný počáteční segment přirozených čísel a následné revize jej vytvoří zpět.

Důkazní systém

Tady je Systém Fitch ve stylu přirozeného dedukce, ${ displaystyle C_ {0}}$ , pro kruhové definice.^[9] Systém používá indexované vzorce, ${ displaystyle {A} ^ {i}}$ , kde ${ displaystyle i}$ může být jakékoli celé číslo. Lze si představit, že indexy představují relativní pozici v revizní sekvenci. Předpoklady a závěry pravidel pro klasická spojovací zařízení mají stejný index. Zde jsou například pravidla pro úvod do spojování a negace.

|  ${ displaystyle B ^ {i}}$ |  ${ displaystyle C ^ {i}}$ |  ${ displaystyle (B & C) ^ {i}}$   ${ displaystyle &}$ v

| |__  ${ displaystyle B ^ {i}}$ | |  ${ displaystyle vdots}$ | |  ${ displaystyle bot ^ {i}}$ |  ${ displaystyle sim B ^ {i}}$   ${ displaystyle sim}$ v

Pro každou definici ${ displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A_ {G} ({ overline {x}})}$ , v ${ displaystyle D}$ , existuje dvojice pravidel.

|  ${ displaystyle A_ {G} ({ overline {t}}) ^ {i}}$ |  ${ displaystyle G ({ overline {t}}) ^ {i + 1}}$  DfIn

|  ${ displaystyle G ({ overline {t}}) ^ {i + 1}}$ |  ${ displaystyle A_ {G} ({ overline {t}}) ^ {i}}$  DfElim

V těchto pravidlech se předpokládá, že ${ displaystyle { overline {t}}}$ jsou zdarma pro ${ displaystyle { overline {x}}}$ v ${ displaystyle A_ {G}}$ .

Nakonec pro vzorce ${ displaystyle B}$ z ${ displaystyle {L}}$ , existuje ještě jedno pravidlo, pravidlo posunu indexu.

|  ${ displaystyle B ^ {i}}$ |  ${ displaystyle B ^ {j}}$  JE

V tomto pravidle ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$ mohou to být jakékoli odlišné indexy. Toto pravidlo odráží skutečnost, že vzorce ze základního jazyka nemění svou interpretaci během procesu revize.

Systém ${ displaystyle C_ {0}}$ je zvuk a kompletní s ohledem na ${ displaystyle S_ {0}}$ platnost, což znamená, že věta je platná v ${ displaystyle S_ {0}}$ jen v případě, že je to odvozitelné v ${ displaystyle C_ {0}}$ .

Nedávno společnost Riccardo Bruni vyvinula a Hilbertův axiomový systém a a následný systém které jsou zdravé a úplné s ohledem na ${ displaystyle S_ {0}}$ .^[10]

Transfinitní revize

U některých definic ${ displaystyle S_ {0}}$ platnost není dostatečně silná.^[11] Například v definici ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$ , i když každé číslo je nakonec stabilně v rozšíření ${ displaystyle J}$ , všeobecně vyčíslená věta ${ displaystyle for all xJx}$ není platný. Důvodem je, že aby platila jakákoli daná věta, musí se po konečně mnoha revizích stabilizovat na pravdivou. Na druhou stranu, ${ displaystyle for all xJx}$ potřebuje nekonečně mnoho revizí, pokud počáteční hypotéza již nepřiřadí všechna přirozená čísla jako příponu ${ displaystyle J}$ .

Přírodní posílení ${ displaystyle S_ {0}}$ platnost a alternativy k ní používají nekonečně dlouhé revizní sekvence. Nechat ${ displaystyle zapnuto}$ být třídou všech řadové. Definice se zaměří na sekvence hypotéz, které jsou ${ displaystyle zapnuto}$ -dlouho.

Předpokládat ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ je ${ displaystyle zapnuto}$ dlouhá posloupnost hypotéz. N-tice ${ displaystyle { overline {d}}}$ je stabilně v rozšíření definovaného predikátu ${ displaystyle G}$ v a mezní pořadové číslo ${ displaystyle beta}$ v pořadí ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ jen v případě, že existuje ${ displaystyle alpha leq beta}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle gamma}$ s ${ displaystyle alpha leq gamma < beta}$ , ${ displaystyle { overline {d}} v { mathcal {S}} _ { gamma}}$ . Podobně n-tice ${ displaystyle { overline {d}}}$ je stabilně mimo rozšíření ${ displaystyle G}$ na limitu ordinálu ${ displaystyle beta}$ jen pro případ, že by tam bylo pódium ${ displaystyle alpha}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle gamma}$ s ${ displaystyle alpha leq gamma < beta}$ , ${ displaystyle { overline {d}} ne in { mathcal {S}} _ { gamma}}$ . v opačném případě ${ displaystyle { overline {d}}}$ je nestabilní v ${ displaystyle beta}$ v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ . Neformálně je n-tice stabilně v prodloužení na limitu, jen v případě, že existuje fáze, po níž je n-tice v prodloužení až do limitu, a n-tice je stabilně venku jen v případě, že existuje fáze, po které zůstane mimo provoz do mezní fáze.

Hypotéza ${ displaystyle h}$ souvisí s ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ na limitu ordinálu ${ displaystyle beta}$ iff pro všechny n-tice ${ displaystyle { overline {d}}}$ , pokud ${ displaystyle { overline {d}}}$ je stabilně v [stabilně mimo] rozšíření ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle beta}$ v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ , pak ${ displaystyle { overline {d}} v [ ne v] h (G)}$ .

An ${ displaystyle zapnuto}$ dlouhá sekvence ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ hypotéz je revizní sekvence iff pro všechny ${ displaystyle alpha}$ ,

-li ${ displaystyle alpha = beta +1}$ , pak ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha} = delta _ {M, { mathcal {D}}} ({ mathcal {S}} _ { beta})}$ , a
-li ${ displaystyle alpha}$ je tedy limit ${ displaystyle { mathcal {S}} _ { alpha}}$ souvisí s ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ na ${ displaystyle alpha}$ .

Stejně jako u ${ displaystyle omega}$ sekvence, nástupnické etapy sekvence jsou generovány operátorem revize. V mezních fázích je však jediným omezením to, že limitní hypotéza odpovídá tomu, co přišlo dříve. Nestabilní prvky jsou nastaveny podle pravidla omezení, jehož podrobnosti jsou ponechány otevřené sadou definic.

Pravidla limitu lze rozdělit do dvou tříd, konstantní a nekonstantní, podle toho, zda dělají různé věci v různých limitních fázích. Pravidlo konstantního limitu dělá totéž s nestabilními prvky na každém limitu. Jedno konkrétní pravidlo konstantního limitu, Herzbergerovo pravidlo, vylučuje všechny nestabilní prvky z rozšíření. Podle dalšího konstantního pravidla, pravidla Gupta, jsou do rozšíření zahrnuty nestabilní prvky pouze pro případ, že by byly v ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {0}}$ . Nekonstantní pravidla limitů mění zacházení s nestabilními prvky na mezích.

Pomocí lze definovat dva smysly platnosti ${ displaystyle zapnuto}$ dlouhé sekvence. První, ${ displaystyle S ^ {*}}$ platnost je definována z hlediska stability. Věta ${ displaystyle A}$ platí v ${ displaystyle S ^ {*}}$ v ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ pokud pro všechny ${ displaystyle zapnuto}$ - dlouhé revizní sekvence ${ displaystyle {S}}$ , je tu jeviště ${ displaystyle alpha}$ takhle ${ displaystyle A}$ stabilně platí v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ po fázi ${ displaystyle alpha}$ . Věta ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle S ^ {*}}$ platné dne ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ jen pro případ všech klasických pozemních modelů ${ displaystyle M}$ , ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle S ^ {*}}$ platné v ${ displaystyle M}$ na ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ .

Druhý smysl pro platnost, ${ displaystyle S ^ { #}}$ platnost, použití téměř stabilita spíše než stabilita. Věta ${ displaystyle {A}}$ je téměř stabilně pravdivý v pořadí ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ pokud existuje ${ displaystyle alpha}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle beta geq alpha}$ , existuje přirozené číslo ${ displaystyle n}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle m geq n}$ , ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} ({ mathcal {S}} _ { beta}) modely A.}$ Věta ${ displaystyle {A}}$ je v pořadí téměř stabilně falešný ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ pokud existuje ${ displaystyle alpha}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle beta geq alpha}$ , existuje přirozené číslo ${ displaystyle n}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle m geq n}$ , ${ displaystyle M + delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {m} ({ mathcal {S}} _ { beta}) ne modely A.}$ Téměř stabilní věta může mít konečně dlouhá období nestability po limitech, po kterých se usadí až do dalšího limitu.

Věta ${ displaystyle A}$ platí v ${ displaystyle S ^ { #}}$ v ${ displaystyle M}$ pokud pro všechny ${ displaystyle zapnuto}$ - dlouhé revizní sekvence ${ displaystyle {S}}$ , je tu jeviště ${ displaystyle alpha}$ takhle ${ displaystyle A}$ je téměř stabilně pravdivý ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ po fázi ${ displaystyle alpha}$ . Věta ${ displaystyle A}$ platí v ${ displaystyle S ^ { #}}$ v případě, že je platný v ${ displaystyle S ^ { #}}$ ve všech pozemních modelech.

Pokud je věta platná v ${ displaystyle S ^ {*}}$ , pak platí v ${ displaystyle S ^ { #}}$ , ale ne naopak. Příklad použití ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {3}}$ ukazuje to pro platnost v modelu. Věta ${ displaystyle for all xJx}$ není platný v ${ displaystyle mathbb {N}}$ v ${ displaystyle S_ {0}}$ , ale platí v ${ displaystyle S ^ { #}}$ .

Přitažlivost ${ displaystyle S ^ { #}}$ platnost je, že generuje jednodušší logiku než ${ displaystyle S ^ {*}}$ . Důkazový systém ${ displaystyle C_ {0}}$ je zvuk pro ${ displaystyle S ^ { #}}$ , ale obecně to není úplné. S ohledem na úplnost ${ displaystyle C_ {0}}$ , pokud je věta platná v ${ displaystyle S_ {0}}$ , pak platí v ${ displaystyle S ^ { #}}$ , ale konverzace obecně neplatí. Platnost v ${ displaystyle S_ {0}}$ a v ${ displaystyle S ^ {*}}$ jsou obecně nesrovnatelné. Tudíž, ${ displaystyle C_ {0}}$ není zvuk pro ${ displaystyle S ^ {*}}$ .

Konečné definice

Zatímco ${ displaystyle S ^ { #}}$ předstihy platnosti ${ displaystyle S_ {0}}$ obecně platí, že existuje zvláštní případ, kdy se tyto dva shodují, konečné definice. Volně řečeno, definice je konečná, pokud všechny revizní sekvence přestanou po konečném počtu revizí vytvářet nové hypotézy. Přesněji řečeno, definujeme hypotézu ${ displaystyle h}$ tak jako reflexní jen v případě, že existuje ${ displaystyle n> 0}$ takhle ${ displaystyle h = delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} (h)}$ . Definice je konečná, pokud platí pro všechny modely ${ displaystyle M}$ , pro všechny hypotézy ${ displaystyle h}$ , existuje přirozené číslo ${ displaystyle n}$ , takový, že ${ displaystyle delta _ {M, { mathcal {D}}} ^ {n} (h)}$ je reflexivní. Gupta ukázal, že pokud ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je tedy konečný ${ displaystyle S ^ { #}}$ platnost a ${ displaystyle S_ {0}}$ platnost se shoduje.

Neexistuje žádná známá syntaktická charakterizace sady konečných definic a konečné definice nejsou uzavřeny za standardních logických operací, jako je konjunkce a disjunkce. Maricarmen Martinez identifikoval některé syntaktické rysy, pod kterými je uzavřena množina konečných definic.^[12] Ukázala, že pokud ${ displaystyle {L}}$ obsahuje pouze unární predikáty, kromě identity, neobsahuje žádné funkční symboly a definienda z ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ jsou tedy unární ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je konečný.

Zatímco mnoho standardních logických operací nezachovává konečnost, je zachována operací vlastní složení.^[13] Pro definici ${ displaystyle G { overline {x}} = _ {Df} A ({ overline {x}}, G)}$ , rekurzivně definujte vlastní složení takto.

${ displaystyle A ^ {0} ({ overline {x}}, G) = G { overline {x}}}$ a
${ displaystyle A ^ {n + 1} ({ overline {x}}, G) = A ^ {n} ({ overline {x}}, G) [A ({ overline {t}}, G ) / G { overline {t}}]}$ .

To říká druhý ${ displaystyle A ^ {n + 1}}$ se získá nahrazením všech instancí ${ displaystyle G { overline {t}}}$ v ${ displaystyle A ^ {n}}$ , s ${ displaystyle A ({ overline {t}}, G)}$ . Li ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ je konečná definice a ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ {n}}$ je výsledkem jejich nahrazení definiens ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ s ${ displaystyle B ^ {n}}$ , pak ${ displaystyle { mathcal {D}} ^ {n}}$ je také konečná definice.

Pozoruhodné formální rysy

Teorie revizí odlišuje materiální ekvivalenci od definiční.^[14] Sady definic používají druhé. Obecně platí, že definiční ekvivalence není stejná jako materiální. Vzhledem k definici

{ displaystyle Gx = _ {Df} A (x, G),}

jeho materiální protějšek,

{ displaystyle forall x (Gx equiv A (x, G)),}

nebude obecně platný.^[15]Definice

{ displaystyle Gx = _ {Df} sim Gx}

ilustruje neplatnost. Své definiens a definiendum nebude mít po jakékoli revizi stejnou pravdivostní hodnotu, takže materiální biconditional nebude platný. U některých definic jsou platné protějšky definičních klauzulí. Například pokud definientia Pokud obsahují pouze symboly ze základního jazyka, budou platné protějšky materiálu.

Výše uvedené definice platí pro klasické schéma. Definice lze upravit tak, aby fungovaly s jakýmkoli sémantickým schématem.^[16] To zahrnuje schémata se třemi hodnotami, jako např Silný Kleene, s negace vyloučení, jehož tabulka pravdy je následující.

Negace vyloučení
${ displaystyle lnot}$
${ displaystyle { textbf {t}}}$	${ displaystyle { textbf {f}}}$
${ displaystyle { textbf {n}}}$	${ displaystyle { textbf {f}}}$
${ displaystyle { textbf {f}}}$	${ displaystyle { textbf {t}}}$

Je pozoruhodné, že mnoho přístupů k pravdě, jako např Saul Kripke Silnou Kleeneovu teorii nelze v jazyce použít s negací vyloučení.

Teorie revizí, i když je v některých ohledech podobná teorii indukčních definic, se liší několika způsoby.^[17] Nejdůležitější je, že revize nemusí být monotónní, což znamená, že rozšíření v pozdějších fázích nemusí být nadmnožinou rozšíření v dřívějších fázích, jak ukazuje první výše uvedený příklad. Podobně teorie revizí nepředpokládá žádná omezení syntaktické formy definic. Induktivní definice vyžadují jejich definientia být pozitivní, V tom smyslu, že definienda se může zobrazit pouze v definientia pod sudým počtem negací. (To předpokládá, že negace, konjunkce, disjunkce a univerzální kvantifikátor jsou primitivní logické spojky a zbývající klasické spojky jsou jednoduše definované symboly.) Definice

{ displaystyle Gx = _ {Df} (x { text {je sudý}} & Gx) vee (x { text {je sudý}} & sim Gx)}

je přijatelný v teorii revizí, i když ne v teorii indukčních definic.

Induktivní definice jsou sémanticky interpretovány pomocí pevných bodů, hypotéz ${ displaystyle h}$ pro který ${ displaystyle h = delta _ {M, { mathcal {D}}} (h)}$ . Obecně revizní sekvence nedosáhnou pevných bodů. Pokud definientia z ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ jsou všechny pozitivní, pak sekvence revize dosáhnou pevných bodů, pokud má počáteční hypotéza tu vlastnost, že ${ displaystyle h (G) subseteq delta _ {M, { mathcal {D}}} (h) (G)}$ , pro každého ${ displaystyle G}$ . Zejména vzhledem k takovému a ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ , pokud počáteční hypotéza přiřadí prázdnou příponu všem definienda, pak revizní sekvence dosáhne minimálního pevného bodu.

Sady platných vět u některých definic mohou být zvláště velmi složité ${ displaystyle Pi _ {2} ^ {1}}$ . Ukázali to Philip Kremer a Aldo Antonelli.^[18] V důsledku toho neexistuje žádný důkazní systém pro ${ displaystyle S ^ { #}}$ platnost.

Pravda

Nejznámější aplikací teorie revizí je teorie teorie, jak ji rozvinuli například Gupta a Belnap (1993). Kruhová definice pravdy je souborem všech Tarskiho dvou podmínek, „ ${ displaystyle A}$ „Je pravda iff ${ displaystyle A}$ , kde „iff“ je chápáno jako definiční rovnocennost, ${ displaystyle = _ {Df}}$ , spíše než materiální rovnocennost. Každá Tarski biconditional poskytuje částečnou definici pojmu pravda. Koncept pravdy je kruhový, protože některé Tarskiho dvojpodmínky používají ve své době nezměnitelnou instanci „je pravda“ definiens. Předpokládejme například, že ${ displaystyle b}$ je název věty pravdy, ${ displaystyle b}$ je pravda. Tato věta má Tarskiho dvojpodmínečnost: ${ displaystyle b}$ je pravda iff ${ displaystyle b}$ je pravda. Pravdivý predikát vpravo nelze vyloučit. Tento příklad závisí na tom, zda je v jazyce mluvčí pravdy. Tento a další příklady ukazují, že pravda definovaná Tarskiho dvojpodmíněnými je kruhový koncept.

Některé jazyky, například jazyk aritmetiky, budou mít brutální sebeodkazy. Lhář a další patologické věty jsou zaručeně v jazyce s pravdou. Lze definovat i jiné jazyky s pravdou, které postrádají brutální sebeodkazy.^[19] V takovém jazyce libovolná revizní sekvence ${ displaystyle {S}}$ protože pravda musí dospět do stadia, kdy ${ displaystyle {S} _ { alpha} = {S} _ { alpha +1}}$ , takže predikát pravdy se chová jako nekruhový predikát.^[20] Výsledkem je, že v takových jazycích má pravda stabilní rozšíření, které je definováno ve všech větách jazyka. To je na rozdíl od mnoha jiných teorií pravdy, například minimální Strong Kleene a minimální nadhodnotový teorie. Rozšíření a anti-rozšíření predikátu pravdy v těchto teoriích nevyčerpá množinu vět jazyka.

Rozdíl mezi ${ displaystyle S ^ { #}}$ a ${ displaystyle S ^ {*}}$ je důležité při zvažování revizních teorií pravdy. Část rozdílu naráží na sémantické zákony, což jsou následující ekvivalence, kde T je predikát pravdy.^[21]

${ displaystyle forall A (T ( ulcorner sim A urcorner) equiv sim T ( ulcorner A urcorner))}$
${ displaystyle forall A, B (T ( ulcorner {A & B} urcorner) equiv T ( ulcorner {A} urcorner) & T ( ulcorner {B} urcorner))}$
${ displaystyle forall A, B (T ( ulcorner {A lor B} urcorner) equiv T ( ulcorner {A} urcorner) lor T ( ulcorner {B} urcorner))}$
${ displaystyle forall A (T ( ulcorner forall xA urcorner) equiv forall tT ( ulcorner A [x / t] urcorner))}$

Všechny jsou platné v ${ displaystyle S ^ { #}}$ , i když poslední je platný pouze tehdy, když je doména počítatelná a každý prvek je pojmenován. v ${ displaystyle S ^ {*}}$ , žádný však není platný. Je vidět, proč zákon o negaci selhává, když vezmeme v úvahu lháře, ${ displaystyle a = ulcorner { sim Ta} urcorner}$ . Lhář a všechny konečné iterace predikátu pravdy jsou nestabilní, takže je možné nastavit ${ displaystyle T ulcorner {Ta} urcorner}$ a ${ displaystyle T ulcorner { sim Ta} urcorner}$ mít stejnou pravdivostní hodnotu na určitých mezích, což má za následek ${ displaystyle sim T ulcorner {Ta} urcorner}$ a ${ displaystyle T ulcorner { sim Ta} urcorner}$ mít různé hodnoty pravdy. To je po revizi opraveno, ale zákon o negaci nebude stabilně pravdivý. Je to důsledek věty o Vannovi McGeeovi, v níž je revizní teorie pravdy ${ displaystyle S ^ { #}}$ je ${ displaystyle omega}$ -konzistentní.^[22] The ${ displaystyle S ^ {*}}$ teorie není ${ displaystyle omega}$ -konzistentní.

Existuje axiomatická teorie pravdy, která souvisí s ${ displaystyle S ^ { #}}$ teorie v jazyce aritmetiky s pravdou. Teorie Friedman-Sheard (FS) se získá přidáním k obvyklým axiomům Peano aritmetika

axiom ${ displaystyle forall s, t (T ( ulcorner {s = t} urcorner) equiv s = t)}$ ,
sémantické zákony,
the indukční axiomy s predikátem pravdy a
dvě pravidla
- -li ${ displaystyle vdash A}$ , pak ${ displaystyle vdash T ( ulcorner A urcorner)}$ , a
- -li ${ displaystyle vdash T ( ulcorner A urcorner)}$ , pak ${ displaystyle vdash A}$ .^[23]

Podle McGeeho věty je tato teorie ${ displaystyle omega}$ -konzistentní. FS však nemá jako věty žádné falešné čistě aritmetické věty.^[24] FS má jako větu globální reflexi pro Peanoovu aritmetiku,

{ displaystyle forall x (( mathrm {Sent} (x) & mathrm {Bew} _ {PA} (x)) supset Tx),}

kde ${ displaystyle mathrm {Bew} _ {PA}}$ je predikát prokazatelnosti pro Peano aritmetiku a ${ displaystyle mathrm {Odesláno}}$ je predikát pravdivý pro všechny a jediné věty jazyka s pravdou. V důsledku toho je teorémem FS, že Peanoova aritmetika je konzistentní.

FS je subteorie teorie pravdy pro aritmetiku, množinu vět platných v ${ displaystyle S ^ { #}}$ . Standardní způsob, jak ukázat, že FS je konzistentní, je použít ${ displaystyle omega}$ - dlouhá revizní sekvence.^[25] Byla provedena určitá práce na axiomatizaci ${ displaystyle S ^ {*}}$ teorie pravdy pro aritmetiku.^[26]

Další aplikace

Revizní teorie byla použita ke studiu kruhových konceptů kromě pravdy a k poskytnutí alternativních analýz konceptů, jako je racionalita.

A nepodložená teorie množin je teorie množin která postuluje existenci nepodložené množiny, což je množina ${ displaystyle x}$ který má nekonečný sestupný řetězec ve vztahu k členství,

{ displaystyle cdots x_ {n + 1} v x_ {n} v cdots v x_ {1} v x.}

Antonelli použil teorii revizí ke konstrukci modelů neopodstatněné teorie množin.^[27] Jedním příkladem je teorie množin, která postuluje množinu, jejíž jediným členem je sama, ${ displaystyle x = {x }}$ .

Nekonečný čas Turingovy stroje jsou modely výpočtu, které umožňují výpočty nekonečně mnoha kroků. Zobecňují standardní Turingovy stroje používané v teorii vypočítatelnosti. Benedikt Löwe ukázal, že existuje úzké propojení mezi výpočty Turingových strojů s nekonečným časem a revizními procesy.^[28]

Racionální volba v herní teorie byl analyzován jako kruhový koncept. André Chapuis argumentoval, že argumentační agenti používají při racionální volbě projevy vzájemné závislosti charakteristické pro kruhové koncepty.^[29]

Teorii revizí lze přizpůsobit k modelování jiných druhů jevů. Například, neurčitost byl analyzován z teoreticko-teoretického hlediska Conradem Asmusem.^[30] Chcete-li modelovat vágní predikát tohoto přístupu, určete dvojice podobných objektů a které objekty jsou nehraniční případy, a proto jsou nevratné. Hraniční objekty mění svůj stav s ohledem na predikát v závislosti na stavu objektů, kterým jsou podobné.

Revizní teorie byla použita Guptou k vysvětlení logického přínosu zkušenosti k víře člověka.^[31] Podle tohoto pohledu je přínos zkušenosti reprezentován pravidlem revize, které bere jako vstup do pohledu agenta, nebo koncepty a víry, a poskytuje jako výstupní percepční úsudky. Tyto úsudky lze použít k aktualizaci pohledu agenta.

Viz také

Reference

^ Viz Gupta (1982), Herzberger (1982) a Belnap (1982).
^ Gupta a Belnap (1993)
^ Yaqūb (1993)
^ Gupta a Belnap (1993, 278)
^ Tento bod dále rozebírají Gupta a Belnap (1993, 121), Shapiro (2006) a Gupta (2011, 160-161).
^ Gupta a Belnap (1993, 277)
^ Tato část je založena na Guptě a Belnapovi (1993).
^ Tato část vychází z Gupty a Belnapa (1993) a Kremera (2014).
^ Prezentace ${ displaystyle C_ {0}}$ lze nalézt v kapitole 5 Gupta a Belnap (1993).
^ Bruni (2013)
^ Definice této části jsou převzaty z Gupta a Belnap (1993).
^ .Martinez (2001)
^ Ukázal to Gupta (2006b).
^ Tento bod zaznamenali Gupta a Belnap (1993).
^ Lze rozšířit teorii revizí o unární operátor tak, aby se definiční ekvivalence projevila v jazycích objektů platnou ekvivalencí, ${ displaystyle forall x (Gx equiv Box A (x, G))}$ . Ukázal to Standefer (2015).
^ K tomuto bodu viz Gupta a Belnap (1993).
^ Ukazují to Gupta a Belnap (1993).
^ Viz Kremer (1993) a Antonelli (1994a).
^ Příklad viz Gupta (1982).
^ Gupta and Belnap (1993, 202-205)
^ Rohové uvozovky se používají k označení obecného pojmenovacího zařízení, např. názvy nabídek nebo číslování podle Gödela.
^ McGee (1985)
^ Původní prezentace FS používala různé axiomy a pravidla. Další informace viz Halbach (2011).
^ Halbach (2011, 173)
^ Halbach (2011, §14.1)
^ Horsten a kol. (2012)
^ Antonelli (1994b)
^ Löwe (2001)
^ Chapuis (2003)
^ Asmus (2013)
^ Gupta (2006a)

Antonelli, A. (1994a). Složitost revize. Deník Notre Dame formální logiky, 35(1):67–72.
Antonelli, A. (1994b). Nepodložené sady prostřednictvím pravidel revize. Journal of Philosophical Logic, 23(6):633–679.
Asmus, C. M. (2013). Vágnost a revizní sekvence. Syntezátor, 190(6):953–974.
Belnap, N. (1982). Guptovo pravidlo teorie revize pravdy. Journal of Philosophical Logic, 11(1):103–116.
Bruni, R. (2013). Analytické výpočty pro kruhové koncepty pomocí konečné revize. Studia Logica, 101(5):915–932.
Chapuis, A. (2003). Použití kruhových definic: Racionální rozhodnutí. In Löwe, B., R ̈asch, T. a Malzkorn, W., redaktoři, Základy formálních věd II, strany 47–54. Kluwer.
Gupta, A. (1982). Pravda a paradox. Journal of Philosophical Logic, 11 (1). Revidovaná verze se stručným postscriptem je přetištěna v Martinovi (1984).
Gupta, A. (2006a). Empirismus a zkušenost. Oxford University Press.
Gupta, A. (2006b). Konečné kruhové definice. In Bolander, T., Hendricks, V. F. a Andersen, S. A., redaktoři, Vlastní reference, strany 79–93. Publikace CSLI.
Gupta, A. (2011). Pravda, význam, zkušenost. Oxford University Press.
Gupta, A. a Belnap, N. (1993). Revizní teorie pravdy. MIT Stiskněte.
Halbach, V. (2011). Axiomatické teorie pravdy. Cambridge University Press.
Herzberger, H. G. (1982). Poznámky k naivní sémantice. Journal of Philosophical Logic, 11 (1): 61–102. Přetištěno v Martinovi (1984).
Horsten, L., Leigh, G. E., Leitgeb, H. a Welch, P. (2012). Revize byla znovu navštívena. Recenze symbolické logiky, 5(4):642–665.
Kremer, P. (1993). Systémy Gupta-Belnap ${ displaystyle S ^ { #}}$ a ${ displaystyle S ^ {*}}$ nejsou axiomatizovatelné. Deník Notre Dame formální logiky, 34(4):583–596.
Löwe, B. (2001). Sekvence revizí a počítače s nekonečným množstvím času. Journal of Logic and Computation, 11 (1): 25–40. doi: 10.1093 / log-com / 11.1.25.
Martin, R. L., editor (1984). Nedávné eseje o pravdě a paradoxu lháře. Oxford University Press.
Martinez, M. (2001). Některé uzavírací vlastnosti konečných definic. Studia Logica, 68(1):43–68.
McGee, V. (1985). Jak pravdivý může být predikát? Negativní výsledek. Journal of Philosophical Logic, 14(4):399–410.
Shapiro, L. (2006). Odůvodnění sémantiky pravidel revizí. Filozofické studie, 129(3):477–515.
Standefer, S. (2015). Věty Solovayova typu pro kruhové definice. Recenze symbolické logiky, strany 1–21. připravovaný
Yaqūb, A. M. (1993). Lhář mluví pravdu: Obrana revizní teorie pravdy. Oxford University Press.

externí odkazy

Kremer, P. (2014) Revizní teorie pravdy. In Zalta, E. N., editor, Stanfordská encyklopedie filozofie. Summer 2014 edition.

[1] Viz Gupta (1982), Herzberger (1982) a Belnap (1982).

[2] Gupta a Belnap (1993)

[3] Yaqūb (1993)

[4] Gupta a Belnap (1993, 278)

[5] Tento bod dále rozebírají Gupta a Belnap (1993, 121), Shapiro (2006) a Gupta (2011, 160-161).

[6] Gupta a Belnap (1993, 277)

[7] Tato část je založena na Guptě a Belnapovi (1993).

[8] Tato část vychází z Gupty a Belnapa (1993) a Kremera (2014).

[9] Prezentace ${ displaystyle C_ {0}}$ lze nalézt v kapitole 5 Gupta a Belnap (1993).

[10] Bruni (2013)

[11] Definice této části jsou převzaty z Gupta a Belnap (1993).

[12] .Martinez (2001)

[13] Ukázal to Gupta (2006b).

[14] Tento bod zaznamenali Gupta a Belnap (1993).

[15] Lze rozšířit teorii revizí o unární operátor tak, aby se definiční ekvivalence projevila v jazycích objektů platnou ekvivalencí, ${ displaystyle forall x (Gx equiv Box A (x, G))}$ . Ukázal to Standefer (2015).

[16] K tomuto bodu viz Gupta a Belnap (1993).

[17] Ukazují to Gupta a Belnap (1993).

[18] Viz Kremer (1993) a Antonelli (1994a).

[19] Příklad viz Gupta (1982).

[20] Gupta and Belnap (1993, 202-205)

[21] Rohové uvozovky se používají k označení obecného pojmenovacího zařízení, např. názvy nabídek nebo číslování podle Gödela.

[22] McGee (1985)

[23] Původní prezentace FS používala různé axiomy a pravidla. Další informace viz Halbach (2011).

[24] Halbach (2011, 173)

[25] Halbach (2011, §14.1)

[26] Horsten a kol. (2012)

[27] Antonelli (1994b)

[28] Löwe (2001)

[29] Chapuis (2003)

[30] Asmus (2013)

[31] Gupta (2006a)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]