Nepodložená teorie množin - Non-well-founded set theory - Wikipedia

Nepodložené teorie množin jsou varianty axiomatická teorie množin které umožňují, aby sady byly samy o sobě prvky a jinak porušovaly pravidlo opodstatněnost. V nepodložených teoriích množin je axiom základu z ZFC je nahrazen axiomy naznačujícími jeho negaci.

Studium nepodložených sad bylo zahájeno Dmitrij Mirimanoff v sérii prací mezi lety 1917 a 1920, ve kterých formuloval rozdíl mezi dobře podloženými a neopodstatněnými soubory; nepovažoval opodstatněnost za axiom. Ačkoli byla poté navržena řada axiomatických systémů nepodložených množin, nenalezly mnoho způsobů použití, dokud Peter Aczel Je teorie hypersetů v roce 1988.^[1][2][3]Teorie neopodstatněných množin byla aplikována v logický modelování neukončení výpočetní procesy v informatice (zpracovat algebru a závěrečná sémantika ), lingvistika a přirozený jazyk sémantika (teorie situace ), filozofie (práce na Lhářský paradox ) a v jiném prostředí, nestandardní analýza.^[4]

Detaily

V roce 1917 představil Dmitrij Mirimanoff^[5][6][7][8] koncept opodstatněnost sady:

Sada, x₀, je opodstatněné, pokud nemá nekonečnou sestupnou sekvenci členství ${ displaystyle cdots v x_ {2} v x_ {1} v x_ {0}.}$

V ZFC neexistuje žádná nekonečná sestupná ∈ sekvence axiom pravidelnosti. Ve skutečnosti se axiom pravidelnosti často nazývá axiom základu protože to lze prokázat v rámci ZFC⁻ (tj. ZFC bez axiomu pravidelnosti), že opodstatněnost znamená pravidelnost. Ve variantách ZFC bez axiom pravidelnosti, vzniká možnost neopodstatněných množin s množinovými chains-řetězy. Například sada A takhle A ∈ A je neopodstatněná.

Přestože Mirimanoff také představil pojem izomorfismu mezi možnými neopodstatněnými množinami, neuvažoval ani o axiomu základu, ani o anti-založení.^[7] V roce 1926 Paul Finsler představil první axiom, který umožňoval nepodložené množiny. Poté, co Zermelo v roce 1930 přijal nadaci do svého vlastního systému (z předchozí práce von Neumann 1925–1929) zájem o neopodstatněné soubory klesal po celá desetiletí.^[9] Časná nepodložená teorie množin byla Willard Van Orman Quine Je Nové základy, ačkoli to není jen ZF s náhradou za Foundation.

Několik důkazů o nezávislosti nadace na zbytku ZF bylo publikováno v padesátých letech, zejména autorem Paul Bernays (1954), v návaznosti na oznámení výsledku v dřívějších jeho příspěvcích z roku 1941, a autorem Ernst Specker kdo dal jiný důkaz ve svém Habilitační schrift z roku 1951, důkaz, který byl zveřejněn v roce 1957. Poté v roce 1957 Riegerova věta Byla vydána obecná metoda provádění takového důkazu, která znovu vzbudila zájem o neopodstatněné axiomatické systémy.^[10] Další návrh axiomu přišel v roce 1960 na kongresu Dana Scott (nikdy nepublikováno jako referát), navrhující alternativní axiom nyní nazývaný SAFA.^[11] Další axiom navrhovaný na konci 60. let byl Maurice Boffa axiom o superuniverzálnost, kterou Aczel popsal jako vrchol výzkumu své dekády.^[12] Boffova myšlenka spočívala v tom, aby nadace selhala tak špatně, jak jen může (nebo spíše, jak to dovoluje prodloužení): extenzní set-like vztah je izomorfní s predikátem elementarity na tranzitivní třídě.

Novější přístup k neopodstatněné teorii množin, který v 80. letech propagovali M. Forti a F. Honsell, si od počítačových věd půjčuje koncept bisimulace. Bisimilární sady jsou považovány za nerozeznatelné a tedy rovnocenné, což vede k posílení axiom roztažnosti. V této souvislosti jsou axiomy odporující axiomu pravidelnosti známé jako anti-nadace axiomya množina, která nemusí být nutně opodstatněná, se nazývá a hyperset.

Čtyři vzájemně nezávislý anti-základy axiomy jsou dobře známé, někdy zkráceny prvním písmenem v následujícím seznamu:

1. AFA („Anti-Foundation Axiom“) - díky M. Forti a F. Honsellovi (toto je také známé jako Aczelův anti-nadační axiom );
2. SAFA („Scott's AFA“) - kvůli Dana Scott,
3. FAFA („Finsler’s AFA“) - kvůli Paul Finsler,
4. BAFA („Boffa's AFA“) - kvůli Maurice Boffa.

V zásadě odpovídají čtyřem různým pojmům rovnosti pro nepodložené množiny. První z nich, AFA, je založen na přístupné špičaté grafy (apg) a uvádí, že dvě hypersety jsou stejné právě tehdy, pokud je lze zobrazit stejnou apg. V tomto rámci je možné ukázat, že tzv Atom quinu, formálně definované Q = {Q}, existuje a je jedinečné.

Každý z výše uvedených axiomů rozšiřuje vesmír předchozí, takže: PROTI ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. Ve vesmíru Boffa tvoří zřetelné atomy quinu vhodnou třídu.^[13]

Je třeba zdůraznit, že teorie hypersetů je spíše rozšířením klasické teorie množin než nahrazením: fundované množiny v doméně hypersetů odpovídají klasické teorii množin.

Aplikace

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopad 2012)

Aczelovy hypersety byly značně využívány Jon Barwise a John Etchemendy ve své knize z roku 1987 Lhář, na lhářův paradox; Kniha je také dobrým úvodem do tématu nepodložených sad.

Boffův superuniverzalitní axiom našel uplatnění jako základ pro axiomatiku nestandardní analýza.^[14]

Viz také

• Alternativní teorie množin
• Univerzální sada
• Želvy úplně dolů

Poznámky

Reference

• Aczel, Peter (1988), Nepodložené sady Přednášky CSLI, 14, Stanford, CA: Stanford University, Centrum pro studium jazyka a informací, str.xx + 137, ISBN  0-937073-22-9, PAN  0940014.
• Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), „Standardní základy pro nestandardní analýzu“, Journal of Symbolic Logic, 57 (2): 741–748, doi:10.2307/2275304, JSTOR  2275304.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), Lhář: Esej o pravdě a oběžnosti, Oxford University Press, ISBN  9780195059441
• Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Začarované kruhy. O matematice nepodložených jevůPřednášky CSLI, 60Publikace CSLI, ISBN  1-57586-009-0
• Boffa., M. (1968), „Les ensembles extraordinaires“, Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, XX: 3–15, Zbl  0179.01602
• Boffa, M. (1972), „Forcing et négation de l'axiome de Fondement“, Acad. Roy. Belgique, Mém. Cl. Sci., Sb. 8∘, II. Sér. 40, XL (7), Zbl  0286.02068
• Devlin, Keith (1993), "§7. Non-Well-Founded Theory Theory", Radost sad: Základy současné teorie množin (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-94094-6
• Finsler, P. (1926), "Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome", Matematika. Z., 25: 683–713, doi:10.1007 / BF01283862, JFM  52.0192.01; překlad v Finsler, Paul; Booth, David (1996). Finslerova teorie množin: Platonismus a oběžník: Překlad článků Paula Finslera o teorii množin s úvodními komentáři. Springer. ISBN  978-3-7643-5400-8.
• Hallett, Michael (1986), Kantorská teorie množin a omezení velikosti, Oxford University Press, ISBN  9780198532835.
• Kanovei, Vladimir; Reeken, Michael (2004), Nestandardní analýza, axiomatickySpringer, ISBN  978-3-540-22243-9
• Levy, Azriel (2012) [2002], Základní teorie množin Publikace Dover, ISBN  9780486150734.
• Mirimanoff, D. (1917), „Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles“, L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52, JFM  46.0306.01.
• Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Klasifikace nepodložených sad a aplikace (PDF)
• Pakkan, M. J .; Akman, V. (1994–1995), „Problémy v teorii množin rozumů“ (PDF), Recenze umělé inteligence, 8 (4): 279–308, doi:10.1007 / BF00849061
• Rathjen, M. (2004), „Predikativita, oběžník a anti-nadace“ (PDF), v odkazu, Godehard (ed.), Sto let Russellova paradoxu: matematika, logika, filozofie, Walter de Gruyter, ISBN  978-3-11-019968-0
• Sangiorgi, Davide (2011), „Počátky bisimulace a koindukce“, Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (eds.), Pokročilá témata v bisimulaci a koindukci, Cambridge University Press, ISBN  978-1-107-00497-9
• Scott, Dana (1960), „Jiný druh modelu pro teorii množin“, Nepublikovaný příspěvek, přednáška na Stanfordském kongresu logiky, metodologie a filozofie vědy z roku 1960

Další čtení

• Moss, Lawrence S. „Nepodložená teorie množin“. Stanfordská encyklopedie filozofie.

externí odkazy

• Metamath stránka na axiom pravidelnosti. Méně než 1% vět této databáze je v konečném důsledku závislých na tomto axiomu, jak to může ukázat příkaz („show usage“) v programu Metamath.