Logika se třemi hodnotami - Three-valued logic

v logika, a tříhodnotová logika (taky trinární logika, trojmocný, trojicenebo trilean,^[1] někdy zkráceně 3VL) je některý z několika mnohocenná logika systémy, ve kterých jsou tři pravdivostní hodnoty označující skutečný, Nepravdivé a některé neurčité třetí hodnoty. To je v kontrastu s běžněji známými bivalentní logiky (například klasické věty nebo Logická logika ), které stanoví pouze pro skutečný a Nepravdivé.

Emil Leon Post je často připočítán s prvním zavedením dalších stupňů logické pravdy ve své teorii elementárních výroků z roku 1921. Přesto, před více než deseti lety, Charles Sanders Peirce již definoval a mnohocenný logický systém. Prostě to nikdy nezveřejnil. Ve skutečnosti ani nepočítal tři stránky poznámek, kde definoval své operátory se třemi hodnotami.^[2] Peirce rázně odmítl myšlenku, že všechny návrhy musí být pravdivé nebo nepravdivé; hraniční propozice, jak píše, jsou „na hranici mezi P a ne P.“^[3] Jakkoli si však byl jistý, že „triadická logika je všeobecně pravdivá“, poznamenal také, že „to vše je mocné téměř nesmysl“. Možná tedy nepřekvapuje, že až v roce 1966, kdy Max Fisch a Atwell Turquette začali publikovat to, co znovu objevili ve svých nepublikovaných rukopisech, se Peirceovy triádické experimenty staly všeobecně známými.^[4]

Konceptuální formu a základní myšlenky původně vytvořil Jan Łukasiewicz a Clarence Irving Lewis. Ty pak byly znovu formulovány Grigore Constantin Moisil v axiomatické algebraické formě a také rozšířena na n-hodnotová logika v roce 1945.

Reprezentace hodnot

Stejně jako u bivalentní logiky mohou být pravdivostní hodnoty v ternární logice numericky reprezentovány pomocí různých reprezentací ternární číselná soustava. Několik běžnějších příkladů:

v vyvážená ternární, každá číslice má jednu ze 3 hodnot: −1, 0 nebo +1; tyto hodnoty lze také zjednodušit na -, 0, +;^[5]
v redundantní binární reprezentace, každá číslice může mít hodnotu −1, 0, 0/1 (hodnota 0/1 má dvě různá zobrazení);
v ternární číselná soustava, každý číslice je trit (trojčíslí) s hodnotou: 0, 1 nebo 2;
v zkosit binární číselný systém, pouze nejvýznamnější nenulová číslice má hodnotu 2 a zbývající číslice mají hodnotu 0 nebo 1;
1 pro skutečný, 2 pro Nepravdivéa 0 pro neznámý, nepoznatelný/nerozhodnutelný, irelevantnínebo oba;^[6]
0 pro Nepravdivé, 1 pro skutečný, a třetí nečíselný symbol „možná“, například?, #, ½,^[7] nebo xy.

Uvnitř a ternární počítač, ternární hodnoty jsou reprezentovány ternární signály.

Tento článek ilustruje hlavně systém ternárních systémů výroková logika pomocí pravdivostních hodnot {false, unknown, true} a rozšiřuje konvenční logickou hodnotu spojky do trojmocného kontextu. Trojice predikátové logiky existují také;^{[Citace je zapotřebí ]} tito mohou mít hodnoty z kvantifikátor liší se od klasické (binární) predikátové logiky a mohou zahrnovat i alternativní kvantifikátory.

Logika

Kde Logická logika má 2² = 4 unární operátoři, přidání třetí hodnoty v ternární logice vede k celkem 3³ = 27 různých operátorů na jedné vstupní hodnotě. Podobně, kde má logická logika 2^2×2 = 16 odlišných binárních operátorů (operátory se 2 vstupy), ternární logika má 3^3×3 = 19 683 takových operátorů. Kde můžeme snadno pojmenovat významnou část booleovských operátorů (ne, a, nebo, nand, ani, exkluzivní nebo, rovnocennost, implikace ), je nerozumné pokoušet se pojmenovat všechny kromě malého zlomku možných ternárních operátorů.^[8]

Logika Kleene a Priest

Níže je sada pravdivostní tabulky zobrazující logické operace pro Stephen Cole Kleene "silná logika neurčitosti" a Graham Priest "logika paradoxu".

(F, false; U, neznámé; T, true)

NE (A)
A	¬A
F	T
U	U
T	F

AND (A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		F	U	T
A	F	F	F	F
	U	F	U	U
	T	F	U	T

NEBO (A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		F	U	T
A	F	F	U	T
	U	U	U	T
	T	T	T	T

(-1, false; 0, neznámé; +1, true)

NEG (A)
A	¬A
−1	+1
0	0
+1	−1

MIN (A, B)
A ∧ B		B
A ∧ B		−1	0	+1
A	−1	−1	−1	−1
	0	−1	0	0
	+1	−1	0	+1

MAX (A, B)
A ∨ B		B
A ∨ B		−1	0	+1
A	−1	−1	0	+1
	0	0	0	+1
	+1	+1	+1	+1

V těchto tabulkách pravdy je neznámý stav nelze v Kleene logice považovat za ani pravdivý, ani nepravdivý, nebo v Priestově logice může být považován za pravdivý i nepravdivý. Rozdíl spočívá v definici tautologií. Tam, kde je jedinou určenou hodnotou pravdy Kleene logiky T, jsou Priestovy logické hodnoty pravdy označeny T i U. V Kleene logice je znalost toho, zda konkrétní neznámý stát tajně zastupuje skutečný nebo Nepravdivé kdykoli není k dispozici. Určité logické operace však mohou přinést jednoznačný výsledek, i když zahrnují alespoň jednu neznámý operand. Například proto skutečný NEBO skutečný rovná se skutečný, a skutečný NEBO Nepravdivé také se rovná skutečný, to lze odvodit skutečný NEBO neznámý rovná se skutečný, také. V tomto příkladu proto, že buď bivalentní stav může být základem neznámý stát, ale každý stát také přináší stejný výsledek, definitivní skutečný výsledky ve všech třech případech.

Pokud číselné hodnoty, např. vyvážená ternární hodnoty, jsou přiřazeny Nepravdivé, neznámý a skutečný takhle Nepravdivé je méně než neznámý a neznámý je méně než skutečný, pak A AND B AND C ... = MIN (A, B, C ...) a A NEBO B NEBO C ... = MAX (A, B, C ...).

Materiální implikaci pro Kleene logiku lze definovat jako:

${ displaystyle A rightarrow B { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} { mbox {OR}} ( { mbox {NOT}} (A), B)}$ a jeho pravdivostní tabulka je

IMP_K.(A, B), NEBO (¬A, B)
A → B		B
A → B		F	U	T
A	F	T	T	T
	U	U	U	T
	T	F	U	T

IMP_K.(A, B), MAX (−A, B)
A → B		B
A → B		−1	0	+1
A	−1	+1	+1	+1
	0	0	0	+1
	+1	−1	0	+1

který se liší od logiky Łukasiewicz (popsáno níže).

Logika Kleene nemá žádné tautologie (platné vzorce), protože kdykoli je všem atomovým složkám dobře vytvořeného vzorce přiřazena hodnota Neznámý, musí mít vzorec samotný také hodnotu Neznámý. (A jediný určený hodnota pravdy pro Kleene logiku je True.) Nedostatek platných vzorců však neznamená, že mu chybí platné argumenty a / nebo odvozovací pravidla. Argument je sémanticky platný v logice Kleene, pokud jsou kdykoli (pro jakoukoli interpretaci / model) všechny jeho premisy True, závěr musí být také True. (Všimněte si, že Logika paradoxu (LP) má stejné pravdivostní tabulky jako Kleene logika, ale má dvě určený pravdivostní hodnoty místo jedné; to jsou: True a Both (analog of Unknown), takže LP má tautologie, ale má méně platných pravidel odvození.)^[9]

Łukasiewiczova logika

Łukasiewicz Ł3 má stejné tabulky pro AND, OR a NOT jako výše uvedená Kleeneova logika, ale liší se ve své definici implikace v tom, že „neznámý znamená neznámý“ je skutečný. Tato část navazuje na prezentaci Malinowského kapitoly z Příručka dějin logiky, sv. 8.^[10]

Významná implikace pro tabulku logické pravdy Łukasiewicz je

IMP_Ł(A, B)
A → B		B
A → B		F	U	T
A	F	T	T	T
	U	U	T	T
	T	F	U	T

IMP_Ł(A, B), MIN (1, 1 - A + B)
A → B		B
A → B		−1	0	+1
A	−1	+1	+1	+1
	0	0	+1	+1
	+1	−1	0	+1

Ve skutečnosti lze pomocí Łukasiewiczovy implikace a negace odvodit další obvyklá spojovací zařízení jako:

$A \lor B = (A \to B) \to B$
$A \land B = \neg(\neg A \lor \neg B)$
$A \Leftrightarrow B = (A \to B) \land (B \to A)$

Je také možné odvodit několik dalších užitečných unárních operátorů (poprvé odvozených Tarskim v roce 1921):

$M A = \neg A \to A$
$L A = \neg M \neg A$
$Já A = M A \land \neg L A$

Mají následující tabulky pravdivosti:

$A$	$M A$
F	F
U	T
T	T

$A$	$L A$
F	F
U	F
T	T

$A$	$Já A$
F	F
U	T
T	F

M se čte jako „není falešné, že ...“ nebo v (neúspěšném) Tarski – Łukasiewiczově pokusu o axiomatizaci modální logika pomocí logiky se třemi hodnotami „je možné, že ...“ čte se L, „je pravda, že ...“ nebo „je nutné, aby ...“ Nakonec se čte, „není známo, že ... "nebo" je to podmíněné, že ... "

V Łukasiewiczově Ł3 určená hodnota je True, což znamená, že se považuje pouze tvrzení, které má tuto hodnotu všude tautologie. Například, $A \to A$ a $A \leftrightarrow A$ jsou tautologie v Ł3 a také v klasické logice. Ne všechny tautologie klasické logiky se zvednou na £ 3 „tak, jak jsou“. Například zákon vyloučeného prostředku, $A \lor \neg A$ a zákon o nerozporu, $\neg(A \land \neg A)$ nejsou tautologie v Ł3. Nicméně pomocí operátora $Já$ definované výše, je možné uvést tautologie, které jsou jejich analogy:

$A \lor Já A \lor \neg A$ (zákon vyloučeného čtvrtého )
$\neg(A \land \neg Já A \land \neg A)$ (princip rozšířeného rozporu ).

Logika Bochvar

Logika ternárního příspěvku

ne (a) = (a + 1) mod 3, nebo

not (a) = (a + 1) mod (n), kde (n) je hodnota logiky

Modulární algebry

Některé 3VL modulární algebry byly představeny v poslední době, motivovány spíše problémy s okruhy než filozofickými problémy:^[11]

Cohnova algebra
Pradhan algebra
Dubrovská a Muzio algebra

Aplikace

SQL

Jazyk strukturovaného dotazu na databázi SQL implementuje ternární logiku jako prostředek zpracování srovnání s NULA obsah pole. Původním záměrem NULL v SQL bylo představovat chybějící data v databázi, tj. Předpoklad, že skutečná hodnota existuje, ale že tato hodnota není aktuálně zaznamenána v databázi. SQL používá společný fragment logiky Kleene K3, omezený na tabulky AND, OR a NOT.

V SQL má být přechodná hodnota interpretována jako NEZNÁMÁ. Explicitní srovnání s NULL, včetně porovnání jiné NULL, přináší NEZNAMENANÉ. Od této volby sémantiky se však u některých množinových operací, např. UNION nebo INTERSECT, kde NULL jsou považovány za navzájem rovnocenné. Kritici tvrdí, že tato nekonzistence zbavuje SQL intuitivní sémantiky při zpracování NULL.^[12] Standard SQL definuje volitelnou funkci nazvanou F571, která přidává některé unární operátory, mezi něž patří JE NEZNÁMÝ odpovídající Łukasiewiczi Já v tomto článku. Přidání JE NEZNÁMÝ ostatním operátorům logiky SQL se třemi hodnotami je logika SQL se třemi hodnotami funkčně kompletní,^[13] což znamená, že jeho logické operátory mohou vyjadřovat (v kombinaci) jakoukoli myslitelnou tříhodnotovou logickou funkci.

Viz také

Binární logika (disambiguation)
Booleova algebra (struktura)
Booleovská funkce
Digitální obvod
Logika se čtyřmi hodnotami
Parakonzistentní logika § Ideální tříhodnotová parakonzistentní logika
Setun - experimentální ruský počítač založený na ternární logice
Ternární číselná soustava (a Vyvážená ternární )
Logika tří stavů (trojstavový nárazník )

Reference

^ „Stanford JavaNLP API“. Stanfordská Univerzita. Stanfordská skupina NLP.
^ „Peirceova dedukční logika> Peirceova tříhodnotová logika (Stanfordská encyklopedie filozofie)“. plato.stanford.edu. Citováno 2020-07-30.
^ Lane, R. (2001). „Triadic Logic“.
^ Lane, Robert. „Triadic Logic“. www.digitalpeirce.fee.unicamp.br. Citováno 2020-07-30.
^ Knuth, Donald E. (1981). The Art of Computer Programming Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. str. 190.
^ Hayes, Brian (Listopad – prosinec 2001). "Třetí základna" (PDF). Americký vědec. Sigma Xi Společnost pro vědecký výzkum. 89 (6): 490–494. doi:10.1511/2001.40.3268. Archivováno (PDF) od původního dne 2019-10-30. Citováno 2020-04-12.
^ Nelson, David (2008). Penguin Dictionary of Mathematics. Čtvrté vydání. London, England: Penguin Books. Záznam pro „tříhodnotovou logiku“. ISBN 9780141920870.
^ Douglas W. Jones, Standardní ternární logika, 11. února 2013.
^ http://www.uky.edu/~look/Phi520-Lecture7.pdf
^ Grzegorz Malinowski, “Mnohocenná logika a její filozofie „v Dov M. Gabbay, John Woods (eds.) Příručka dějin logického svazku 8. Mnoho hodnotných a nemonotonických změn v logice, Elsevier, 2009
^ Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Logika s více hodnotami: koncepty a reprezentace. Syntetické přednášky o číslicových obvodech a systémech. 12. Vydavatelé Morgan & Claypool. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.
^ Ron van der Meyden, “Logické přístupy k neúplným informacím: průzkum „in Chomicki, Jan; Saake, Gunter (Eds.) Logika pro databáze a informační systémy, Kluwer Academic Publishers ISBN 978-0-7923-8129-7, str. 344; PS předtisk (poznámka: číslování stránek se liší v předtisku od publikované verze)
^ C. J. Date, Relační databáze, 1991–1994, Addison-Wesley, 1995, s. 371

Další čtení

Bergmann, Merrie (2008). Úvod do mnohocenné a fuzzy logiky: sémantika, algebry a derivační systémy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88128-9. Citováno 24. srpna 2013., kapitoly 5-9
Mundici, D. C * -algebry tříhodnotové logiky. Logic Colloquium ’88, Sborník z Kolokvia konaného v Padově 61–77 (1989). doi:10.1016 / s0049-237x (08) 70262-3
Reichenbach, Hans (1944). Filozofické základy kvantové mechaniky. University of California Press. Dover 1998: ISBN 0-486-40459-5

externí odkazy

Úvod do logiky mnoha hodnot autor: Bertram Fronhöfer. Podklady z letní třídy 2011 v Technische Universität Dresden. (Přes název jde téměř o logiku se třemi hodnotami.)

[1] „Stanford JavaNLP API“. Stanfordská Univerzita. Stanfordská skupina NLP.

[2] „Peirceova dedukční logika> Peirceova tříhodnotová logika (Stanfordská encyklopedie filozofie)“. plato.stanford.edu. Citováno 2020-07-30.

[3] Lane, R. (2001). „Triadic Logic“.

[4] Lane, Robert. „Triadic Logic“. www.digitalpeirce.fee.unicamp.br. Citováno 2020-07-30.

[5] Knuth, Donald E. (1981). The Art of Computer Programming Vol. 2. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. str. 190.

[6] Hayes, Brian (Listopad – prosinec 2001). "Třetí základna" (PDF). Americký vědec. Sigma Xi Společnost pro vědecký výzkum. 89 (6): 490–494. doi:10.1511/2001.40.3268. Archivováno (PDF) od původního dne 2019-10-30. Citováno 2020-04-12.

[7] Nelson, David (2008). Penguin Dictionary of Mathematics. Čtvrté vydání. London, England: Penguin Books. Záznam pro „tříhodnotovou logiku“. ISBN 9780141920870.

[8] Douglas W. Jones, Standardní ternární logika, 11. února 2013.

[9] ttp://www.uky.edu/~look/Phi520-Lecture7.pdf

[10] Grzegorz Malinowski, “Mnohocenná logika a její filozofie „v Dov M. Gabbay, John Woods (eds.) Příručka dějin logického svazku 8. Mnoho hodnotných a nemonotonických změn v logice, Elsevier, 2009

[11] Miller, D. Michael; Thornton, Mitchell A. (2008). Logika s více hodnotami: koncepty a reprezentace. Syntetické přednášky o číslicových obvodech a systémech. 12. Vydavatelé Morgan & Claypool. 41–42. ISBN 978-1-59829-190-2.

[Meyden-12] Ron van der Meyden, “Logické přístupy k neúplným informacím: průzkum „in Chomicki, Jan; Saake, Gunter (Eds.) Logika pro databáze a informační systémy, Kluwer Academic Publishers ISBN 978-0-7923-8129-7, str. 344; PS předtisk (poznámka: číslování stránek se liší v předtisku od publikované verze)

[13] C. J. Date, Relační databáze, 1991–1994, Addison-Wesley, 1995, s. 371

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Neklasická logika
Intuitivní	Intuicionistická logika Konstruktivní analýza Heyting aritmetic Intuicionistická teorie typů Konstruktivní teorie množin
Fuzzy	Stupeň pravdy Fuzzy pravidlo Fuzzy množina Fuzzy konečný prvek Fuzzy množinové operace
Substrukturní	Strukturální pravidlo Logika relevance Lineární logika
Parakonzistentní	Dialetismus
Popis	Ontologie Jazyk ontologie
Mnoho ceněný	Tři hodnoty Čtyři Łukasiewicz
Digitální logika	Logika tří stavů Třístavový nárazník Čtyři Verilog IEEE 1164 VHDL