Věta o stabilitě Reeb - Reeb stability theorem - Wikipedia

v matematika, Věta o stabilitě Reeb, pojmenoval podle Georges Reeb, tvrdí, že pokud jeden list a kodimenzionální -jeden foliace je Zavřeno a je konečný základní skupina, pak jsou všechny listy uzavřené a mají konečnou základní skupinu.

Věta o lokální stabilitě Reeb

Teorém:^[1] Nechat ${ displaystyle F}$ být ${ displaystyle C ^ {1}}$codimension ${ displaystyle k}$ foliace a potrubí ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle L}$ A kompaktní list s konečnou holonomy skupina. Existuje a sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle L}$, nasycený ${ displaystyle F}$ (nazývané také invariantní), ve kterém jsou všechny listy kompaktní s konečnými holonomickými skupinami. Dále můžeme definovat a odvolání ${ displaystyle pi: U do L}$ tak, že pro každý list ${ displaystyle L ' podmnožina U}$, ${ displaystyle pi | _ {L '}: L' do L}$ je krycí mapa s konečným počtem listů a pro každý z nich ${ displaystyle y v L}$, ${ displaystyle pi ^ {- 1} (y)}$ je homeomorfní do a disk z dimenze k a je příčný na ${ displaystyle F}$. Sousedství ${ displaystyle U}$ lze považovat za libovolně malé.

Poslední výrok zejména znamená, že v sousedství bodu, který odpovídá kompaktnímu listu s konečnou holonomií, je prostor listů Hausdorff Za určitých podmínek může věta o místní stabilitě Reeb nahradit Poincaré – Bendixsonova věta ve vyšších dimenzích.^[2] To je případ codimension one, singular foliations ${ displaystyle (M ^ {n}, F)}$, s ${ displaystyle n geq 3}$a nějaká singularita středního typu v ${ displaystyle Sing (F)}$.

Věta o místní stabilitě Reeb má také verzi pro nekompaktní list codimension-1.^[3][4]

Věta o globální stabilitě Reeb

Důležitým problémem v teorii foliace je studium vlivu kompaktního listu na globální strukturu a foliace. U určitých tříd foliace je tento vliv značný.

Teorém:^[1] Nechat ${ displaystyle F}$ být ${ displaystyle C ^ {1}}$codimension jedna foliace uzavřeného potrubí ${ displaystyle M}$. Li ${ displaystyle F}$ obsahuje a kompaktní list ${ displaystyle L}$ s konečnou základní skupina, pak všechny listy ${ displaystyle F}$ jsou kompaktní a mají konečnou základní skupinu. Li ${ displaystyle F}$ je příčně orientovatelný, pak každý list ${ displaystyle F}$ je difeomorfní na ${ displaystyle L}$; ${ displaystyle M}$ je celkový prostor a fibrace ${ displaystyle f: M až S ^ {1}}$ přes ${ displaystyle S ^ {1}}$, s vlákno ${ displaystyle L}$, a ${ displaystyle F}$ je vláknitá foliace, ${ displaystyle {f ^ {- 1} ( theta) | theta v S ^ {1} }}$.

Tato věta platí, i když ${ displaystyle F}$ je foliace a potrubí s hranicí, což je a priori, tečna o některých složkách hranice a příčný na ostatních součástech.^[5] V tomto případě to znamená Věta Reebovy koule.

Věta o globální stabilitě Reeb je nepravdivá pro foliace kodimension větší než jedna.^[6] U některých speciálních druhů foliace však máme následující výsledky globální stability:

• V přítomnosti určité příčné geometrické struktury:

Teorém:^[7] Nechat ${ displaystyle F}$ být kompletní konformní foliace codimension ${ displaystyle k geq 3}$ a připojeno potrubí ${ displaystyle M}$. Li ${ displaystyle F}$ má kompaktní list s konečnými holonomy skupina, pak všechny listy ${ displaystyle F}$ jsou kompaktní s konečnou holonomickou skupinou.

• Pro holomorfní foliace v komplexu Kähler potrubí:

Teorém:^[8] Nechat ${ displaystyle F}$ být holomorfní foliací codimensionu ${ displaystyle k}$ v kompaktním komplexu Kähler potrubí. Li ${ displaystyle F}$ má kompaktní list s konečnou holonomy skupina pak každý list ${ displaystyle F}$ je kompaktní s konečnou holonomy skupinou.

Reference

• C. Camacho, A. Lins Neto: Geometrická teorie foliace, Boston, Birkhauser, 1985
• I. Tamura, Topologie foliace: úvod, Transl. matematiky. Monografie, AMS, v.97, 2006, 193 s.

Poznámky