Věta Reebovy koule - Reeb sphere theorem

v matematika, Věta Reebovy koule, pojmenoval podle Georges Reeb, tvrdí, že

Uzavřený připojený rozdělovač M ⁿ který připouští a singulární foliace mít pouze centra je homeomorfní do koule Sⁿ a foliace má přesně dvě singularity.

Morseova foliace

Ojedinělost foliace F je z Morseův typ pokud v jeho malém sousedství jsou všechny listy foliace sady úrovní a Morseova funkce, přičemž singularita a kritický bod funkce. Singularita je a centrum pokud je to místní extremum funkce; jinak je singularita a sedlo.

Počet center C a počet sedel ${ displaystyle s}$konkrétně ${ displaystyle c-s}$, je úzce spojena s topologií potrubí.

Označujeme ${ displaystyle operatorname {ind} p = min (k, n-k)}$, index singularity ${ displaystyle p}$, kde k je index odpovídajícího kritického bodu Morseovy funkce. Zejména střed má index 0, index sedla je alespoň 1.

A Morseova foliace F na potrubí M je jednotné číslo příčně orientovaná kodimulace jedna foliace třídy ${ displaystyle C ^ {2}}$ s izolovanými singularitami, jako jsou:

• každá singularita F je Morseova typu,
• každý singulární list L obsahuje jedinečnou singularitup; navíc, pokud ${ displaystyle operatorname {ind} p = 1}$ pak ${ displaystyle L setminus p}$ není připojen.

Věta Reebovy koule

Tohle je ten případ ${ displaystyle c> s = 0}$, pouzdro bez sedel.

Teorém:^[1] Nechat ${ displaystyle M ^ {n}}$ být uzavřené orientované spojené potrubí dimenze ${ displaystyle n geq 2}$. Předpokládat, že ${ displaystyle M ^ {n}}$ připouští a ${ displaystyle C ^ {1}}$-příčně orientovaná kodimension jedna foliace ${ displaystyle F}$ s neprázdnou sadou singularit jsou všechna centra. Pak singulární sada ${ displaystyle F}$ se skládá ze dvou bodů a ${ displaystyle M ^ {n}}$ je pro sféru homeomorfní ${ displaystyle S ^ {n}}$.

Je to důsledek Věta o stabilitě Reeb.

Zobecnění

Obecnější případ je ${ displaystyle c> s geq 0.}$

V roce 1978 Edouar Wagneur zobecnil větu Reebovy koule na Morseovy foliace se sedly. Ukázal, že počet center nemůže být příliš vysoký ve srovnání s počtem sedel, zejména ${ displaystyle c leq s + 2}$. Existují tedy přesně dva případy, kdy ${ displaystyle c> s}$:

(1) ${ displaystyle c = s + 2,}$

(2) ${ displaystyle c = s + 1.}$

Získal popis potrubí, které připouští foliaci se singularitami, které uspokojují (1).

Teorém:^[2] Nechat ${ displaystyle M ^ {n}}$ být kompaktní připojené potrubí připouštějící Morseovu foliaci ${ displaystyle F}$ s ${ displaystyle c}$ centra a ${ displaystyle s}$ sedla. Pak ${ displaystyle c leq s + 2}$. V případě ${ displaystyle c = s + 2}$,

• ${ displaystyle M}$ je homeomorfní ${ displaystyle S ^ {n}}$,
• všechna sedla mají index 1,
• každý pravidelný list je difeomorfní ${ displaystyle S ^ {n-1}}$.

A konečně v roce 2008 se případem zabývali César Camacho a Bruno Scardua (2), ${ displaystyle c = s + 1}$. To je možné u malého počtu malých rozměrů.

Teorém:^[3] Nechat ${ displaystyle M ^ {n}}$ být kompaktní připojené potrubí a ${ displaystyle F}$ Morseova foliace na ${ displaystyle M}$. Li ${ displaystyle s = c + 1}$, pak

• ${ displaystyle n = 2,4,8}$ nebo ${ displaystyle 16}$,
• ${ displaystyle M ^ {n}}$ je Eells – Kuiperův rozdělovač.

Reference