Pseudoanalytická funkce - Pseudoanalytic function

V matematice pseudoanalytické funkce jsou funkce zavedené Lipman Bers (1950, 1951, 1953, 1956 ) které zobecňují analytické funkce a uspokojit oslabenou formu Cauchy – Riemannovy rovnice.

Definice

Nechat ${ displaystyle z = x + iy}$ a nechte ${ displaystyle sigma (x, y) = sigma (z)}$ být funkcí se skutečnou hodnotou definovanou v ohraničené doméně ${ displaystyle D}$ . Li ${ displaystyle sigma> 0}$ a ${ displaystyle sigma _ {x}}$ a ${ displaystyle sigma _ {y}}$ jsou Hölder kontinuální, pak ${ displaystyle sigma}$ je přípustný v ${ displaystyle D}$ . Dále, vzhledem k Riemann Surface ${ displaystyle F}$ , pokud ${ displaystyle sigma}$ je přípustná pro určité sousedství v každém bodě ${ displaystyle F}$ , ${ displaystyle sigma}$ je přípustný dne ${ displaystyle F}$ .

Funkce s komplexní hodnotou ${ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y)}$ je pseudoanalytický ve vztahu k přípustnému ${ displaystyle sigma}$ na místě ${ displaystyle z_ {0}}$ pokud jsou všechny dílčí deriváty ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ existují a splňují následující podmínky:

{ displaystyle u_ {x} = sigma (x, y) v_ {y}, quad u_ {y} = - sigma (x, y) v_ {x}}

Li ${ displaystyle f}$ je pseudoanalytický v každém bodě nějaké domény, pak je v této doméně pseudoanalytický.^[1]

Podobnosti s analytickými funkcemi

Li ${ displaystyle f (z)}$ není konstanta ${ displaystyle 0}$ , pak nuly ${ displaystyle f}$ jsou izolovaní.
Proto jakýkoli analytické pokračování z ${ displaystyle f}$ je jedinečný.^[2]