Kvazi-Hopfova algebra - Quasi-Hopf algebra

A kvazi-Hopfova algebra je zobecnění a Hopfova algebra, který definoval ruský matematik Vladimír Drinfeld v roce 1989.

A kvazi-Hopfova algebra je kvazi-bialgebra ${displaystyle {mathcal {B_ {A}}} = ({mathcal {A}}, Delta, varepsilon, Phi)}$ pro které existují ${displaystyle alpha, eta in {mathcal {A}}}$ a a bijektivní antihomomorfismus S (antipod ) z ${displaystyle {mathcal {A}}}$ takhle

{displaystyle sum _ {i} S (b_ {i}) alpha c_ {i} = varepsilon (a) alpha}

{displaystyle sum _ {i} b_ {i} eta S (c_ {i}) = varepsilon (a) eta}

pro všechny ${displaystyle ain {mathcal {A}}}$ a kde

{displaystyle Delta (a) = součet _ {i} b_ {i} mnohokrát c_ {i}}

a

{displaystyle sum _ {i} X_ {i} eta S (Y_ {i}) alpha Z_ {i} = mathbb {I},}

{displaystyle sum _ {j} S (P_ {j}) alpha Q_ {j} eta S (R_ {j}) = mathbb {I}.}

kde expanze pro množství ${displaystyle Phi}$ a ${displaystyle Phi ^ {- 1}}$ jsou dány

{displaystyle Phi = součet _ {i} X_ {i} mnohokrát Y_ {i} mnohokrát Z_ {i}}

a

{displaystyle Phi ^ {- 1} = součet _ {j} P_ {j} další Q_ {j} další R_ {j}.}

Co se týče a kvazi-bialgebra, vlastnost kvazi-Hopf je zachována pod kroucení.

Používání

Kvazi-Hopfovy algebry tvoří základ studia Drinfeld zvraty a vyjádření ve smyslu F-matice spojené s konečně-dimenzionální neredukovatelnou reprezentace z kvantová afinní algebra. F-matice lze použít k faktorizaci odpovídajících R-matice. To vede k aplikacím v Statistická mechanika, jako kvantové afinní algebry a jejich reprezentace dávají vzniknout řešením Yang – Baxterova rovnice, podmínka řešitelnosti pro různé statistické modely, která umožňuje odvodit charakteristiky modelu z odpovídající kvantové afinní algebry. Studium F-matic bylo aplikováno na modely, jako je Model Heisenberg XXZ v rámci algebraiky Bethe ansatz. Poskytuje rámec pro řešení dvourozměrných integrovatelné modely pomocí metoda kvantového inverzního rozptylu.

Viz také

Reference

Vladimír Drinfeld, "Quasi-Hopfovy algebry", Leningrad Math J. 1 (1989), 1419-1457
J. M. Maillet a J. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists a Algebraic Bethe Ansatz, Amer. Matematika. Soc. Transl. (2) sv. 201, 2000