Důkazy zahrnující kovariantní deriváty - Proofs involving covariant derivatives

Tento článek obsahuje důkaz o vzorce v Riemannově geometrii které zahrnují Christoffel symboly.

Smluvní identita Bianchi

Důkaz

Začněte s Bianchi identita^[1]

${ displaystyle R_ {abmn; ell} + R_ {ab ell m; n} + R_ {abn ell; m} = 0.}$

Smlouva obě strany výše uvedené rovnice s dvojicí metrické tenzory:

${ displaystyle g ^ {bn} g ^ {am} (R_ {abmn; ell} + R_ {ab ell m; n} + R_ {abn ell; m}) = 0,}$

${ displaystyle g ^ {bn} (R ^ {m} {} _ {bmn; ell} -R ^ {m} {} _ {bm ell; n} + R ^ {m} {} _ {bn ell; m}) = 0,}$

${ displaystyle g ^ {bn} (R_ {bn; ell} -R_ {b ell; n} -R_ {b} {} ^ {m} {} _ {n ell; m}) = 0, }$

${ displaystyle R ^ {n} {} _ {n; ell} -R ^ {n} {} _ { ell; n} -R ^ {nm} {} _ {n ell; m} = 0 .}$

První člen na levé straně kontraktuje, aby poskytl Ricciho skalární, zatímco třetí člen na kontrakci, čímž získá a smíšený Ricciho tenzor,

${ displaystyle R _ {; ell} -R ^ {n} {} _ { ell; n} -R ^ {m} {} _ { ell; m} = 0.}$

Poslední dva výrazy jsou stejné (změna fiktivního indexu n na m) a lze je spojit do jednoho členu, který se přesune doprava,

${ displaystyle R _ {; ell} = 2R ^ {m} {} _ { ell; m},}$

což je stejné jako

${ displaystyle nabla _ {m} R ^ {m} {} _ { ell} = {1 nad 2} nabla _ { ell} R.}$

Zaměňte štítky indexu l a m výnosy

${ displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} = {1 nad 2} nabla _ {m} R,}$      Q.E.D.     (návrat k článku )

Kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí

Důkaz

Poslední rovnice v důkazu výše může být vyjádřena jako

${ displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} - {1 nad 2} delta ^ { ell} {} _ {m} nabla _ { ell} R = 0}$

kde δ je Kroneckerova delta. Protože smíšená delta Kronecker je ekvivalentní smíšenému metrickému tenzoru,

${ displaystyle delta ^ { ell} {} _ {m} = g ^ { ell} {} _ {m},}$

a protože kovarianční derivace metrického tenzoru je nula (takže jej lze přesunout dovnitř nebo ven z rozsahu jakékoli takové derivace), pak

${ displaystyle nabla _ { ell} R ^ { ell} {} _ {m} - {1 nad 2} nabla _ { ell} g ^ { ell} {} _ {m} R = 0.}$

Rozdělte kovarianční derivaci

${ displaystyle nabla _ { ell} vlevo (R ^ { ell} {} _ {m} - {1 nad 2} g ^ { ell} {} _ {m} R vpravo) = 0 ,}$

poté zvedněte index m po celou dobu

${ displaystyle nabla _ { ell} vlevo (R ^ { ell m} - {1 nad 2} g ^ { ell m} R vpravo) = 0.}$

Výraz v závorkách je Einsteinův tenzor, tak ^[1]

${ displaystyle nabla _ { ell} G ^ { ell m} = 0,}$     Q.E.D.    (návrat k článku )

to znamená, že kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí.

Lieův derivát metriky

Důkaz

Počínaje místním koordinovat vzorec pro kovariantní symetrické tenzorové pole ${ displaystyle g = g_ {ab} (x ^ {c}) dx ^ {a} další krát dx ^ {b}}$, Derivát lži podél a vektorové pole ${ displaystyle X = X ^ {a} částečné _ {a}}$ je

${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} & = X ^ {c} částečný _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} částečný _ { a} X ^ {c} + g_ {ca} částečné _ {b} X ^ {c} & = X ^ {c} částečné _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} { bigl (} částečné _ {a} X ^ {c} pm Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + ​​g_ {ca} { bigl (} částečné _ {b } X ^ {c} pm Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} & = { bigl (} X ^ {c} částečný _ {c} g_ { ab} -g_ {cb} Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} -g_ {ca} Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + ​​{ bigl [} g_ {cb} { bigl (} částečné _ {a} X ^ {c} + gama _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + ​​g_ {ca} { bigl (} částečný _ {b} X ^ {c} + Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} { bigr]} & = X ^ {c} nabla _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = 0 + g_ { cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} end {zarovnáno}}}$

zde, notace ${ displaystyle částečné _ {a} = { frac { částečné} { částečné x ^ {a}}}}$ znamená brát parciální derivace s ohledem na souřadnici ${ displaystyle x ^ {a}}$.      Q.E.D.     (návrat k článku )

Viz také

• Čtyři přechody
• Identita Palatini
• Ricciho počet

Reference

Knihy

• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vektory a tenzory ve strojírenství a fyzice (2 / ed.). Westview (Perseus). ISBN  978-0-8133-4080-7.
• Lovelock, Davide; Rund, Hanno (1989) [1975]. Tenzory, diferenciální formy a variační principy. Doveru. ISBN  978-0-486-65840-7.
• Synge J.L., Schild A. (1949). Tenzorový počet. první vydání Dover Publications 1978. ISBN  978-0-486-63612-2.
• J.R.Tyldesley (1975), Úvod do analýzy tenzorů: Pro inženýry a aplikované vědce, Longmane, ISBN  0-582-44355-5
• D.C. Kay (1988), Tenzorový počet, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN  0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), Geometrie fyziky (3. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-1107-602601

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.