Důkazy zahrnující kovariantní deriváty - Proofs involving covariant derivatives

Tento článek obsahuje důkaz o vzorce v Riemannově geometrii které zahrnují Christoffel symboly.

Smluvní identita Bianchi

Důkaz

Začněte s Bianchi identita[1]

Smlouva obě strany výše uvedené rovnice s dvojicí metrické tenzory:

První člen na levé straně kontraktuje, aby poskytl Ricciho skalární, zatímco třetí člen na kontrakci, čímž získá a smíšený Ricciho tenzor,

Poslední dva výrazy jsou stejné (změna fiktivního indexu n na m) a lze je spojit do jednoho členu, který se přesune doprava,

což je stejné jako

Zaměňte štítky indexu l a m výnosy

     Q.E.D.     (návrat k článku )

Kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí

Důkaz

Poslední rovnice v důkazu výše může být vyjádřena jako

kde δ je Kroneckerova delta. Protože smíšená delta Kronecker je ekvivalentní smíšenému metrickému tenzoru,

a protože kovarianční derivace metrického tenzoru je nula (takže jej lze přesunout dovnitř nebo ven z rozsahu jakékoli takové derivace), pak

Rozdělte kovarianční derivaci

poté zvedněte index m po celou dobu

Výraz v závorkách je Einsteinův tenzor, tak [1]

    Q.E.D.    (návrat k článku )

to znamená, že kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí.

Lieův derivát metriky

Důkaz

Počínaje místním koordinovat vzorec pro kovariantní symetrické tenzorové pole , Derivát lži podél a vektorové pole je

zde, notace znamená brát parciální derivace s ohledem na souřadnici .      Q.E.D.     (návrat k článku )

Viz také

Reference

  1. ^ A b Synge J.L., Schild A. (1949). Tenzorový počet. str. 87–89–90.

Knihy