Tento článek obsahuje důkaz o vzorce v Riemannově geometrii které zahrnují Christoffel symboly.
Smluvní identita Bianchi
Důkaz
Začněte s Bianchi identita[1]

Smlouva obě strany výše uvedené rovnice s dvojicí metrické tenzory:




První člen na levé straně kontraktuje, aby poskytl Ricciho skalární, zatímco třetí člen na kontrakci, čímž získá a smíšený Ricciho tenzor,

Poslední dva výrazy jsou stejné (změna fiktivního indexu n na m) a lze je spojit do jednoho členu, který se přesune doprava,

což je stejné jako

Zaměňte štítky indexu l a m výnosy
Q.E.D. (návrat k článku )
Kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí
Důkaz
Poslední rovnice v důkazu výše může být vyjádřena jako

kde δ je Kroneckerova delta. Protože smíšená delta Kronecker je ekvivalentní smíšenému metrickému tenzoru,

a protože kovarianční derivace metrického tenzoru je nula (takže jej lze přesunout dovnitř nebo ven z rozsahu jakékoli takové derivace), pak

Rozdělte kovarianční derivaci

poté zvedněte index m po celou dobu

Výraz v závorkách je Einsteinův tenzor, tak [1]
Q.E.D. (návrat k článku )
to znamená, že kovarianční divergence Einsteinova tenzoru zmizí.
Lieův derivát metriky
Důkaz
Počínaje místním koordinovat vzorec pro kovariantní symetrické tenzorové pole
, Derivát lži podél a vektorové pole
je
![{ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} & = X ^ {c} částečný _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} částečný _ { a} X ^ {c} + g_ {ca} částečné _ {b} X ^ {c} & = X ^ {c} částečné _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} { bigl (} částečné _ {a} X ^ {c} pm Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} částečné _ {b } X ^ {c} pm Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} & = { bigl (} X ^ {c} částečný _ {c} g_ { ab} -g_ {cb} Gamma _ {da} ^ {c} X ^ {d} -g_ {ca} Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + { bigl [} g_ {cb} { bigl (} částečné _ {a} X ^ {c} + gama _ {da} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} + g_ {ca} { bigl (} částečný _ {b} X ^ {c} + Gamma _ {db} ^ {c} X ^ {d} { bigr)} { bigr]} & = X ^ {c} nabla _ {c} g_ {ab} + g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = 0 + g_ { cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = g_ {cb} nabla _ {a} X ^ {c} + g_ {ca} nabla _ {b} X ^ {c} & = nabla _ {a} X_ {b} + nabla _ {b} X_ {a} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b47e81ee4f393d2e39f9e701dce31a59557fa69)
zde, notace
znamená brát parciální derivace s ohledem na souřadnici
. Q.E.D. (návrat k článku )
Viz také
Reference
- ^ A b Synge J.L., Schild A. (1949). Tenzorový počet. str. 87–89–90.
Knihy
- Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Danielson, Donald A. (2003). Vektory a tenzory ve strojírenství a fyzice (2 / ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
- Lovelock, Davide; Rund, Hanno (1989) [1975]. Tenzory, diferenciální formy a variační principy. Doveru. ISBN 978-0-486-65840-7.
- Synge J.L., Schild A. (1949). Tenzorový počet. první vydání Dover Publications 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.
- J.R.Tyldesley (1975), Úvod do analýzy tenzorů: Pro inženýry a aplikované vědce, Longmane, ISBN 0-582-44355-5
- D.C. Kay (1988), Tenzorový počet, Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
- T. Frankel (2012), Geometrie fyziky (3. vyd.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601