Součin exponenciálních vzorců - Product of exponentials formula

The součin exponenciálů (POE) metoda je a konvence robotiky pro mapování vazeb prostorového kinematický řetězec. Je to alternativa k Denavit – Hartenberg parametrizace. Zatímco druhá metoda používá minimální počet parametrů k reprezentaci pohybů kloubů, první metoda má řadu výhod: jednotné zacházení s prizmatickými a rotačními spoji, definice pouze dvou referenčních rámců a snadná geometrická interpretace z použití os šroubů pro každý kloub.^[1]

Metodu POE zavedl Roger W. Brockett v roce 1984.^[2]

Metoda

Následující metoda se používá k určení součinu exponenciálních hodnot pro kinematický řetězec s cílem parametrizovat an afinní transformační matice mezi základnou a rámy nástrojů, pokud jde o úhly spojů ${ textstyle theta _ {1} ... theta _ {N}.}$

Definujte „nulovou konfiguraci“

Prvním krokem je výběr „nulové konfigurace“, kde jsou všechny úhly spojů definovány jako nulové. Matice 4x4 ${ textstyle g_ {st} (0)}$ popisuje transformaci ze základního rámu na rám nástroje v této konfiguraci. Jedná se o afinní transformaci skládající se z matice rotace 3x3 R a překladový vektor 1x3 str. Matice je rozšířena, aby se vytvořila čtvercová matice 4x4.

{ displaystyle g_ {st} (0) = left [{ begin {array} {cc} R & p 0 & 1 end {array}} right]}

Vypočítejte exponenciální matici pro každý spoj

Následující kroky by měly být dodrženy pro každý z nich N klouby k vytvoření afinní transformace pro každého.

Definujte počátek a osu akce

Pro každý kloub kinematického řetězce výchozí bod q a osa akce jsou vybrány pro nulovou konfiguraci pomocí souřadnicového rámce základny. V případě a hranolový spoj osa akce proti je vektor, podél kterého se kloub táhne; v případě a otočný kloub osa akce ω vektor kolmý k rotaci.

Najděte kroucení pro každý kloub

Vektor kroucení 1x6 je složen tak, aby popisoval pohyb každého kloubu. U rotačního kloubu

{ displaystyle xi _ {i} = left ({ start {pole} {c} - omega _ {i} krát q_ {i} omega _ {i} konec {pole} }že jo).}

Pro hranolový spoj,

{ displaystyle xi _ {i} = vlevo ({ začátek {pole} {c} v_ {i} 0 konec {pole}} doprava).}

Výsledný obrat má dvě vektorové komponenty 1x3: Lineární pohyb podél osy ( ${ displaystyle v}$ ) a rotační pohyb podél stejné osy (ω).

{ displaystyle xi = left ({ begin {pole} {c} v omega end {pole}} right).}

Vypočítejte rotační matici

Vektor 3x1 ω je přepsán dovnitř křížový produkt maticová notace:

{ displaystyle { hat { omega}} = left [{ begin {array} {ccc} 0 & - omega _ {3} & omega _ {2} omega _ {3} & 0 & - omega _ {1} - omega _ {2} & omega _ {1} & 0 end {array}} right].}

Za Rodriguesův rotační vzorec, rotační matice se počítá z rotační složky:

{ displaystyle e ^ {{ hat { omega}} theta} = I + { hat { omega}} sin { theta} + { hat { omega}} ^ {2} (1- cos { theta}).}

Vypočítat překlad

Translační vektor 3x1 se počítá ze složek zákrutu.

{ displaystyle t = (I-e ^ {{ hat { omega}} theta}) ( omega krát v) + omega omega ^ {T} v theta}

kde Já je 3x3 matice identity.^[3]

Sestavte exponenciální matici

Pro každý kloub i, exponenciální matice ${ textstyle e ^ {{ hat { xi}} _ {i} theta _ {i}}}$ pro daný úhel spoje ${ textstyle theta}$ se skládá z rotační matice a translačního vektoru kombinovaného do rozšířené matice 4x4:

{ displaystyle e ^ {{ hat { xi}} _ {i} theta _ {i}} = left [{ begin {array} {cc} e ^ {{ hat { omega}} theta} & t 0 & 1 end {array}} right]}

Sestavte strukturní rovnici

Maticové exponenciály se vynásobí, aby se vytvořila afinní transformace 4 × 4 ${ textstyle g_ {d} ( theta _ {i}, ldots, theta _ {n})}$ od základního rámu k rámu nástroje v dané konfiguraci.

{ displaystyle g_ {d} = e ^ {{ hat { xi}} _ {1} theta _ {1}} cdots e ^ {{ hat { xi}} _ {n} theta _ {n}} g_ {st} (0).}

Aplikace na kinematiku

Dopředná kinematika lze vypočítat přímo z řetězce POE pro daného manipulátora. Inverzní kinematika pro většinu běžných robotických manipulátorů lze vyřešit pomocí Paden – Kahan dílčí problémy.

Vztah k parametrům Denavit – Hartenberg

Výhody

Součin exponenciální metody používá pouze dva referenční rámce: základní rám S a rám nástroje T. Konstrukce parametrů Denavit – Hartenberg pro robota vyžaduje pečlivý výběr rámců nástrojů, aby bylo možné provést konkrétní zrušení, takže zvraty mohou být reprezentovány čtyřmi parametry místo šesti. V metodě exponenciálních metod lze kroucení spojů konstruovat přímo bez ohledu na sousední spoje v řetězci. To usnadňuje konstrukci společných zákrutů a usnadňuje jejich zpracování počítačem.^[3] Kromě toho jsou v metodě POE rovnoměrně ošetřeny rotační a hranolové klouby, zatímco při použití parametrů Denavit – Hartenberg jsou ošetřeny samostatně. Kromě toho existuje několik konvencí pro přiřazení rámců odkazů při použití parametrů Denavit – Hartenberg.

Konverze

V obou metodách neexistuje mapování jedna k jedné mezi mapováním twist souřadnic, ale bylo prokázáno algoritmické mapování z POE do Denavit – Hartenberg.^[4]

Aplikace na paralelní roboty

Při analýze paralelní roboti, je kinematický řetězec každé nohy analyzován jednotlivě a rámy nástrojů jsou nastaveny stejně. Tuto metodu lze rozšířit na uchopitelné analýzy.

Reference

^ Lynch, Kevin; Park, Frank (2017). Moderní robotika (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 9781107156302.
^ Brockett, Roger (1983). "Robotické manipulátory a součin exponenciálních vzorců". Mezinárodní symposium o matematické teorii sítí a systémů.
^ ^A ^b Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Matematický úvod do robotické manipulace (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Florida .: CRC Press. ISBN 9780849379819.
^ Wu, Liao; Crawford, Ross; Roberts, Jonathan (říjen 2017). „Analytický přístup k převodu parametrů POE na parametry D – H pro roboty Serial-Link“ (PDF). IEEE Robotics and Automation Letters. 2 (4): 2174–2179. doi:10.1109 / LRA.2017.2723470.

Tento článek týkající se robotiky je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Lynch, Kevin; Park, Frank (2017). Moderní robotika (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 9781107156302.

[2] Brockett, Roger (1983). "Robotické manipulátory a součin exponenciálních vzorců". Mezinárodní symposium o matematické teorii sítí a systémů.

[Murray1994-3] A ^b Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Matematický úvod do robotické manipulace (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Florida .: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[4] Wu, Liao; Crawford, Ross; Roberts, Jonathan (říjen 2017). „Analytický přístup k převodu parametrů POE na parametry D – H pro roboty Serial-Link“ (PDF). IEEE Robotics and Automation Letters. 2 (4): 2174–2179. doi:10.1109 / LRA.2017.2723470.

[1]

[2]

[3]

[4]