Podproblémy Paden – Kahan - Paden–Kahan subproblems

Podproblémy Paden – Kahan je soubor řešených geometrických problémů, které se často vyskytují v inverzní kinematika běžných robotických manipulátorů.^[1] Ačkoli soubor problémů není vyčerpávající, lze jej použít ke zjednodušení inverzní kinematické analýzy pro mnoho průmyslových robotů.^[2]

Strategie zjednodušení

Pro strukturní rovnici definovanou součin exponenciálů Metoda, Paden – Kahanovy dílčí problémy lze použít ke zjednodušení a vyřešení inverzní kinematické úlohy. Je pozoruhodné, že exponenciály matice nejsoukomutativní.

Obecně se subproblémy používají k řešení konkrétních bodů úlohy inverzní kinematiky (např. Průsečík os kloubů) za účelem řešení úhlů kloubů.

Eliminace otáček kloubů

Zjednodušení je dosaženo zásadou, že rotace nemá žádný vliv na bod ležící na její ose. Například pokud jde o bod ${ textový styl}$ je na ose otáčení otáčení ${ textstyle xi}$ , jeho poloha není ovlivněna aktivací zákrutu. K vtipu:

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} p = p}

Tedy pro strukturní rovnici

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

kde

{ textstyle xi _ {1}}

,

{ textstyle xi _ {2}}

a

{ textstyle xi _ {3}}

jsou všechny zvraty s nulovou roztečí, aplikující obě strany rovnice na bod

{ textový styl}

který je na ose

{ textstyle xi _ {3}}

(ale ne na osách

{ textstyle xi _ {1}}

nebo

{ textstyle xi _ {2}}

) výnosy

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} p = gp}

Zrušením

{ textstyle xi _ {3}}

, to přináší

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = gp }

který, pokud

{ textstyle xi _ {1}}

a

{ textstyle xi _ {2}}

protínají, lze vyřešit dílčím problémem 2.

Norma

V některých případech může být problém také zjednodušen odečtením bodu od obou stran rovnice a převzetím normy výsledku.

Například řešit

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ { { widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} = g}

pro

{ textstyle xi _ {3}}

, kde

{ textstyle xi _ {1}}

a

{ textstyle xi _ {2}}

protínají se v bodě

{ textstyle q}

, lze na bod aplikovat obě strany rovnice

{ textový styl}

to není na ose

{ textstyle xi _ {3}}

. Odečítání

{ textstyle q}

a brát normu obou stran výnosy

{ displaystyle { begin {zarovnáno} delta _ {i} = | gp-q | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq) | = | e ^ {{ widehat { xi}} _ {3} theta _ {3}} pq | end { zarovnaný}}}

To lze vyřešit pomocí dílčího problému 3.

Seznam dílčích problémů

Každý dílčí problém je prezentován jako algoritmus založený na geometrickém důkazu. Kód pro řešení daného dílčího problému, který by měl být zapsán pro případy s více řešeními nebo bez řešení, může být integrován do inverzních kinematických algoritmů pro širokou škálu robotů.

Podproblém 1: Rotace kolem jedné osy

Ilustrace prvního dílčího problému Paden – Kahan.

Nechat ${ textstyle xi}$ být twist s nulovým stoupáním s jednotkovou velikostí a ${ textový styl p, q v mathbb {R} ^ {3}}$ být dva body. Nalézt ${ textstyle theta}$ takhle

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} p = q.}

V tomto dílčím problému bod ${ textový styl}$ se otáčí kolem dané osy ${ textstyle xi}$ tak, že se shoduje s druhým bodem ${ textstyle q}$ .

Ilustrace promítaného kruhu v prvním dílčím problému Paden – Kahan.

Řešení

Nechat ${ textstyle r}$ být bodem na ose ${ textstyle xi}$ . Definujte vektory ${ textstyle u = (p-r)}$ a ${ textstyle v = (q-r)}$ . Od té doby ${ textstyle r}$ je na ose ${ textstyle xi}$ , ${ textstyle e ^ {{ widehat { xi}} theta} r = r.}$ Proto, ${ textstyle e ^ {{ widehat { omega}} theta} u = v.}$

Dále vektory ${ textstyle u '}$ a ${ textstyle v '}$ jsou definovány jako projekce ${ textový styl}$ a ${ textstyle v}$ na rovinu kolmou k ose ${ textstyle xi}$ . Pro vektor ${ textstyle omega v mathbb {R}}$ ve směru osy ${ textstyle xi}$ ,

{ displaystyle u '= u- omega omega ^ {T} u}

a

{ displaystyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}

V případě, že

{ textstyle u '= 0}

,

{ textstyle p = q}

a oba body leží na ose otáčení. Subproblem proto v tomto případě přináší nekonečné množství možných řešení.

Aby problém měl řešení, je nutné, aby projekce ${ textový styl}$ a ${ textstyle v}$ na ${ textstyle omega}$ osy a na rovinu kolmou na ${ textstyle omega}$ mají stejnou délku. Je nutné zkontrolovat, že:

{ displaystyle omega ^ {T} u = omega ^ {T} v}

a to

{ displaystyle | u ' | = | v' |}

Pokud jsou tyto rovnice splněny, hodnota úhlu spoje ${ textstyle theta}$ lze najít pomocí atan2 funkce:

{ displaystyle theta = mathrm {atan2} ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

Pokud

{ textstyle u ' neq 0}

, měl by tento dílčí problém přinést jedno řešení pro

{ textstyle theta}

.

Subproblem 2: Rotation around two subsequent axes

Ilustrace Paden – Kahan Subproblem 2. Subproblem přináší dvě řešení v případě, že se kružnice protínají ve dvou bodech; jedno řešení, pokud jsou kružnice tangenciální; a žádné řešení, pokud se kruhy neprotínají.

Nechat ${ textstyle xi _ {1}}$ a ${ textstyle xi _ {2}}$ být dva zvraty s nulovým stoupáním s jednotkovou velikostí a protínajícími se osami Nechat ${ textový styl p, q v mathbb {R} ^ {3}}$ být dva body. Nalézt ${ textstyle theta _ {1}}$ a ${ textstyle theta _ {2}}$ takhle ${ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = q .}$

Tento problém odpovídá rotaci ${ textový styl}$ kolem osy ${ textstyle xi _ {2}}$ podle ${ textstyle theta _ {2}}$ , poté jej otočíte kolem osy ${ textstyle xi _ {1}}$ podle ${ textstyle theta _ {1}}$ , takže konečné umístění ${ textový styl}$ je shodný s ${ textstyle q}$ . (Pokud osy ${ textstyle xi _ {1}}$ a ${ textstyle xi _ {2}}$ jsou shodné, pak se tento problém redukuje na dílčí problém 1 a připouští všechna taková řešení ${ textstyle theta _ {1} + theta _ {2} = theta}$ .)

Řešení

Za předpokladu, že obě osy nejsou rovnoběžné (tj. ${ textstyle omega _ {1} neq omega _ {2}}$ ), nechť ${ textstyle c}$ být takovým bodem

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p = c = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }} q.}

Jinými slovy,

{ textstyle c}

představuje bod, ke kterému

{ textový styl}

se otáčí kolem jedné osy, než se otáčí kolem druhé osy, aby se shodovalo s

{ textstyle q}

. Každá jednotlivá rotace je ekvivalentní k dílčímu problému 1, je však nutné určit jedno nebo více platných řešení pro

{ textstyle c}

za účelem řešení rotací.

Nechat ${ textstyle r}$ být průsečíkem dvou os:

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} (pr) = cr = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} (qr).}

Ilustrace Paden – Kahanova dílčího problému 2, ukazující tangenciální případ, ve kterém dílčí problém přináší pouze jedno řešení.

Definujte vektory ${ textstyle u = (p-r)}$ , ${ textstyle v = (q-r)}$ a ${ textstyle z = (c-r)}$ . Proto,

{ displaystyle e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} u = z = e ^ {- { widehat { xi}} _ {1} theta _ {1 }}proti.}

To z toho vyplývá ${ textstyle omega _ {2} ^ {T} u = omega _ {2} ^ {T} z}$ , ${ textstyle omega _ {1} ^ {T} v = omega _ {1} ^ {T} z}$ , a ${ textstyle | u | ^ {2} = | z | ^ {2} = | v | ^ {2}}$ . Od té doby ${ textstyle omega _ {1}}$ , ${ textstyle omega _ {2}}$ a ${ textstyle omega _ {1} krát omega _ {2}}$ jsou lineárně nezávislé, ${ textstyle z}$ lze psát jako

{ displaystyle z = alpha omega _ {1} + beta omega _ {2} + gamma ( omega _ {1} krát omega _ {2}).}

Hodnoty koeficientů lze vyřešit takto:

Ilustrace Paden – Kahanova dílčího problému 2, znázorňující případ se dvěma protínajícími se kruhy, a tedy se dvěma řešeními. Obě řešení (c, c2) jsou zvýrazněna.

{ displaystyle alpha = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {2} ^ {T} u- omega _ {1} ^ {T} v} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

{ displaystyle beta = { frac {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) omega _ {1} ^ {T} v- omega _ {2} ^ {T} u} {( omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}) ^ {2} -1}}}

, a

{ displaystyle gamma ^ {2} = { frac { | u | ^ {2} - alpha ^ {2} - beta ^ {2} -2 alpha beta omega _ {1} ^ {T} omega _ {2}} { | omega _ {1} times omega _ {2} | ^ {2}.}}}

Subproblém získá dvě řešení v případě, že se kružnice protínají ve dvou bodech; jedno řešení, pokud jsou kružnice tangenciální; a žádné řešení, pokud se kruhy neprotínají.

Podproblém 3: Rotace na danou vzdálenost

Nechat ${ textstyle xi}$ být twist s nulovým stoupáním s velikostí jednotky; nechat ${ textový styl p, q v mathbb {R} ^ {3}}$ být dva body; a nechte ${ textstyle delta}$ být reálné číslo větší než 0. Najít ${ textstyle theta}$ takhle ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

V tomto problému bod ${ textový styl}$ se otáčí kolem osy ${ textstyle xi}$ dokud není bod vzdáleností ${ textstyle delta}$ z bodu ${ textstyle q}$ . Aby mohlo existovat řešení, kruh je definován rotací ${ textový styl}$ kolem ${ textstyle xi}$ musí protínat kouli o poloměru ${ textstyle delta}$ se středem na ${ textstyle q}$ .

Řešení

Nechat ${ textstyle r}$ být bodem na ose ${ textstyle xi}$ . Vektory ${ textstyle u = (p-r)}$ a ${ textstyle v = (q-r)}$ jsou definovány tak, že

{ displaystyle | v-e ^ {{ widehat { xi}} theta} u | ^ {2} = delta ^ {2}.}

Projekce ${ textový styl}$ a ${ textstyle v}$ jsou ${ textstyle u '= u- omega omega ^ {T} u}$ a ${ textstyle v '= v- omega omega ^ {T} v.}$ „Projekce“ úsečkového segmentu definovaná ${ textstyle delta}$ se zjistí odečtením složky ${ textový styl p-q}$ v ${ textstyle omega}$ směr:

{ displaystyle delta '^ {2} = delta ^ {2} - | omega ^ {T} (p-q) | ^ {2}.}

Úhel

{ textstyle theta _ {0}}

mezi vektory

{ textový styl '

a

{ textstyle v '}

je nalezen pomocí atan2 funkce:

{ displaystyle theta _ {0} = atan2 ( omega ^ {T} (u ' times v'), u '^ {T} v').}

Úhel spoje

{ textstyle theta}

se nachází podle vzorce

{ displaystyle theta = theta _ {0} pm cos ^ {- 1} left ({ frac { | u ' | ^ {2} + | v' | ^ {2} - delta '^ {2}} {2 | u' | | v ' |}} vpravo).}

Tento dílčí problém může přinést nula, jedno nebo dvě řešení, v závislosti na počtu bodů, ve kterých je poloměr kruhu

{ textstyle | u ' |}

protíná kruh o poloměru

{ textstyle delta '}

.

Subproblem 4: Rotation around two axes to a given distance

Nechat ${ textstyle xi _ {1}}$ a ${ textstyle xi _ {2}}$ být dva zvraty s nulovým stoupáním s jednotkovou velikostí a protínajícími se osami Nechat ${ textstyle p, q_ {1}, q_ {2} in mathbb {R} ^ {3}}$ být body. Nalézt ${ textstyle theta _ {1}}$ a ${ textstyle theta _ {2}}$ takhle ${ displaystyle | e ^ {{ widehat { xi}} _ {1} theta _ {1}} e ^ {{ widehat { xi}} _ {2} theta _ {2}} p -q_ {1} | = delta _ {1}.}$

Tento problém je analogický k dílčímu problému 2, až na to, že konečný bod je omezen vzdálenostmi ke dvěma známým bodům.

Podproblém 5: Překlad na danou vzdálenost

Nechat ${ textstyle xi}$ být zkroucením velikosti jednotky o nekonečné výšce; ${ textový styl p, q v mathbb {R} ^ {3}}$ dva body; a ${ textstyle delta}$ reálné číslo větší než 0. Najít ${ textstyle theta}$ takhle ${ displaystyle | q-e ^ {{ widehat { xi}} theta} p | = delta.}$

Reference

^ Paden, Bradley Evan (1985). "Kinematika a řízení robotických manipulátorů". Ph.D. Teze. Bibcode:1985PhDT ........ 94P.
^ Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Matematický úvod do robotické manipulace (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Florida .: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1] Paden, Bradley Evan (1985). "Kinematika a řízení robotických manipulátorů". Ph.D. Teze. Bibcode:1985PhDT ........ 94P.

[2] Sastry, Richard M. Murray; Zexiang Li; S. Shankar (1994). Matematický úvod do robotické manipulace (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Florida .: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1]

[2]