Blok (teorie permutačních skupin) - Block (permutation group theory)
 | tento článek ne uvést žádný Zdroje. (Červen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
v matematika a teorie skupin, a blokový systém pro akce a skupina G na soubor X je rozdělit z X to je G-invariantní. Pokud jde o přidružené vztah ekvivalence na X, G-invariance to znamená
- X ~ y naznačuje gx ~ gy
pro všechny G ∈ G a všechno X, y ∈ X. Akce G na X vyvolává přirozené působení G na libovolném blokovém systému pro X.
Sada oběžné dráhy z G-soubor X je příklad blokového systému. Odpovídající vztah ekvivalence je nejmenší G-invariantní ekvivalence na X taková, že indukovaná akce na blokovém systému je triviální.
Oddíl do singletonové sady je blokový systém a pokud X není prázdný, pak oddíl do jedné sady X sám o sobě je také blokový systém (pokud X je singletonová sada, pak jsou tyto dva oddíly identické). A tranzitivní (a tedy neprázdné) G-soubor X se říká, že je primitivní pokud nemá žádné další blokové systémy. Pro neprázdné G-soubor X požadavek na přechodnost v předchozí definici je nezbytný pouze v případě, že |X|=2 a skupinová akce je triviální.
Charakterizace bloků
Každý prvek nějakého blokového systému se nazývá a blok. Blok lze charakterizovat jako neprázdný podmnožina B z X takové, že pro všechny G ∈ G, buď
- gB = B (G opravy B) nebo
- gB ∩ B = ∅ (G tahy B zcela).
Důkaz: Předpokládat, že B je blok a pro některé G ∈ G své gB ∩ B ≠ ∅. Pak pro některé X ∈ B své gx ~ X. Nechat y ∈ B, pak X ~ y a od G-invariance z toho vyplývá gx ~ gy. Tím pádem y ~ gy a tak gB ⊆ B. Kondice gx ~ X také naznačuje X ~ G−1Xa stejnou metodou z toho vyplývá G−1B ⊆ B, a tudíž B ⊆ gB. V opačném směru, pokud je nastaven B splňuje danou podmínku, pak systém {gB | G ∈ G} společně s doplňkem sjednocení těchto množin obsahuje blokový systém B.
Zejména pokud B je tedy blok gB je blok pro každého G ∈ G, a pokud G působí přechodně na X pak sada {gB | G ∈ G} je blokový systém X.
Stabilizátory bloků
Li B je blok, stabilizátor z B je podskupina
- GB = { G ∈ G | gB = B }.
Stabilizátor bloku obsahuje stabilizátor GX každého z jeho prvků. Naopak, pokud X ∈ X a H je podskupina G obsahující GX, pak oběžnou dráhu H.X z X pod H je blok obsažený na oběžné dráze G.X a obsahující X.
Pro všechny X ∈ X, blok B obsahující X a podskupina H ⊆ G obsahující GX své GB.X = B ∩ G.X a GH.X = H.
Z toho vyplývá, že bloky obsahující X a obsažené v G.X jsou v osobní korespondence s podskupinami G obsahující GX. Zejména pokud G-soubor X je tranzitivní pak bloky obsahující X jsou v korespondenci 1: 1 s podskupinami G obsahující GX. V tomto případě G-soubor X je primitivní právě tehdy, pokud je buď skupinová akce triviální (pak X = {X}) nebo stabilizátor GX je maximální podskupina z G (pak stabilizátory všech prvků X jsou maximální podskupiny G sdružené na GX protože Ggx = G ⋅ GX ⋅ G−1).