Úhel polohy - Position angle

Ilustrace toho, jak se odhaduje úhel polohy okulárem dalekohledu; primární hvězda je ve středu.

v astronomie, úhel polohy (obvykle zkráceno PA) je konvence pro měření úhlů na obloze. The Mezinárodní astronomická unie definuje jako úhel měřený vzhledem k severní nebeský pól (NCP) a otočil se pozitivně do směru pravý vzestup. U standardních (nepřevrácených) obrázků se jedná o počítadlove směru hodinových ručiček změřte vzhledem k ose do směru kladného deklinace.

V případě pozorování vizuální dvojhvězdy, je definována jako úhlové posunutí sekundární hvězdy od primární vzhledem k severní nebeský pól.

Jak ukazuje příklad, pokud bychom pozorovali hypotetickou binární hvězdu s PA 135 °, znamená to, že imaginární čára v okuláru nakreslená od severního nebeského pólu k primárnímu (P) by byla posunuta od sekundárního (S) takového že úhel NCP-PS bude 135 °.

Při vytváření grafických vizuálních binárních drah je čára NCP tradičně tažena směrem dolů - tj. Se severem dole - a PA se měří proti směru hodinových ručiček. Také směr správný pohyb může být například dán jeho polohovým úhlem.

Definice úhlu polohy se také aplikuje na rozšířené objekty, jako jsou galaxie, kde odkazuje na úhel vytvořený hlavní osou objektu s linií NCP.

Nautika

Koncept polohového úhlu se dědí z námořní navigace v oceánech, kde je optimální kompas kurz je kurz ze známé pozice $s$ do cílové polohy $t$ s minimálním úsilím. Při vyloučení vlivu větrů a oceánských proudů je optimálním průběhem průběh nejmenší vzdálenosti mezi dvěma polohami na povrchu oceánu. Výpočet kurzu kompasu je známý jako inverzní problém z geodetika.

Tento článek zvažuje pouze abstrakci minimalizace vzdálenosti mezi $s$ a $t$ cestování po povrchu koule s nějakým poloměrem $R$ . V jakém úhlu $p$ vzhledem k severu by měla loď směřovat k dosažení cílové polohy?

Globální geocentrický souřadnicový systém

Úhel polohy bodu t na místě s je úhel, pod kterým se protínají zelené a přerušované velké kruhy s. Směr jednotky

u E

,

u N

a osa otáčení

ω

jsou označeny šipkami.

Podrobné vyhodnocení optimálního směru je možné, pokud je mořská plocha aproximována povrchem koule. Standardní výpočet staví loď do geodetické polohy zeměpisná šířka $φ s$ a geodetické zeměpisná délka $λ s$ , kde $φ$ je považováno za pozitivní, pokud je severně od rovníku a kde $λ$ je považován za pozitivní, pokud je na východ od Greenwich. V globálním souřadnicovém systému se středem ve středu koule jsou karteziánské komponenty

{displaystyle {mathbf {s}} = Rleft ({egin {array} {c} cos varphi _ {s} cos lambda _ {s} cos varphi _ {s} sin lambda _ {s} sin varphi _ {s } konec {pole}} hned)}

a cílová pozice je

{displaystyle {mathbf {t}} = Rleft ({egin {array} {c} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t} sin varphi _ {t } end {array}} ight).}

Severní pól je na

{displaystyle {mathbf {N}} = Rleft ({egin {array} {c} 0 0 1end {array}} ight).}

The minimální vzdálenost $d$ je vzdálenost ve velkém kruhu, který protéká $s$ a $t$ . Vypočítává se v rovině, která obsahuje střed koule a velký kruh,

{displaystyle d_ {s, t} = R heta _ {s, t}}

kde $θ$ je úhlová vzdálenost dvou bodů při pohledu ze středu koule, měřená v radiány. Kosinus úhlu se vypočítá podle Tečkovaný produkt ze dvou vektorů

{displaystyle mathbf {s} cdot mathbf {t} = R ^ {2} cos heta _ {s, t} = R ^ {2} (sin varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos varphi _ {s } cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ {s}))}

Pokud loď směřuje přímo k severnímu pólu, je cestovní vzdálenost

{displaystyle d_ {s, N} = R heta _ {s, N} = R (pi / 2-varphi _ {s})}

Pokud loď začíná v $t$ a plave přímo na severní pól, cestovní vzdálenost je

{displaystyle d_ {t, N} = R heta _ {t, n} = R (pi / 2-varphi _ {t})}

Krátká derivace

The kosinusový vzorec z sférická trigonometrie ^[1] výnosy pro úhel $p$ mezi velkými kruhy skrz $s$ které ukazují na sever na jedné straně a na $t$ na druhou stranu

{displaystyle cos heta _ {t, N} = cos heta _ {s, t} cos heta _ {s, N} + sin heta _ {s, t} sin heta _ {s, N} cos p.}

{displaystyle sin varphi _ {t} = cos heta _ {s, t} sin varphi _ {s} + sin heta _ {s, t} cos varphi _ {s} cos p.}

The sinusový vzorec výnosy

{displaystyle {frac {sin p} {sin heta _ {t, N}}} = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {sin heta _ {s, t}}}. }

Řešení pro $hřích θ Svatý$ a vložení do předchozího vzorce dává výraz pro tečnu úhlu polohy,

{displaystyle sin varphi _ {t} = cos heta _ {s, t} sin varphi _ {s} + {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {sin p}} cos varphi _ {t} cos varphi _ {s} cos p;}

{displaystyle an p = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s}) cos varphi _ {t} cos varphi _ {s}} {sin varphi _ {t} -cos heta _ {s, t } sin varphi _ {s}}}.}

Dlouhá derivace

Protože krátká derivace dává úhel mezi 0 a $π$ který neodhalí znaménko (západ nebo východ od severu?), je žádoucí jasnější odvození, které získá odděleně sinus a kosinus $p$ takové, že použití správná větev inverzní tečny umožňuje vytvořit úhel v celém rozsahu $-π\leqp\leqπ$ .

Výpočet začíná konstrukcí velkého kruhu mezi $s$ a $t$ . Leží v rovině, která obsahuje střed koule, $s$ a $t$ a je konstruován rotačně $s$ o úhel $θ Svatý$ kolem osy $ω$ . Osa je kolmá na rovinu velké kružnice a vypočítává se normalizovaným vektorem křížový produkt ze dvou pozic:

{displaystyle mathbf {omega} = {frac {1} {R ^ {2} sin heta _ {s, t}}} mathbf {s} imes mathbf {t} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} vlevo ({egin {array} {c} cos varphi _ {s} sin lambda _ {s} sin varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t } sin varphi _ {s} cos lambda _ {t} cos varphi _ {t} -cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} cos lambda _ {s} cos varphi _ {s} cos varphi _ { t} sin (lambda _ {t} -lambda _ {s}) end {array}} ight).}

Pravostranný nakloněný souřadný systém se středem ve středu koule je dán následujícími třemi osami: osa $s$ osa

{displaystyle mathbf {s} _ {perp} = omega imes {frac {1} {R}} mathbf {s} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} vlevo ({egin {pole} {c} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t} (sin ^ {2} varphi _ {s} + cos ^ {2} varphi _ {s} sin ^ {2} lambda _ {s}) - cos lambda _ {s} (sin varphi _ {s} cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos ^ {2} varphi _ {s} sin lambda _ {s} cos varphi _ {t} sin lambda _ {t}) cos varphi _ {t} sin lambda _ {t} (sin ^ {2} varphi _ {s} + cos ^ {2} varphi _ {s} cos ^ {2} lambda _ {s}) -sin lambda _ {s} (sin varphi _ {s} cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} + cos ^ {2} varphi _ {s} cos lambda _ {s} cos varphi _ {t} cos lambda _ {t}) cos varphi _ {s} [cos varphi _ {s} sin varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ { s})] konec {pole}} ight)}

a osa $ω$ Pozice podél velkého kruhu je

{displaystyle mathbf {s} (heta) = cos heta mathbf {s} + sin heta mathbf {s} _ {perp}, quad 0leq heta leq 2pi.}

Směr kompasu je dán vložením dvou vektorů $s$ a $s ⊥$ a výpočet gradientu vektoru vzhledem k $θ$ v $θ = 0$ .

{displaystyle {frac {částečné} {částečné heta}} mathbf {s} _ {mid heta = 0} = mathbf {s} _ {perp}.}

Úhel $p$ je dáno rozdělením tohoto směru ve dvou ortogonálních směrech v rovině tangenciální ke kouli v bodě $s$ . Tyto dva směry jsou dány částečnými derivacemi $s$ s ohledem na $φ$ as ohledem na $λ$ , normalizováno na délku jednotky:

{displaystyle mathbf {u} _ {N} = left ({egin {array} {c} -sin varphi _ {s} cos lambda _ {s} - sin varphi _ {s} sin lambda _ {s} cos varphi _ {s} end {array}} ight);}

{displaystyle mathbf {u} _ {E} = left ({egin {array} {c} -sin lambda _ {s} cos lambda _ {s} 0end {array}} ight);}

{displaystyle mathbf {u} _ {N} cdot mathbf {s} = mathbf {u} _ {E} cdot mathbf {u} _ {N} = 0}

$u N$ body na sever a $u E$ ukazuje na východ na pozici $s$ Úhel polohy $p$ projekty $s ⊥$ do těchto dvou směrů,

{displaystyle mathbf {s} _ {perp} = cos p, mathbf {u} _ {N} + sin p, mathbf {u} _ {E}}

,

kde kladné znaménko znamená, že úhly kladných poloh jsou definovány jako sever nad východem. Hodnoty kosinu a sinusu $p$ se počítají vynásobením této rovnice na obou stranách dvěma jednotkovými vektory,

{displaystyle cos p = mathbf {s} _ {perp} cdot mathbf {u} _ {N} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} [cos varphi _ {s} sin varphi _ { t} -sin varphi _ {s} cos varphi _ {t} cos (lambda _ {t} -lambda _ {s})];}

{displaystyle sin p = mathbf {s} _ {perp} cdot mathbf {u} _ {E} = {frac {1} {sin heta _ {s, t}}} [cos varphi _ {t} sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})].}

Místo vkládání spletitého výrazu $s ⊥$ , hodnocení může využít, že trojitý produkt je invariantní pod kruhovým posunem argumentů:

{displaystyle cos p = (mathbf {omega} imes {frac {1} {R}} mathbf {s}) cdot mathbf {u} _ {N} = omega cdot ({frac {1} {R}} mathbf {s } imes mathbf {u} _ {N}).}

Li atan2 se používá k výpočtu hodnoty, lze snížit oba výrazy dělením $cos φ t$ a násobení $hřích θ Svatý$ , protože tyto hodnoty jsou vždy kladné a tato operace nemění znaménka; pak efektivně

{displaystyle an p = {frac {sin (lambda _ {t} -lambda _ {s})} {cos varphi _ {s} an varphi _ {t} -sin varphi _ {s} cos (lambda _ {t} -lambda _ {s})}}.}

Viz také

Další čtení

Birney, D. Scott; Gonzalez, Guillermo; Oesper, David (2007). Pozorovací astronomie. Cambridge University Press. p. 75. ISBN 978-0-521-85370-5.

Reference

^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 4.3.149“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.

externí odkazy

The Orbits of 150 Visual Binary Stars, autor: Dibon Smith (přístup 2/26/06)

[AS-1] Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 4.3.149“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. PAN 0167642. LCCN 65-12253.

[1]