Markovovo jádro - Markov kernel

v teorie pravděpodobnosti, a Markovovo jádro (také známý jako stochastické jádro nebo pravděpodobnostní jádro) je mapa, kterou v obecné teorii Markovovy procesy, hraje roli, kterou přechodová matice dělá v teorii Markovových procesů s a konečný státní prostor.^[1]

Formální definice

Nechat ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ a ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ být měřitelné prostory. A Markovovo jádro se zdrojem ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ a cíl ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ je mapa ${ displaystyle kappa: { mathcal {B}} krát X až [0,1]}$ s následujícími vlastnostmi:

1. Za každou (pevnou) ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$, mapa ${ displaystyle x mapsto kappa (B, x)}$ je ${ displaystyle { mathcal {A}}}$-měřitelný
2. Za každou (pevnou) ${ displaystyle x v X}$, mapa ${ displaystyle B mapsto kappa (B, x)}$ je míra pravděpodobnosti na ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$

Jinými slovy se přidruží ke každému bodu ${ displaystyle x v X}$ A míra pravděpodobnosti ${ displaystyle kappa (dy | x): B mapsto kappa (B, x)}$ na ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ takové, že pro každou měřitelnou množinu ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$, mapa ${ displaystyle x mapsto kappa (B, x)}$ je měřitelný s ohledem na ${ displaystyle sigma}$-algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}.}$^[2].

Příklady

Jednoduchá náhodná procházka na celá čísla

Vzít ${ displaystyle X = Y = mathbb {Z}}$, a ${ displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {B}} = { mathcal {P}} ( mathbb {Z})}$ (dále jen napájecí sada z ${ displaystyle mathbb {Z}}$). Pak je Markovovo jádro plně určeno pravděpodobností, kterou přiřadí singletonové sadě ${ displaystyle {m }}$ s ${ displaystyle m v Y = mathbb {Z}}$ pro každého ${ displaystyle n v X = mathbb {Z}}$:

${ displaystyle kappa (B | n) = součet _ {m v B} kappa ( {m } | n), qquad forall n in mathbb {Z}, , forall B in { mathcal {B}}}$.

Nyní náhodná procházka ${ displaystyle kappa}$ to jde s pravděpodobností doprava ${ displaystyle p}$ a doleva s pravděpodobností ${ displaystyle 1-p}$ je definováno

${ displaystyle kappa ( {m } | n) = p delta _ {m, n + 1} + (1-p) delta _ {m, n-1}, quad forall n, m in mathbb {Z}}$

kde ${ displaystyle delta}$ je Kroneckerova delta. Pravděpodobnosti přechodu ${ displaystyle P (m | n) = kappa ( {m } | n)}$ pro náhodnou procházku jsou ekvivalentní Markovovu jádru.

Všeobecné Markovovy procesy s počitatelným stavovým prostorem

Obecněji řečeno ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ spočítatelné a ${ displaystyle { mathcal {A}} = { mathcal {P}} (X), { mathcal {B}} = { mathcal {P}} (Y)}$. Markovovo jádro je opět definováno pravděpodobností, kterou každému z nich přiřadí jednotlivým sadám ${ displaystyle i v X}$

${ displaystyle kappa (B | i) = součet _ {j v B} kappa ( {j } | i), qquad forall i v X, , forall B in { mathcal {B}}}$,

Definujeme Markovův proces definováním pravděpodobnosti přechodu ${ displaystyle P (j | i) = K_ {ji}}$ kde jsou čísla ${ displaystyle K_ {ji}}$ definovat (spočítatelné) stochastická matice ${ displaystyle (K_ {ji})}$ tj.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} K_ {ji} & geq 0, qquad & forall (j, i) v Y krát X, součet _ {j v Y} K_ {ji} & = 1, qquad & forall i in X. end {aligned}}}$

Poté definujeme

${ displaystyle kappa ( {j } | i) = K_ {ji} = P (j | i), qquad forall i v X, quad forall B in { mathcal {B}} }$.

Opět pravděpodobnost přechodu, stochastická matice a Markovovo jádro jsou ekvivalentní přeformulování.

Markovovo jádro definované funkcí jádra a mírou

Nechat ${ displaystyle nu}$ být opatření na ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$, a ${ displaystyle k: Y krát X až [0, infty]}$ A měřitelná funkce s respektem k produkt ${ displaystyle sigma}$-algebra ${ displaystyle { mathcal {A}} další časy { mathcal {B}}}$ takhle

${ displaystyle int _ {Y} k (y, x) nu ( mathrm {d} y) = 1, qquad forall x v X}$,

pak ${ displaystyle kappa (dy | x) = k (y, x) nu (dy)}$ tj. mapování

${ displaystyle { begin {cases} kappa: { mathcal {B}} krát X až [0,1] kappa (B | x) = int _ {B} k (y, x ) nu ( mathrm {d} y) end {případy}}}$

definuje Markovovo jádro.^[3]. Tento příklad zobecňuje počítatelný příklad procesu Markov kde ${ displaystyle nu}$ byl počítání opatření. Kromě toho zahrnuje další důležité příklady, jako jsou konvoluční jádra, zejména Markovova jádra definovaná tepelnou rovnicí. Druhý příklad zahrnuje Gaussovo jádro na ${ displaystyle X = Y = mathbb {R}}$ s ${ displaystyle nu (dx) = dx}$ standardní Lebesgueovo opatření a

${ displaystyle k_ {t} (y, x) = { frac {1} {{ sqrt {2 pi}} t}} e ^ {- (yx) ^ {2} / (2t ^ {2} )}}$.

Měřitelné funkce

Vzít ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ a ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ libovolné měřitelné mezery a let ${ displaystyle f: X až Y}$ být měřitelná funkce. Nyní definujte ${ displaystyle kappa (dy | x) = delta _ {f (x)} (dy)}$ tj.

${ displaystyle kappa (B | x) = mathbf {1} _ {B} (f (x)) = mathbf {1} _ {f ^ {- 1} (B)} (x) = { začátek {cases} 1 & { text {if}} f (x) v B 0 & { text {jinak}} end {cases}}}$ pro všechny ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$.

Pamatujte, že indikátor funguje ${ displaystyle mathbf {1} _ {f ^ {- 1} (B)}}$ je ${ displaystyle { mathcal {A}}}$- měřitelné pro všechny ${ displaystyle B v { mathcal {B}}}$ iff ${ displaystyle f}$ je měřitelný.

Tento příklad nám umožňuje uvažovat o Markovově jádře jako o zobecněné funkci s (obecně) náhodnou, nikoli určitou hodnotou.

Galton – Watsonův proces

Jako méně zřejmý příklad si vezměte ${ displaystyle X = mathbb {N}, { mathcal {A}} = { mathcal {P}} ( mathbb {N})}$, a ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ skutečná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ se standardní sigma algebrou Sady Borel. Pak

${ displaystyle kappa (B | n) = { začátek {případů} mathbf {1} _ {B} (0) & n = 0 Pr ( xi _ {1} + cdots + xi _ {x} v B) & n neq 0 end {cases}}}$

s i.i.d. náhodné proměnné ${ displaystyle xi _ {i}}$ (obvykle se střední hodnotou 0) a kde ${ displaystyle mathbf {1} _ {B}}$ je indikátorová funkce. Pro jednoduchý případ převrácení mince toto modeluje různé úrovně a Galtonova deska.

Složení jader Markov a kategorie Markov

Vzhledem k měřitelným prostorům ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$, ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$ a ${ displaystyle (Z, { mathcal {C}})}$a pravděpodobnostní jádra ${ displaystyle kappa: X až Y}$ a ${ displaystyle lambda: Y až Z}$, můžeme definovat složení ${ displaystyle lambda circ kappa: X až Z}$ podle

${ displaystyle ( lambda circ kappa) (dz | x) = int _ {Y} lambda (dz | y) kappa (dy | x)}$

Složení je asociativní Tonelliho věta a funkce identity považovaná za Markovovo jádro (tj. delta míra ${ displaystyle kappa _ {1} (dx '| x) = delta _ {x} (dx')}$ je jednotka pro tuto kompozici.

Tato kompozice definuje strukturu a kategorie na měřitelných prostorech s jádry Markov jako morfismem, které poprvé definoval Lawvere^[4]. Kategorie má prázdnou sadu jako počáteční objekt a sadu jednoho bodu ${ displaystyle *}$ jako koncový objekt.

Pravděpodobnostní prostor definovaný pravděpodobnostní distribucí a Markovovým jádrem

Míra pravděpodobnosti v měřitelném prostoru ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ je stejná věc jako morfismus ${ displaystyle * až X}$ v kategorii Markov také označil ${ displaystyle P}$. Podle složení prostor pravděpodobnosti ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, P_ {X})}$ a pravděpodobnostní jádro ${ displaystyle kappa: (X, { mathcal {A}}) to (Y, { mathcal {B}})}$ definuje prostor pravděpodobnosti ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}}, P_ {Y} = kappa circ P_ {X})}$. To je konkrétně definováno

${ displaystyle P_ {Y} (B) = int _ {X} int _ {B} kappa (dy | x) P_ {X} (dx) = int _ {X} kappa (B | x ) P_ {X} (dx) = mathbb {E} _ {P_ {X}} kappa (B | cdot)}$

Vlastnosti

Semidirect produkt

Nechat ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, P)}$ být prostorem pravděpodobnosti a ${ displaystyle kappa}$ markovské jádro z ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$ některým ${ displaystyle (Y, { mathcal {B}})}$. Pak existuje jedinečné opatření ${ displaystyle Q}$ na ${ displaystyle (X krát Y, { mathcal {A}} otimes { mathcal {B}})}$takové, že:

${ displaystyle Q (A krát B) = int _ {A} kappa (B | x) , P (dx), quad forall A in { mathcal {A}}, quad forall B v { mathcal {B}}.}$

Pravidelné podmíněné rozdělení

Nechat ${ displaystyle (S, Y)}$ být Borelův prostor, ${ displaystyle X}$ A ${ displaystyle (S, Y)}$-hodnota náhodná proměnná na měrném prostoru ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, P)}$ a ${ displaystyle { mathcal {G}} subseteq { mathcal {F}}}$ dílčí${ displaystyle sigma}$-algebra. Pak existuje Markovovo jádro ${ displaystyle kappa}$ z ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {G}})}$ na ${ displaystyle (S, Y)}$, takový, že ${ displaystyle kappa ( cdot, B)}$ je verze podmíněné očekávání ${ displaystyle mathbb {E} [ mathbf {1} _ { {X v B }} mid { mathcal {G}}]}$ pro každého ${ displaystyle B v Y}$, tj.

${ displaystyle P (X v B mid { mathcal {G}}) = mathbb {E} left [ mathbf {1} _ { {X v B }} mid { mathcal { G}} right] = kappa ( omega, B), qquad P { text {-as}} , , pro všechny B v { mathcal {G}}.}$

Říká se tomu pravidelné podmíněné distribuce ${ displaystyle X}$ daný ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ a není jednoznačně definována.

Zobecnění

Přechodová jádra zobecnit jádra Markov v tom smyslu, že pro všechny ${ displaystyle x v X}$, mapa

${ displaystyle B mapsto kappa (B | x)}$

může být jakýkoli typ (nezáporného) míry, nemusí to být nutně míra pravděpodobnosti.

Reference

• Bauer, Heinz (1996), Teorie pravděpodobnosti, de Gruyter, ISBN  3-11-013935-9

§36. Jádra a poloskupiny jader