Minkowského letadlo - Minkowski plane

V matematice, a Minkowského letadlo (pojmenoval podle Hermann Minkowski ) jeden z Benz letadla (ostatní jsou Möbiovy letadlo a Laguerrovo letadlo ).

Klasické skutečné letadlo Minkowski

klasické Minkowského letadlo: 2D / 3D model

Uplatnění pseudoeuklidský vzdálenost ${displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x '_ {1} -x' _ {2}) ^ {2} - (y '_ {1} -y' _ {2}) ^ {2}}$ ve dvou bodech ${displaystyle P_ {i} = (x '_ {i}, y' _ {i})}$ (místo euklidovské vzdálenosti) dostaneme geometrii hyperboly, protože pseudoeuklidovský kruh ${displaystyle {Pin mathbb {R} ^ {2} | d (P, M) = r}}$ je hyperbola se středem ${displaystyle M}$ .

Transformací souřadnic ${displaystyle x_ {i} = x '_ {i} + y' _ {i}}$ , ${displaystyle y_ {i} = x '_ {i} -y' _ {i}}$ , lze pseudoeuklidovskou vzdálenost přepsat na ${displaystyle d (P_ {1}, P_ {2}) = (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2})}$ . Hyperboly pak mají asymptoty rovnoběžně se souřadnicovými osami bez primeru.

Následující dokončení (viz roviny Möbius a Laguerre) homogenizuje geometrie hyperbolas:

{displaystyle {mathcal {P}}: = (mathbb {R} pohár {infty}) ^ {2} = mathbb {R} ^ {2} pohár ({infty} imes mathbb {R}) pohár (mathbb {R} imes {infty}) cup {(infty, infty)}, infty otin mathbb {R}}

, soubor bodů,

{displaystyle {mathcal {Z}}: = {{(x, y) v mathbb {R} ^ {2} | y = sekera + b} šálek {(infty, infty)} | a, bin mathbb {R}, aeq 0}}

{displaystyle cup {{(x, y) in mathbb {R} ^ {2} | y = {frac {a} {xb}} + c, xeq b} cup {(b, infty), (infty, c) } | a, b, cin mathbb {R}, aeq 0},}

soubor cykly.

The struktura výskytu ${displaystyle ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}, v)}$ se nazývá klasické skutečné Minkowského letadlo.

Sada bodů se skládá z ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , dvě kopie ${displaystyle mathbb {R}}$ a pointa ${displaystyle (infty, infty)}$ .

Libovolný řádek ${displaystyle y = ax + b, aeq 0}$ je dokončen bodem ${displaystyle (infty, infty)}$ , jakákoli hyperbola ${displaystyle y = {frac {a} {x-b}} + c, aeq 0}$ o dva body ${displaystyle (b, infty), (infty, c)}$ (viz obrázek).

Dva body ${displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) eq (x_ {2}, y_ {2})}$ nelze připojit cyklem právě tehdy ${displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ nebo ${displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ .

Definujeme: Dva body ${displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ jsou (+) - paralelní ( ${displaystyle P_ {1} paralelní _ {+} P_ {2}}$ ) pokud ${displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$ a (-) - paralelní ( ${displaystyle P_ {1} paralelní _ {-} P_ {2}}$ ) pokud ${displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ .
Oba tyto vztahy jsou ekvivalenční vztahy na množině bodů.

Dva body ${displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$ jsou nazývány paralelní ( ${displaystyle P_ {1} paralelní P_ {2}}$ ) pokud ${displaystyle P_ {1} paralelní _ {+} P_ {2}}$ nebo ${displaystyle P_ {1} paralelní _ {-} P_ {2}}$ .

Z výše uvedené definice zjistíme:

Lemma:

Pro jakoukoli dvojici neparalelních bodů ${displaystyle A, B}$ je tam přesně jeden bod ${displaystyle C}$ s ${displaystyle Aparallel _ {+} Cparallel _ {-} B}$ .
Pro jakýkoli bod ${displaystyle P}$ a jakýkoli cyklus ${displaystyle z}$ existují přesně dva body ${displaystyle A, Bin z}$ s ${displaystyle Aparallel _ {+} Parallel _ {-} B}$ .
Za jakékoli tři body ${displaystyle A}$ , ${displaystyle B}$ , ${displaystyle C}$ , párově neparalelní, existuje přesně jeden cyklus ${displaystyle z}$ který obsahuje ${displaystyle A, B, C}$ .
Pro jakýkoli cyklus ${displaystyle z}$ , jakýkoli bod ${displaystyle Pin z}$ a jakýkoli bod ${displaystyle Q, Pot paralelní Q}$ a ${displaystyle Qotin z}$ existuje přesně jeden cyklus ${displaystyle z '}$ takhle ${displaystyle zcap z '= {P}}$ , tj. ${displaystyle z}$ dotyky ${displaystyle z '}$ v bodě P.

Stejně jako klasická Möbiova a Laguerrova rovina lze Minkowského roviny popsat jako geometrii rovinných řezů vhodného kvadrika. Ale v tomto případě kvadrik žije projektivní 3-prostor: Klasická skutečná Minkowského rovina je izomorfní s geometrií rovinných úseků a hyperboloid jednoho listu (nedegenerovaný kvadrik indexu 2).

Axiomy Minkowského letadla

Nechat ${displaystyle left ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; parallel _ {+}, parallel _ {-}, in ight)}$ být strukturou dopadu se sadou ${displaystyle {mathcal {P}}}$ bodů, množina ${displaystyle {mathcal {Z}}}$ cyklů a dvou vztahů ekvivalence ${displaystyle parallel _ {+}}$ ((+) - paralelní) a ${displaystyle parallel _ {-}}$ ((- - - paralelní) na place ${displaystyle {mathcal {P}}}$ . Pro ${displaystyle Pin {mathcal {P}}}$ definujeme: ${displaystyle {overline {P}} _ {+}: = left {left.Qin {mathcal {P}} ight | Qparallel _ {+} Pight}}$ a ${displaystyle {overline {P}} _ {-}: = left {left.Qin {mathcal {P}} ight | Qparallel _ {-} Pight}}$ Třída ekvivalence ${displaystyle {overline {P}} _ {+}}$ nebo ${displaystyle {overline {P}} _ {-}}$ je nazýván (+) - generátora (-) - generátor, resp. (Pro vesmírný model klasické Minkowského roviny je generátor přímkou na hyperboloidu.)
Dva body ${displaystyle A, B}$ jsou nazývány paralelní ( ${displaystyle Aparallel B}$ ) pokud ${displaystyle Aparallel _ {+} B}$ nebo ${displaystyle Aparallel _ {-} B}$ .

Struktura dopadu ${displaystyle {mathfrak {M}}: = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ je nazýván Minkowského letadlo pokud platí následující axiomy:

Minkowski-axiomy-C1-C2

Minkowski-axiomy-c3-c4

C1: Pro jakoukoli dvojici neparalelních bodů ${displaystyle A, B}$ je tam přesně jeden bod ${displaystyle C}$ s ${displaystyle Aparallel _ {+} Cparallel _ {-} B}$ .
C2: Pro jakýkoli bod ${displaystyle P}$ a jakýkoli cyklus ${displaystyle z}$ existují přesně dva body ${displaystyle A, Bin z}$ s ${displaystyle Aparallel _ {+} Parallel _ {-} B}$ .
C3: Za jakékoli tři body ${displaystyle A, B, C}$ , párově neparalelní, existuje přesně jeden cyklus ${displaystyle z}$ který obsahuje ${displaystyle A, B, C}$ .
C4: Pro jakýkoli cyklus ${displaystyle z}$ , jakýkoli bod ${displaystyle Pin z}$ a jakýkoli bod ${displaystyle Q, Pot paralelní Q}$ a ${displaystyle Qotin z}$ existuje přesně jeden cyklus ${displaystyle z '}$ takhle ${displaystyle zcap z '= {P}}$ , tj. ${displaystyle z}$ dotyky ${displaystyle z '}$ v bodě ${displaystyle P}$ .
C5: Libovolný cyklus obsahuje alespoň 3 body. Existuje alespoň jeden cyklus ${displaystyle z}$ a bod ${displaystyle P}$ ne v ${displaystyle z}$ .

Pro vyšetřování jsou výhodná následující tvrzení o paralelních třídách (ekvivalentní C1, C2).

C1 ': Za jakékoli dva body

{displaystyle A, B}

my máme

{displaystyle left | {overline {A}} _ {+} cap {overline {B}} _ {-} ight | = 1}

.

C2 ': Pro každý bod

{displaystyle P}

a jakýkoli cyklus

{displaystyle z}

my máme:

{displaystyle left | {overline {P}} _ {+} cap zight | = 1 = left | {overline {P}} _ {-} cap zight |}

.

První důsledky axiomů jsou

Lemma: Pro letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ toto je pravda

a) Jakýkoli bod je obsažen alespoň v jednom cyklu.

b) Jakýkoli generátor obsahuje alespoň 3 body.

c) Dva body mohou být spojeny cyklem pouze tehdy, pokud nejsou paralelní.

Analogicky k Möbiově a Laguerrově rovině získáme připojení k lineární geometrii přes zbytky.

Pro letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ a ${displaystyle Pin {mathcal {P}}}$ definujeme místní strukturu

{displaystyle {mathfrak {A}} _ {P}: = ({mathcal {P}} setminus {overline {P}}, {zsetminus {{overline {P}}} | Pin zin {mathcal {Z}}} pohár {Esetminus {overline {P}} | Ein {mathcal {E}} setminus {{overline {P}} _ {+}, {overline {P}} _ {-}}}, v)}

a nazvat to zbytek v bodě P.

Pro klasické letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {A}} _ {(infty, infty)}}$ je skutečná afinní rovina ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .

Okamžitým důsledkem axiomů C1 až C4 a C1 ', C2' jsou následující dvě věty.

Teorém: Pro letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní, v)}$ jakýkoli zbytek je afinní rovina.

Teorém:Nech být ${displaystyle {mathfrak {M}} = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ struktura výskytu se dvěma ekvivalenčními vztahy ${displaystyle parallel _ {+}}$ a ${displaystyle parallel _ {-}}$ na scéně ${displaystyle {mathcal {P}}}$ bodů (viz výše).

{displaystyle {mathfrak {M}}}

je Minkowského letadlo právě tehdy, když pro jakýkoli bod

{displaystyle P}

zbytek

{displaystyle {mathfrak {A}} _ {P}}

je afinní letadlo.

Minimální model

Minkowského letadlo: minimální model

The minimální model Minkowského letadla lze sestavit přes sadu ${displaystyle {overline {K}}: = {0,1, infty}}$ ze tří prvků:

${displaystyle {mathcal {P}}: = {overline {K}} ^ {2} qquad}$

${displaystyle {mathcal {Z}}: = {{(a_ {1}, b_ {1}), (a_ {2}, b_ {2}), (a_ {3}, b_ {3})} |}$

${displaystyle | {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}} = {b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}} = {overline {K}}} =}$

${displaystyle {{(0,0), (1,1), (infty, infty)},}$ ${displaystyle {(0,0), (1, infty), (infty, 1)},}$ ${displaystyle {(0,1), (1,0), (infty, infty)},}$ ${displaystyle {(0,1), (1, infty), (infty, 0)},}$ ${displaystyle {(0, infty), (1,1), (infty, 0)},}$ ${displaystyle {(0, infty), (1,0), (infty, 1)}}}$

Paralelní body:

${displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) paralelní _ {+} (x_ {2}, y_ {2})}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$

${displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) paralelní _ {-} (x_ {2}, y_ {2})}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle y_ {1} = y_ {2}}$ .

Proto: ${displaystyle left | {mathcal {P}} vpravo | = 9}$ a ${displaystyle left | {mathcal {Z}} vpravo | = 6}$ .

Konečná letadla Minkowski

Pro konečné Minkowského roviny dostaneme z C1 ′, C2 ′:

Lemma:Nech být ${displaystyle {mathfrak {M}} = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ konečné Minkowského letadlo, tj. ${displaystyle left | {mathcal {P}} vpravo |$ . Pro jakýkoli pár cyklů ${displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ a jakýkoli pár generátorů ${displaystyle e_ {1}, e_ {2}}$ my máme: ${displaystyle left | z_ {1} ight | = left | z_ {2} ight | = left | e_ {1} ight | = left | e_ {2} ight |}$ .

To vede k definice:
Pro konečné letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ a cyklus ${displaystyle z}$ z ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ nazýváme celé číslo ${displaystyle n = left | zight | -1}$ the objednat z ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ .

Výnos jednoduchých kombinatorických úvah

Lemma: Pro konečné letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ platí to:

a) Jakýkoli zbytek (afinní rovina) má řád

{displaystyle n}

.

b)

{displaystyle left | {mathcal {P}} vpravo | = (n + 1) ^ {2}}

,

C)

{displaystyle left | {mathcal {Z}} vpravo | = (n + 1) n (n-1)}

.

Letadla Miquelian Minkowski

Nejdůležitější příklady Minkowského letadel získáme zobecněním klasického reálného modelu: Stačí nahradit ${displaystyle mathbb {R}}$ svévolně pole ${displaystyle K}$ pak dostaneme v každém případě letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} (K) = ({mathcal {P}}, {mathcal {Z}}; paralelní _ {+}, paralelní _ {-}, v)}$ .

Analogicky k Möbiově a Laguerrově rovině je Miquelova věta charakteristickou vlastností Minkowského roviny ${displaystyle {mathfrak {M}} (K)}$ .

Věta o Miquelovi

Věta (Miquel): Pro letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} (K)}$ platí to:

Pokud pro libovolných 8 párových ne paralelních bodů

{displaystyle P_ {1}, ..., P_ {8}}

které lze přiřadit k vrcholům krychle tak, že body na 5 tvářích odpovídají koncyklickým čtyřnásobkům, než je šestý čtyřnásobek bodů také koncyklický.

(Pro lepší přehled na obrázku jsou namísto hyperboly nakreslené kruhy.)

Věta (Chen): Pouze letadlo Minkowski ${displaystyle {mathfrak {M}} (K)}$ splňuje teorém Miquel.

Kvůli poslední větě ${displaystyle {mathfrak {M}} (K)}$ se nazývá a letadlo Miquelian Minkowski.

Poznámka: The minimální model Minkowského letadla je zázračný.

Je izomorfní s Minkowského rovinou

{displaystyle {mathfrak {M}} (K)}

s

{displaystyle K = operatorname {GF} (2)}

(pole

{displaystyle {0,1}}

).

Úžasný výsledek je

Věta (Heise): Jakékoli letadlo Minkowski z dokonce řád je zázračný.

Poznámka: Vhodný stereografická projekce ukazuje: ${displaystyle {mathfrak {M}} (K)}$ is isomorphicto the geometry of the plane sections on a hyperboloid of one sheet (kvadrický indexu 2) v projektivním 3prostoru nad polem ${displaystyle K}$ .

Poznámka: Existuje spousta letadel Minkowski není miquelian (s. webový odkaz níže). Neexistují však žádná „vejčitá Minkowski“ letadla, na rozdíl od Möbiovy a Laguerrovy. Protože jakýkoli kvadratická množina indexu 2 v projektivním 3prostoru je kvadric (viz kvadratická množina ).

Viz také

Konformní geometrie

Reference

W. Benz, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
F. Buekenhout (ed.), Příručka Geometrie dopadu, Elsevier (1995) ISBN 0-444-88355-X