V matematice, a Minkowského letadlo (pojmenoval podle Hermann Minkowski ) jeden z Benz letadla (ostatní jsou Möbiovy letadlo a Laguerrovo letadlo ).
Klasické skutečné letadlo Minkowski
klasické Minkowského letadlo: 2D / 3D model
Uplatnění pseudoeuklidský vzdálenost
ve dvou bodech
(místo euklidovské vzdálenosti) dostaneme geometrii hyperboly, protože pseudoeuklidovský kruh
je hyperbola se středem
.
Transformací souřadnic
,
, lze pseudoeuklidovskou vzdálenost přepsat na
. Hyperboly pak mají asymptoty rovnoběžně se souřadnicovými osami bez primeru.
Následující dokončení (viz roviny Möbius a Laguerre) homogenizuje geometrie hyperbolas:
, soubor bodů,
soubor cykly.
The struktura výskytu
se nazývá klasické skutečné Minkowského letadlo.
Sada bodů se skládá z
, dvě kopie
a pointa
.
Libovolný řádek
je dokončen bodem
, jakákoli hyperbola
o dva body
(viz obrázek).
Dva body
nelze připojit cyklem právě tehdy
nebo
.
Definujeme: Dva body
jsou (+) - paralelní (
) pokud
a (-) - paralelní (
) pokud
.
Oba tyto vztahy jsou ekvivalenční vztahy na množině bodů.
Dva body
jsou nazývány paralelní (
) pokud
nebo
.
Z výše uvedené definice zjistíme:
Lemma:
- Pro jakoukoli dvojici neparalelních bodů
je tam přesně jeden bod
s
. - Pro jakýkoli bod
a jakýkoli cyklus
existují přesně dva body
s
. - Za jakékoli tři body
,
,
, párově neparalelní, existuje přesně jeden cyklus
který obsahuje
. - Pro jakýkoli cyklus
, jakýkoli bod
a jakýkoli bod
a
existuje přesně jeden cyklus
takhle
, tj.
dotyky
v bodě P.
Stejně jako klasická Möbiova a Laguerrova rovina lze Minkowského roviny popsat jako geometrii rovinných řezů vhodného kvadrika. Ale v tomto případě kvadrik žije projektivní 3-prostor: Klasická skutečná Minkowského rovina je izomorfní s geometrií rovinných úseků a hyperboloid jednoho listu (nedegenerovaný kvadrik indexu 2).
Axiomy Minkowského letadla
Nechat
být strukturou dopadu se sadou
bodů, množina
cyklů a dvou vztahů ekvivalence
((+) - paralelní) a
((- - - paralelní) na place
. Pro
definujeme:
a
Třída ekvivalence
nebo
je nazýván (+) - generátora (-) - generátor, resp. (Pro vesmírný model klasické Minkowského roviny je generátor přímkou na hyperboloidu.)
Dva body
jsou nazývány paralelní (
) pokud
nebo
.
Struktura dopadu
je nazýván Minkowského letadlo pokud platí následující axiomy:
Minkowski-axiomy-C1-C2
Minkowski-axiomy-c3-c4
- C1: Pro jakoukoli dvojici neparalelních bodů
je tam přesně jeden bod
s
. - C2: Pro jakýkoli bod
a jakýkoli cyklus
existují přesně dva body
s
. - C3: Za jakékoli tři body
, párově neparalelní, existuje přesně jeden cyklus
který obsahuje
. - C4: Pro jakýkoli cyklus
, jakýkoli bod
a jakýkoli bod
a
existuje přesně jeden cyklus
takhle
, tj.
dotyky
v bodě
. - C5: Libovolný cyklus obsahuje alespoň 3 body. Existuje alespoň jeden cyklus
a bod
ne v
.
Pro vyšetřování jsou výhodná následující tvrzení o paralelních třídách (ekvivalentní C1, C2).
- C1 ': Za jakékoli dva body
my máme
. - C2 ': Pro každý bod
a jakýkoli cyklus
my máme:
.
První důsledky axiomů jsou
Lemma: Pro letadlo Minkowski
toto je pravda
- a) Jakýkoli bod je obsažen alespoň v jednom cyklu.
- b) Jakýkoli generátor obsahuje alespoň 3 body.
- c) Dva body mohou být spojeny cyklem pouze tehdy, pokud nejsou paralelní.
Analogicky k Möbiově a Laguerrově rovině získáme připojení k lineární geometrii přes zbytky.
Pro letadlo Minkowski
a
definujeme místní strukturu

a nazvat to zbytek v bodě P.
Pro klasické letadlo Minkowski
je skutečná afinní rovina
.
Okamžitým důsledkem axiomů C1 až C4 a C1 ', C2' jsou následující dvě věty.
Teorém: Pro letadlo Minkowski
jakýkoli zbytek je afinní rovina.
Teorém:Nech být
struktura výskytu se dvěma ekvivalenčními vztahy
a
na scéně
bodů (viz výše).
je Minkowského letadlo právě tehdy, když pro jakýkoli bod
zbytek
je afinní letadlo.
Minimální model
Minkowského letadlo: minimální model
The minimální model Minkowského letadla lze sestavit přes sadu
ze tří prvků:




Paralelní body:
kdyby a jen kdyby 
kdyby a jen kdyby
.
Proto:
a
.
Konečná letadla Minkowski
Pro konečné Minkowského roviny dostaneme z C1 ′, C2 ′:
Lemma:Nech být
konečné Minkowského letadlo, tj.
. Pro jakýkoli pár cyklů
a jakýkoli pár generátorů
my máme:
.
To vede k definice:
Pro konečné letadlo Minkowski
a cyklus
z
nazýváme celé číslo
the objednat z
.
Výnos jednoduchých kombinatorických úvah
Lemma: Pro konečné letadlo Minkowski
platí to:
- a) Jakýkoli zbytek (afinní rovina) má řád
. - b)
, - C)
.
Letadla Miquelian Minkowski
Nejdůležitější příklady Minkowského letadel získáme zobecněním klasického reálného modelu: Stačí nahradit
svévolně pole
pak dostaneme v každém případě letadlo Minkowski
.
Analogicky k Möbiově a Laguerrově rovině je Miquelova věta charakteristickou vlastností Minkowského roviny
.
Věta o Miquelovi
Věta (Miquel): Pro letadlo Minkowski
platí to:
- Pokud pro libovolných 8 párových ne paralelních bodů
které lze přiřadit k vrcholům krychle tak, že body na 5 tvářích odpovídají koncyklickým čtyřnásobkům, než je šestý čtyřnásobek bodů také koncyklický.
(Pro lepší přehled na obrázku jsou namísto hyperboly nakreslené kruhy.)
Věta (Chen): Pouze letadlo Minkowski
splňuje teorém Miquel.
Kvůli poslední větě
se nazývá a letadlo Miquelian Minkowski.
Poznámka: The minimální model Minkowského letadla je zázračný.
- Je izomorfní s Minkowského rovinou
s
(pole
).
Úžasný výsledek je
Věta (Heise): Jakékoli letadlo Minkowski z dokonce řád je zázračný.
Poznámka: Vhodný stereografická projekce ukazuje:
is isomorphicto the geometry of the plane sections on a hyperboloid of one sheet (kvadrický indexu 2) v projektivním 3prostoru nad polem
.
Poznámka: Existuje spousta letadel Minkowski není miquelian (s. webový odkaz níže). Neexistují však žádná „vejčitá Minkowski“ letadla, na rozdíl od Möbiovy a Laguerrovy. Protože jakýkoli kvadratická množina indexu 2 v projektivním 3prostoru je kvadric (viz kvadratická množina ).
Viz také
Reference
externí odkazy