Nevanlinna – Pickova interpolace - Nevanlinna–Pick interpolation - Wikipedia

v komplexní analýza, vzhledem k tomu počáteční data skládající se z ${ displaystyle n}$ bodů ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}}$ na disku komplexní jednotky ${ displaystyle mathbb {D}}$ a cílová data skládající se z ${ displaystyle n}$ bodů ${ displaystyle z_ {1}, ldots, z_ {n}}$ v ${ displaystyle mathbb {D}}$ , Nevanlinna – Vyberte problém s interpolací je najít a holomorfní funkce ${ displaystyle varphi}$ že interpoluje data, to je pro všechny ${ displaystyle i}$ ,

{ displaystyle varphi ( lambda _ {i}) = z_ {i}}

,

s výhradou omezení ${ Displaystyle left vert varphi ( lambda) right vert leq 1}$ pro všechny ${ displaystyle lambda v mathbb {D}}$ .

Georg Pick a Rolf Nevanlinna vyřešil problém samostatně v letech 1916 a 1919, což ukazuje, že interpolační funkce existuje právě tehdy, když je matice definovaná z hlediska počátečních a cílových dat pozitivní semi-definitivní.

Pozadí

Věta Nevanlinna – Pick představuje ${ displaystyle n}$ - bodové zobecnění Schwarzovo lema. The invariantní forma Schwarzova lematu uvádí, že pro holomorfní funkci ${ displaystyle f: mathbb {D} do mathbb {D}}$ , pro všechny ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2} in mathbb {D}}$ ,

{ displaystyle left | { frac {f ( lambda _ {1}) - f ( lambda _ {2})} {1 - { overline {f ( lambda _ {2})}} f ( lambda _ {1})}} right | leq left | { frac { lambda _ {1} - lambda _ {2}} {1 - { overline { lambda _ {2}}} lambda _ {1}}} vpravo |.}

Nastavení ${ displaystyle f ( lambda _ {i}) = z_ {i}}$ , tato nerovnost je ekvivalentní tvrzení, že matice dané

{ displaystyle { begin {bmatrix} { frac {1- | z_ {1} | ^ {2}} {1- | lambda _ {1} | ^ {2}}} & { frac {1- { overline {z_ {1}}} z_ {2}} {1 - { overline { lambda _ {1}}} lambda _ {2}}} [5pt] { frac {1- { overline {z_ {2}}} z_ {1}} {1 - { overline { lambda _ {2}}} lambda _ {1}}} & { frac {1- | z_ {2} | ^ {2}} {1- | lambda _ {2} | ^ {2}}} end {bmatrix}} geq 0,}

toto je Vyberte matici je pozitivní semidefinitní.

V kombinaci se Schwarzovým lematem to vede k pozorování, které pro ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, z_ {1}, z_ {2} in mathbb {D}}$ , existuje holomorfní funkce ${ displaystyle varphi: mathbb {D} do mathbb {D}}$ takhle ${ displaystyle varphi ( lambda _ {1}) = z_ {1}}$ a ${ displaystyle varphi ( lambda _ {2}) = z_ {2}}$ tehdy a jen tehdy, když Pick matice

{ displaystyle left ({ frac {1 - { overline {z_ {j}}} z_ {i}} {1 - { overline { lambda _ {j}}} lambda _ {i}}} right) _ {i, j = 1,2} geq 0.}

Věta Nevanlinna – Pick

Věta Nevanlinna – Pick uvádí následující. Dáno ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n}, z_ {1}, ldots, z_ {n} in mathbb {D}}$ , existuje holomorfní funkce ${ displaystyle varphi: mathbb {D} na { overline { mathbb {D}}}}$ takhle ${ displaystyle varphi ( lambda _ {i}) = z_ {i}}$ tehdy a jen tehdy, když Pick matice

{ displaystyle left ({ frac {1 - { overline {z_ {j}}} z_ {i}} {1 - { overline { lambda _ {j}}} lambda _ {i}}} right) _ {i, j = 1} ^ {n}}

je kladný semi-definitivní. Dále funkce ${ displaystyle varphi}$ je jedinečný právě tehdy, má-li matice Pick nulu určující. V tomto případě, ${ displaystyle varphi}$ je Produkt Blaschke, se stupněm rovným hodnosti Pickovy matice (s výjimkou triviálního případu, kde je ${ displaystyle z_ {i}}$ jsou stejné).

Zobecnění

Zobecnění věty Nevanlinna – Pick se stalo oblastí aktivního výzkumu v teorie operátorů po práci Donald Sarason na Sarasonova interpolační věta.^[1] Sarason dal nový důkaz o použití věty Nevanlinna – Pick Hilbertův prostor metody z hlediska kontrakce operátora. Další přístupy byly vyvinuty v práci L. de Branges, a B. Sz.-Nagy a C. Foias.

Je možné ukázat, že Hardy prostor H² je reprodukce jádra Hilbertova prostoru a že jeho reprodukční jádro (známé jako Szegő jádro) je

{ displaystyle K (a, b) = left (1-b { bar {a}} right) ^ {- 1}. ,}

Z tohoto důvodu lze Pick matici přepsat jako

{ displaystyle left ((1-z_ {i} { overline {z_ {j}}}) K ( lambda _ {j}, lambda _ {i}) right) _ {i, j = 1 } ^ {N}. ,}

Tento popis řešení motivoval různé pokusy zobecnit výsledek Nevanlinny a Picka.

Problém Nevanlinna – Pick lze zobecnit na problém nalezení holomorfní funkce ${ displaystyle f: R to mathbb {D}}$ že interpoluje danou sadu dat, kde R je nyní libovolná oblast komplexní roviny.

M. B. Abrahamse ukázal, že pokud hranice R se skládá z konečně mnoha analytických křivek (řekněme n + 1), pak interpolační funkce F existuje právě tehdy

{ displaystyle left ((1-z_ {i} { overline {z_ {j}}}) K _ { tau} ( lambda _ {j}, lambda _ {i}) right) _ {i , j = 1} ^ {N} ,}

je pozitivní semi-definitivní matice pro všechny ${ displaystyle tau}$ v n-torus. Tady je ${ displaystyle K _ { tau}}$ s jsou reprodukční jádra odpovídající konkrétní sadě reprodukčních jader Hilbertových prostorů, které souvisejí se sadou R. To lze také ukázat F je jedinečný právě tehdy, když jedna z Pick matic má nulový determinant.

Poznámky

Pickův původní důkaz se týká funkcí s pozitivní skutečnou částí. Pod lineárním zlomkem Cayleyova transformace, jeho výsledek platí na mapách z disku na disk.

Byla zavedena interpolace Pick-Nevanlinna robustní ovládání podle Allen Tannenbaum.

Reference

^ Sarason, Donald (1967). "Zobecněná interpolace v ${ displaystyle H ^ { infty}}$ ". Trans. Amer. Matematika. Soc. 127: 179–203. doi:10.1090 / s0002-9947-1967-0208383-8.

Agler, Jim; John E. McCarthy (2002). Vyberte si interpolaci a Hilbertovy funkční prostory. Postgraduální studium matematiky. AMS. ISBN 0-8218-2898-3.
Abrahamse, M. B. (1979). „The Pickova interpolační věta pro konečně spojené domény“. Michigan Math. J. 26 (2): 195–203. doi:10,1307 / mmj / 1029002212.
Tannenbaum, Allen (1980). "Stabilizace zpětné vazby lineárních dynamických rostlin s nejistotou v faktoru zisku". Int. J. Control. 32 (1): 1–16. doi:10.1080/00207178008922838.

[1] Sarason, Donald (1967). "Zobecněná interpolace v ${ displaystyle H ^ { infty}}$ ". Trans. Amer. Matematika. Soc. 127: 179–203. doi:10.1090 / s0002-9947-1967-0208383-8.

[1]