Sousedství (teorie grafů) - Neighbourhood (graph theory) - Wikipedia

Graf skládající se ze 6 vrcholů a 7 hran

Další významy sousedství v matematice viz Sousedství (matematika). Nematematická sousedství viz Sousedství (disambiguation).

v teorie grafů, an sousední vrchol a vrchol proti v graf je vrchol, ke kterému je připojen proti podle okraj. The sousedství vrcholu proti v grafu G je podgrafem G indukovaný všemi vrcholy sousedícími s proti, tj. graf složený z vrcholů sousedících s proti a všechny hrany spojující vrcholy sousedící s proti. Například na obrázku vpravo sousedství vrcholu 5 sestává z vrcholů 1, 2 a 4 a hrany spojující vrcholy 1 a 2.

Sousedství je často označováno N_G(proti) nebo (když je graf jednoznačný)N(proti). Stejná notace sousedství může být také použita k označení množin sousedních vrcholů spíše než odpovídajících indukovaných podgrafů. Sousedství popsané výše nezahrnuje proti sám o sobě, a je to konkrétněji otevřené sousedství z proti; je také možné definovat sousedství, ve kterém proti sama o sobě je zahrnuta, nazývá se uzavřené okolí a označeno N_G[proti]. Pokud je uvedeno bez jakékoli kvalifikace, předpokládá se, že sousedství je otevřené.

Sousedství lze použít k reprezentaci grafů v počítačových algoritmech prostřednictvím seznam sousedství a matice sousedství reprezentace. Sousedství se také používají v shlukovací koeficient grafu, což je míra průměru hustota jejích čtvrtí. Mnoho důležitých tříd grafů může být navíc definováno vlastnostmi jejich čtvrtí nebo symetriemi, které navzájem sousedí.

An izolovaný vrchol nemá žádné sousední vrcholy. The stupeň vrcholu se rovná počtu sousedních vrcholů. Zvláštní případ je a smyčka který spojuje vrchol sám se sebou; pokud taková hrana existuje, vrchol patří do jejího vlastního sousedství.

Místní vlastnosti v grafech

V osmistěn graf, sousedství jakéhokoli vrcholu je 4-cyklus.

Pokud jsou všechny vrcholy v G mít sousedství, která jsou izomorfní do stejného grafu H, G se říká, že je místně H, a pokud jsou všechny vrcholy v G mít sousedství, která patří do nějaké rodiny grafů F, G se říká, že je místně F (Peklo 1978, Sedláček 1983 ). Například v osmistěn graf, zobrazené na obrázku, má každý vrchol isomorfní sousedství s a cyklus čtyř vrcholů, takže osmistěn je lokálněC₄.

Například:

Žádný kompletní graf K._n je lokálně K._n-1. Jediné lokálně úplné grafy jsou disjunktní sjednocení úplných grafů.
A Turánův graf T(rs,r) je místně T((r-1)s,r-1). Obecněji jakýkoli Turánův graf je místně Turán.
Každý rovinný graf je lokálně vnější rovinný. Ne každý lokálně vnější rovinný graf je však rovinný.
Graf je bez trojúhelníků právě když je to lokálně nezávislý.
Každý k-chromatický graf je lokálně (k-1) -chromatické. Každý lokálně k-chromatický graf má chromatické číslo ${ displaystyle O ({ sqrt {kn}})}$ (Wigderson 1983 ).
Pokud rodina grafů F je uzavřen v důsledku odběru indukovaných podgrafů, pak každý graf v F je také lokálně F. Například každý chordální graf je místně chordální; každý perfektní graf je místně perfektní; každý srovnávací graf je místně srovnatelný.
Graf je místně cyklický, pokud je každá čtvrť a cyklus. Například osmistěn je jedinečný lokálně připojený C₄ graf, dvacetistěnu je jedinečný lokálně připojený C₅ graf a Paleyův graf objednávky 13 je lokálně C₆. Lokálně cyklické grafy jiné než K.₄ jsou přesně podkladové grafy Whitneyho triangulace, vkládání grafů na povrchy takovým způsobem, že plochy vložení jsou klikami grafu (Hartsfeld & Ringel 1991; Larrión, Neumann-Lara & Pizaña 2002; Malnič & Mohar 1992 ). Lokálně cyklické grafy mohou mít až tolik ${ displaystyle n ^ {2-o (1)}}$ hrany (Seress & Szabó 1995 ).
Grafy bez drápů jsou grafy, které jsou lokálněbez trojúhelníků; to znamená pro všechny vrcholy doplňkový graf okolí vrcholu neobsahuje trojúhelník. Graf, který je lokálně H je bez drápů právě tehdy, když číslo nezávislosti z H je maximálně dva; například graf pravidelného dvacetistěnu je bez drápů, protože je lokálně C₅ a C₅ má nezávislost číslo dvě.
The lokálně lineární grafy jsou grafy, ve kterých je každá čtvrť indukované shody (Fronček 1989 ).

Sousedství sady

Pro sadu A vrcholů, sousedství A je sjednocení sousedství vrcholů, a tak je to množina všech vrcholů sousedících s alespoň jedním členemA.

Sada A vrcholy v grafu se říká, že je modul, pokud každý vrchol v A má stejnou skupinu sousedů mimo EU A. Jakýkoli graf má jedinečně rekurzivní rozklad na moduly modulární rozklad, které lze zkonstruovat z grafu v lineární čas; modulární algoritmy rozkladu mají aplikace v jiných grafových algoritmech včetně rozpoznávání srovnatelné grafy.

Viz také

Markovská deka
Moore sousedství
Sousedství Von Neumann
Druhý problém sousedství
Vrcholová postava, související koncept v polyedrická geometrie

Reference

Fronček, Dalibor (1989), „Lokálně lineární grafy“, Mathematica Slovaca, 39 (1): 3–6, hdl:10338.dmlcz / 136481, PAN 1016323
Hartsfeld, Nora; Ringel, Gerhard (1991), „Čisté triangulace“, Combinatorica, 11 (2): 145–155, doi:10.1007 / BF01206358.
Sakra, Pavol (1978), „Grafy s danými sousedstvími I“, Kombinované problémy a grafy, Colloques internationaux C.N.R.S., 260, str. 219–223.
Larrión, F .; Neumann-Lara, V.; Pizaña, M. A. (2002), „Whitneyho triangulace, místní obvod a iterované klikové grafy“, Diskrétní matematika, 258 (1–3): 123–135, doi:10.1016 / S0012-365X (02) 00266-2.
Malnič, Aleksander; Mohar, Bojan (1992), „Generování lokálně cyklických triangulací povrchů“, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 56 (2): 147–164, doi:10.1016 / 0095-8956 (92) 90015-P.
Sedláček, J. (1983), "O místních vlastnostech konečných grafů", Teorie grafů, LagówPřednášky z matematiky, 1018, Springer-Verlag, str. 242–247, doi:10.1007 / BFb0071634, ISBN 978-3-540-12687-4.
Seress, Ákos; Szabó, Tibor (1995), "Husté grafy se sousedními cykly", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 63 (2): 281–293, doi:10.1006 / jctb.1995.1020, archivovány z originál dne 30. 8. 2005.
Wigderson, Avi (1983), „Zlepšení záruky výkonu pro přibližné vybarvení grafu“, Deník ACM, 30 (4): 729–735, doi:10.1145/2157.2158.