Multirezoluční analýza - Multiresolution analysis
A multirezoluční analýza (MRA) nebo víceúrovňová aproximace (MSA) je metoda návrhu většiny z prakticky relevantních diskrétní vlnkové transformace (DWT) a odůvodnění pro algoritmus z rychlá vlnková transformace (FWT). V této souvislosti byl zaveden v letech 1988/89 autorem Stephane Mallat a Yves Meyer a má předchůdce v mikrolokální analýza v teorii diferenciální rovnice (dále jen metoda žehlení) a pyramidové metody z zpracování obrazu jak představili v letech 1981/83 Peter J. Burt, Edward H. Adelson a James L. Crowley.
Definice
Multirezoluční analýza Lebesgueův prostor sestává z a sekvence vnořených podprostory
to uspokojuje jisté sebepodobnost vztahy v časoprostoru a měřítku frekvence, jakož i úplnost a vztahy pravidelnosti.
- Self-podobnost v čas požaduje, aby každý podprostor PROTIk je invariantní při posunu o celé číslo násobky z 2k. To znamená pro každého funkce G definováno jako také obsažené v .
- Self-podobnost v měřítko vyžaduje, aby všechny podprostory jsou navzájem časově odstupňované verze s škálování resp dilatace faktor 2k-l. Tj. Pro každého tady je s .
- V posloupnosti podprostorů pro k>l prostorové rozlišení 2l z l-tý podprostor je vyšší než rozlišení 2k z k-tý podprostor.
- Pravidelnost požaduje, aby model podprostor PROTI0 být generován jako lineární trup (algebraicky nebo dokonce topologicky uzavřeno ) celočíselných posunů jedné nebo konečného počtu generujících funkcí nebo . Tyto celočíselné posuny by měly alespoň tvořit rámec pro podprostor , která ukládá určité podmínky pro rozpad při nekonečno. Generující funkce jsou také známé jako funkce škálování nebo vlnky otce. Ve většině případů je potřeba těchto funkcí být po částech spojité s kompaktní podpora.
- Úplnost požaduje, aby tyto vnořené podprostory vyplňovaly celý prostor, tj. jejich spojení by mělo být hustý v , a že nejsou příliš nadbyteční, tj. jejich průsečík by měl obsahovat pouze nulový prvek.
Důležité závěry
V případě jedné spojité (nebo alespoň s omezenou variací) kompaktně podporované škálovací funkce s ortogonálními posuny lze provést řadu dedukcí. Důkaz o existenci této třídy funkcí je způsoben Ingrid Daubechies.
Předpokládejme tedy, že funkce změny měřítka má kompaktní podporu znamená, že existuje konečná posloupnost koeficientů pro , a pro , takový, že
Definování další funkce, známé jako matka wavelet nebo prostě vlnka
lze ukázat, že prostor , který je definován jako (uzavřený) lineární trup celočíselných posunů mateřské wavelety, je ortogonální doplněk k uvnitř .[1] Nebo řečeno jinak, je ortogonální součet (označeno ) z a . Podle podobnosti existují škálované verze z a úplně jeden má[Citace je zapotřebí ]
tedy souprava
je spočítatelná úplnost ortonormální vlnka základ v .
Viz také
Reference
- ^ Mallat, S.G. „Vlnková prohlídka zpracování signálu“. www.di.ens.fr. Citováno 2019-12-30.
- Chui, Charles K. (1992). Úvod do vlnky. San Diego: Academic Press. ISBN 0-585-47090-1.
- Akansu, A.N.; Haddad, R.A. (1992). Rozklad signálu ve více rozlišeních: transformace, dílčí pásma a vlnky. Akademický tisk. ISBN 978-0-12-047141-6.
- Crowley, J. L., (1982). Prohlášení za vizuální informace, Disertační práce, Carnegie-Mellon University, 1982.
- Burrus, C.S.; Gopinath, R.A .; Guo, H. (1997). Úvod do waveletů a vlnkových transformací: Primer. Prentice-Hall. ISBN 0-13-489600-9.
- Mallat, S.G. (1999). Waveletová prohlídka zpracování signálu. Akademický tisk. ISBN 0-12-466606-X.