Minkowskis je první nerovnost pro konvexní těla - Minkowskis first inequality for convex bodies - Wikipedia

v matematika, Minkowského první nerovnost pro konvexní těla je geometrický výsledek kvůli Němec matematik Hermann Minkowski. Nerovnost úzce souvisí s Brunn – Minkowského nerovnost a izoperimetrická nerovnost.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat K. a L být dva n-dimenzionální konvexní těla v n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ. Definujte množství PROTI₁(K., L) od

${ displaystyle nV_ {1} (K, L) = lim _ { varepsilon downarrow 0} { frac {V (K + varepsilon L) -V (K)} { varepsilon}},}$

kde PROTI označuje n-dimenzionální Lebesgueovo opatření a + označuje Minkowského součet. Pak

${ displaystyle V_ {1} (K, L) geq V (K) ^ {(n-1) / n} V (L) ^ {1 / n},}$

s rovností kdyby a jen kdyby K. a L jsou homotetický, tj. jsou rovny až překlad a dilatace.

Poznámky

• PROTI₁ je jen jedním příkladem třídy veličin známých jako smíšené objemy.
• Li L je n-dimenzionální jednotková koule B, pak n PROTI₁(K., B) je (n - 1) - rozměrová povrchová míra K., označeno S(K.).

Napojení na jiné nerovnosti

Brunn – Minkowského nerovnost

Lze ukázat, že Brunn – Minkowského nerovnost pro konvexní tělesa v Rⁿ implikuje Minkowského první nerovnost pro konvexní těla v Rⁿ, a že rovnost v Brunn – Minkowského nerovnosti znamená rovnost v první Minkowského nerovnosti.

Izoperimetrická nerovnost

Tím, že L = B, n-dimenzionální jednotková koule, v Minkowského první nerovnosti pro konvexní tělesa se získá izoperimetrická nerovnost pro konvexní tělesa v Rⁿ: pokud K. je konvexní tělo v Rⁿ, pak

${ displaystyle left ({ frac {V (K)} {V (B)}} right) ^ {1 / n} leq left ({ frac {S (K)} {S (B) }} vpravo) ^ {1 / (n-1)},}$

s rovností právě tehdy K. je koule nějakého poloměru.

Reference

• Gardner, Richard J. (2002). „Brunn – Minkowského nerovnost“. Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (elektronické). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.