Littlewoods tři principy skutečné analýzy - Littlewoods three principles of real analysis - Wikipedia

Littlewoodovy tři principy skutečná analýza jsou heuristika z J. E. Littlewood pomáhat učit základní věci teorie míry v matematická analýza.

Principy

Littlewood uvedl principy ve svém 1944 Přednášky o teorii funkcí[1]tak jako:

Existují tři principy, zhruba vyjádřitelné v následujících termínech: Každý (měřitelný ) množina je téměř konečný součet intervalů; každá funkce (třídy Lp) je téměř kontinuální; každý konvergentní sled funkcí je téměř rovnoměrně konvergentní.

První zásada je založena na skutečnosti, že vnitřní míra a vnější míra jsou stejné pro měřitelné množiny, druhá je založena na Lusinova věta a třetí je založen na Egorovova věta.

Příklad

Littlewoodovy tři principy jsou citovány v několika textech skutečné analýzy, například Royden,[2]Bressoud,[3]a Stein & Shakarchi.[4]

Royden[5] dává věta o omezené konvergenci jako aplikace třetí zásady. Věta říká, že pokud rovnoměrně ohraničená posloupnost funkcí konverguje bodově, pak jejich integrály na množině konečné míry konvergují k integrálu limitní funkce. Pokud by konvergence byla jednotná, byl by to triviální výsledek a Littlewoodův třetí princip nám říká, že konvergence je téměř stejná, tj. Jednotná mimo soubor libovolně malé míry. Vzhledem k tomu, že posloupnost je omezená, může být příspěvek k integrálům malé množiny libovolně malý a integrály na zbývající části konvergují, protože funkce jsou tam jednotně konvergentní.

Poznámky

  1. ^ Littlewood, J. E. (1944). Přednášky o teorii funkcí. Oxford University Press. str.26. OCLC  297140.
  2. ^ Royden, H.L. (1988). Skutečná analýza (3. vyd.). New York: Macmillan. str.72. ISBN  978-0-02-404151-7.
  3. ^ Bressoud, David (2008). Radikální přístup k Lebesgueově teorii integrace. Cambridge: Cambridge University Press. str.191. ISBN  978-0-521-88474-7.
  4. ^ Stein, Elias; Rami Shakarchi (2005). Skutečná analýza: Teorie měření, integrace a Hilbertovy prostory (PDF). Princeton: Princeton University Press. str. 33. ISBN  978-0-691-11386-9. Citováno 2008-07-03.
  5. ^ Royden (1988), str. 84