Bendixson – Dulacova věta - Bendixson–Dulac theorem
v matematika, Bendixson – Dulacova věta na dynamické systémy uvádí, že pokud existuje a funkce (nazývá se funkce Dulac) takový, že výraz
Podle věty Dulac má jakýkoli 2D autonomní systém s periodickou oběžnou dráhou oblast uvnitř pozitivní a oblast s negativní divergencí uvnitř takové oběžné dráhy. Zde představuje červená a zelená oblast
má stejné znamení () téměř všude v jednoduše připojeno oblast letadla, pak autonomní systém letadla
nemá nic nekonstantního periodická řešení leží zcela v regionu.[1] „Téměř všude“ znamená všude, kromě možná v sadě opatření 0, například bod nebo přímka.
Věta byla poprvé vytvořena švédským matematikem Ivar Bendixson v roce 1901 a dále vylepšen francouzským matematikem Henri Dulac v roce 1933 pomocí Greenova věta.
Důkaz
Bez ztráty obecnosti nechte existovat funkci takhle
v jednoduše propojeném regionu . Nechat být uzavřenou trajektorií rovinného autonomního systému v . Nechat být interiérem . Pak Greenova věta,
Z důvodu konstantního znaménka musí být levý integrál v předchozím řádku vyhodnocen na kladné číslo. Ale dál , a , takže spodní integrand je ve skutečnosti 0 všude a z toho důvodu se integrál na pravé straně vyhodnotí jako 0. To je rozpor, takže nemůže existovat žádná taková uzavřená trajektorie .
Reference
Henri Dulac (1870-1955) byl francouzský matematik z Fayence
- ^ Burton, Theodore Allen (2005). Volterra integrální a diferenciální rovnice. Elsevier. p. 318. ISBN 9780444517869.