Landensova transformace - Landens transformation - Wikipedia

Landenova transformace je mapování parametrů souboru eliptický integrál, užitečné pro efektivní numerické vyhodnocení eliptických funkcí. Původně to bylo kvůli John Landen a nezávisle znovu objeven Carl Friedrich Gauss.^[1]

Prohlášení

The neúplný eliptický integrál prvního druhu F je

${ displaystyle F ( varphi setminus alpha) = F ( varphi, sin alpha) = int _ {0} ^ { varphi} { frac {d theta} { sqrt {1- ( sin theta sin alpha) ^ {2}}}},}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je modulární úhel. Landenova transformace uvádí, že pokud ${ displaystyle alpha _ {0}}$, ${ displaystyle alpha _ {1}}$, ${ displaystyle varphi _ {0}}$, ${ displaystyle varphi _ {1}}$ jsou takové, že ${ displaystyle (1+ sin alpha _ {1}) (1+ cos alpha _ {0}) = 2}$ a ${ displaystyle tan ( varphi _ {1} - varphi _ {0}) = cos alpha _ {0} tan varphi _ {0}}$, pak^[2]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} F ( varphi _ {0} setminus alpha _ {0}) & = (1+ cos alpha _ {0}) ^ {- 1} F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}) & = { tfrac {1} {2}} (1+ sin alpha _ {1}) F ( varphi _ {1} setminus alpha _ {1}). End {aligned}}}$

Landenova transformace může být podobně vyjádřena jako eliptický modul ${ displaystyle k = sin alpha}$ a jeho doplněk ${ displaystyle k '= cos alfa}$.

Kompletní eliptický integrál

V Gaussově formulaci je hodnota integrálu

${ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta}$

se nezmění, pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou nahrazeny jejich aritmetický a geometrické prostředky respektive, to je

${ displaystyle a_ {1} = { frac {a + b} {2}}, qquad b_ {1} = { sqrt {ab}},}$

${ displaystyle I_ {1} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a_ {1} ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b_ {1} ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta.}$

Proto,

${ displaystyle I = { frac {1} {a}} K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}),}$

${ displaystyle I_ {1} = { frac {2} {a + b}} K ({ frac {a-b} {a + b}}).}$

Z Landenovy transformace usuzujeme

${ displaystyle K ({ frac { sqrt {(a ^ {2} -b ^ {2})}} {a}}) = { frac {2a} {a + b}} K ({ frac {ab} {a + b}})}$

a ${ displaystyle I_ {1} = I}$.

Důkaz

Transformace může být provedena pomocí integrace substitucí. Je vhodné nejprve vložit integrál do algebraický forma nahrazením ${ displaystyle theta = arctan left ({ frac {x} {b}} right)}$, ${ displaystyle d theta = left ({ frac {1} {b}} cos ^ {2} ( theta) right) dx}$ dávat

${ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}}} , dx}$

Další záměna ${ displaystyle x = t + { sqrt {t ^ {2} + ab}}}$ dává požadovaný výsledek

${ displaystyle { begin {aligned} I & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2 } + b ^ {2})}}} , dx & = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} {2 { sqrt { left (t ^ {2 } + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) (t ^ {2} + ab)}}}} dt & = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt { left (t ^ {2} + left ({ frac {a + b} {2}} right) ^ {2} right) left (t ^ {2} + left ({ sqrt {ab}} right) ^ {2} right)}}} , dt end {aligned}}}$

Tento druhý krok je usnadněn napsáním radikálu jako

${ displaystyle { sqrt {(x ^ {2} + a ^ {2}) (x ^ {2} + b ^ {2})}}} = 2x { sqrt {t ^ {2} + vlevo ( { frac {a + b} {2}} vpravo) ^ {2}}}}$

a nekonečně malá jako

${ displaystyle dx = { frac {x} { sqrt {t ^ {2} + ab}}} , dt}$

takže faktor ${ displaystyle x}$ je rozpoznán a zrušen mezi těmito dvěma faktory.

Aritmeticko-geometrický průměr a Legendrův první integrál

Pokud je transformace iterována několikrát, pak parametry ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ konvergují velmi rychle na společnou hodnotu, i když jsou zpočátku různých řádů. Mezní hodnota se nazývá aritmeticko-geometrický průměr z ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle operatorname {AGM} (a, b)}$. V limitu se integrand stává konstantou, takže integrace je triviální

${ displaystyle I = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} ( theta) + b ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}} , d theta = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { operatorname {AGM} (a, b)}} , d theta = { frac { pi} {2 , operatorname {AGM} (a, b)}}}$

Integrál lze také rozpoznat jako násobek Legendrův úplný eliptický integrál prvního druhu. Uvedení ${ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} (1-k ^ {2})}$

${ displaystyle I = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac {1} { sqrt {1-k ^ {2} sin ^ {2} ( theta)}}}} , d theta = { frac {1} {a}} F left ({ frac { pi} {2}}, k right) = { frac {1} {a}} K (k)}$

Proto pro všechny ${ displaystyle a}$, aritmeticko-geometrický průměr a úplný eliptický integrál prvního druhu souvisí

${ displaystyle K (k) = { frac { pi a} {2 , operatorname {AGM} (a, a { sqrt {1-k ^ {2}}})}}}$

Provedením inverzní transformace (reverzní aritmeticko-geometrická střední iterace), to znamená

${ displaystyle a _ {- 1} = a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle b _ {- 1} = a - { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} ,}$

${ displaystyle operatorname {AGM} (a, b) = operatorname {AGM} (a + { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}, a - { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}) ,}$

vztah lze psát jako

${ displaystyle K (k) = { frac { pi a} {2 , operatorname {AGM} (a (1 + k), a (1-k))}} ,}$

který může být vyřešen na AGM dvojice libovolných argumentů;

${ displaystyle operatorname {AGM} (u, v) = { frac { pi (u + v)} {4K left ({ frac {u-v} {v + u}} right)}}}}$

Zde přijatá definice pro ${ displaystyle scriptstyle {K (k)}}$ se liší od použitého v aritmeticko-geometrický průměr článek, takový, že ${ displaystyle scriptstyle {K (k)}}$ tady je ${ displaystyle scriptstyle {K (m ^ {2})}}$ v tom článku.

Reference

• Louis V. King O přímém numerickém výpočtu eliptických funkcí a integrálů (Cambridge University Press, 1924)