Kunensova věta o nekonzistenci - Kunens inconsistency theorem - Wikipedia

v teorie množin, obor matematiky, Kunenova věta o nekonzistenci, prokázáno Kenneth Kunen  (1971 ), ukazuje, že několik věrohodných velký kardinál axiomy jsou nekonzistentní s axiom volby.

Některé důsledky Kunenovy věty (nebo jejího důkazu) jsou:

  • Neexistuje nic netriviálního základní vložení vesmíru PROTI do sebe. Jinými slovy, neexistuje Reinhardt kardinál.
  • Li j je elementární ztělesnění vesmíru PROTI do vnitřního modelu Ma λ je nejmenší pevný bod j nad kritický bod κ z j, pak M neobsahuje sadu j "λ (obrázek j omezeno na λ).
  • Tady není žádný ω-velký kardinál.
  • Neexistuje žádné netriviální elementární vložení PROTIλ + 2 do sebe.

Není známo, zda Kunenova věta stále platí v ZF (ZFC bez axiomu volby) Suzuki (1999) ukázal, že neexistuje definovatelné elementární vložení z PROTI do PROTI. To znamená, že neexistuje žádný vzorec J v jazyce teorie množin tak, že pro nějaký parametr p∈PROTI pro všechny sady X∈PROTI a y∈PROTI:

Kunen použit Morseova-Kelleyova teorie množin v jeho důkazu. Pokud je důkaz přepsán tak, aby používal ZFC, je třeba přidat předpoklad, že náhrada platí pro vzorce zahrnující j. Jinak by to člověk nemohl ani ukázat j „λ existuje jako množina. Zakázaná množina j „λ je pro důkaz zásadní. Důkaz nejprve ukazuje, že nemůže být v M. Od toho jsou odvozeny ostatní části věty.

Je možné mít modely teorie množin, které mají do sebe elementární vložení, přinejmenším pokud předpokládáme mírné velké kardinální axiomy. Například pokud 0# existuje pak je elementární vložení z konstruovatelný vesmír L do sebe. To není v rozporu s Kunenovou větou, protože pokud existuje 0 #, pak L nemůže být celý vesmír množin.

Viz také

Reference

  • Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Počátky (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-540-88867-3, ISBN  978-3-540-00384-7
  • Kunen, Kenneth (1971), „Elementární embeddings a infinitary combineatorics“, Journal of Symbolic Logic, 36 (3): 407–413, doi:10.2307/2269948, JSTOR  2269948, PAN  0311478
  • Suzuki, Akira (1999), „Žádné elementární vkládání z V do V není definovatelné z parametrů“, Journal of Symbolic Logic, 64 (4): 1591–1594, doi:10.2307/2586799, ISSN  0022-4812, PAN  1780073
  • Zapletal, Jindřich (1996), „Nový důkaz Kunenovy rozporuplnosti“, Proceedings of the American Mathematical Society, 124 (7): 2203–2204, doi:10.1090 / S0002-9939-96-03281-9, ISSN  0002-9939, PAN  1317054