Koebeho čtvrtinová věta - Koebe quarter theorem - Wikipedia

v komplexní analýza, pobočka matematika, Koebeho věta 1/4 uvádí následující:

Věta o Koebeho čtvrtletí. Obraz injektivní analytické funkce F : D → C z jednotka disku D na a podmnožina z složité letadlo obsahuje disk, jehož střed je F(0) a jehož poloměr je |F'(0)|/4.

Věta je pojmenována po Paul Koebe, který předpokládal výsledek v roce 1907. Věta byla prokázána Ludwig Bieberbach v roce 1916. Příklad funkce Koebe ukazuje, že konstantu 1/4 ve větě nelze zlepšit (zvýšit).

Souvisejícím výsledkem je Schwarzovo lema a pojem související s oběma je konformní poloměr.

Grönwallův teorém o oblasti

Předpokládejme to

${ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}$

je jednotný v |z| > 1. Potom

${ displaystyle sum _ {n geq 1} n | b_ {n} | ^ {2} leq 1.}$

Ve skutečnosti, pokud r > 1, doplněk obrazu disku | z | > r je ohraničená doména X(r). Jeho plocha je dána vztahem

${ displaystyle int _ {X (r)} dx , dy = {1 nad 2i} int _ { částečné X (r)} { overline {z}} , dz = {1 nad 2i } int _ {| z | = r} { overline {g}} , dg = pi r ^ {2} - pi sum n | b_ {n} | ^ {2} r ^ {- 2n }.}$

Jelikož je oblast kladná, následuje výsledek letováním r snížit na 1. Výše ​​uvedený důkaz ukazuje, že rovnost platí tehdy a jen tehdy, když doplněk obrazu G má nulovou plochu, tj. Lebesgueovo opatření nula.

Tento výsledek dokázal v roce 1914 švédský matematik Thomas Hakon Grönwall.

Funkce Koebe

The Funkce Koebe je definováno

${ displaystyle f (z) = { frac {z} {(1-z) ^ {2}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} nz ^ {n}}$

Aplikace věty na tuto funkci ukazuje, že konstantní 1/4 ve větě nelze zlepšit jako doménu obrazu F(D) neobsahuje bod z = −1/4 a tak nemůže obsahovat žádný disk vystředěný na 0 s poloměrem větším než 1/4.

The otočená funkce Koebe je

${ displaystyle f _ { alpha} (z) = { frac {z} {(1- alpha z) ^ {2}}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} n alpha ^ {n-1} z ^ {n}}$

s α komplexní počet absolutní hodnota 1. Funkce Koebe a její rotace jsou schlicht: to znamená, jednomocný (analytické a jedna ku jedné ) a uspokojující F(0) = 0 a F'(0) = 1.

Nerovnost Bieberbachova koeficientu pro univalentní funkce

Nechat

${ displaystyle g (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}$

být jednotný v |z| <1. Potom

${ displaystyle | a_ {2} | leq 2.}$

Toto následuje aplikací věty o oblasti Gronwall na lichou univalentní funkci

${ displaystyle g (z ^ {- 2}) ^ {- 1/2} = z- {1 nad 2} a_ {2} z ^ {- 1} + cdots.}$

Rovnost platí tehdy a jen tehdy G je otočená funkce Koebe.

Tento výsledek prokázal Ludwig Bieberbach v roce 1916 a poskytl základ pro jeho oslavovaná domněnka to |A_n| ≤ n, prokázáno v roce 1985 Louis de Branges.

Důkaz čtvrtinové věty

Při použití afinní mapy lze předpokládat, že

${ displaystyle f (0) = 0, , , , f ^ { prime} (0) = 1,}$

aby

${ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + cdots.}$

Li w není v F(D), pak

${ displaystyle h (z) = {wf (z) nad w-f (z)} = z + (a_ {2} + w ^ {- 1}) z ^ {2} + cdots}$

je jednotný v |z| < 1.

Aplikování nerovnosti koeficientu na F a h dává

${ displaystyle | w | ^ {- 1} leq | a_ {2} | + | a_ {2} + w ^ {- 1} | leq 4,}$

aby

${ displaystyle | w | geq {1 nad 4}.}$

Koebeho věta o zkreslení

The Koebeho věta o zkreslení dává řadu hranic pro univalentní funkci a její derivaci. Je to přímý důsledek Bieberbachovy nerovnosti pro druhý koeficient a Koebeho čtvrtinová věta.^[1]

Nechat F(z) být univalentní funkcí na |z| <1 normalizováno tak, že F(0) = 0 a F'(0) = 1 a nechat r = |z|. Pak

${ displaystyle {r over (1 + r) ^ {2}} leq | f (z) | leq {r over (1-r) ^ {2}}}$

${ displaystyle {1-r nad (1 + r) ^ {3}} leq | f ^ { prime} (z) | leq {1 + r nad (1-r) ^ {3}} }$

${ displaystyle {1-r nad 1 + r} leq vlevo | z {f ^ { prime} (z) nad f (z)} vpravo | leq {1 + r nad 1-r }}$

s rovností právě tehdy F je funkce Koebe

${ displaystyle f (z) = {z over (1-e ^ {i theta} z) ^ {2}}.}$

Poznámky

Reference

• Bieberbach, Ludwig (1916), „Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln“, S.-B. Preuss. Akad. Wiss.: 940–955
• Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993), Komplexní dynamika Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, str.1–2, ISBN  0-387-97942-5
• Conway, John B. (1995), Funkce jedné komplexní proměnné II, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94460-9
• Duren, P. L. (1983), Univalentní funkceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Gronwall, T.H. (1914), „Některé poznámky ke konformnímu zobrazení“, Annals of Mathematics, 16: 72–76, doi:10.2307/1968044
• Nehari, Zeev (1952), Konformní mapování„Dover, str.248–249, ISBN  0-486-61137-X
• Pommerenke, C. (1975), Univalentní funkce s kapitolou o kvadratických diferenciálech od Gerda Jensena, Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht
• Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza. Seriál z vyšší matematiky (3. vyd.). McGraw-Hill. ISBN  0-07-054234-1. PAN  0924157.

externí odkazy

• Koebeho věta 1/4 v PlanetMath