Vzorec Kirillovova znaku - Kirillov character formula

v matematika, pro Lež skupina ${displaystyle G}$, Kirillovova orbitální metoda dává heuristickou metodu v teorie reprezentace. Spojuje to Fourierovy transformace z společné oběžné dráhy, které leží v dvojí prostor z Lež algebra z G, do nekonečně malé znaky z neredukovatelné reprezentace. Metoda dostala své jméno po ruština matematik Alexandre Kirillov.

V nejjednodušším případě uvádí, že charakter lžecké skupiny může být dán Fourierova transformace z Diracova delta funkce podporováno na coadjointových drahách vážených druhou odmocninou Jacobian z exponenciální mapa, označeno ${displaystyle j}$. Neplatí pro všechny Lieovy skupiny, ale funguje pro řadu tříd připojeno Ležové skupiny, včetně nilpotentní, někteří polojednoduchý skupiny a kompaktní skupiny.

Kirillovova orbitální metoda vedla k řadě důležitých vývojů v teorii Lie, včetně Duflo izomorfismus a obtékání mapy.

Znakový vzorec pro kompaktní Lieovy skupiny

Nechat ${displaystyle lambda in {mathfrak {t}} ^ {*}}$ být nejvyšší váha z neredukovatelné zastoupení ${displaystyle pi}$, kde ${displaystyle {mathfrak {t}} ^ {*}}$ je dvojí z Lež algebra z maximální torus a nechte ${displaystyle ho}$ být polovina součtu kladného kořeny.

Označujeme ${displaystyle {mathcal {O}} _ {lambda + ho}}$ procházející oběžnou dráhou ${displaystyle lambda + ho in {mathfrak {t}} ^ {*}}$ a tím ${displaystyle mu _ {lambda + ho}}$ the ${displaystyle G}$-invariantní opatření na ${displaystyle {mathcal {O}} _ {lambda + ho}}$ s celkovou hmotností ${displaystyle dim pi = d_ {lambda}}$, známý jako Liouville opatření. Li ${displaystyle chi _ {lambda}}$ je charakter zastoupení, Kirillovova formule postavy pro kompaktní Lieovy skupiny je dáno

${displaystyle j ^ {1/2} (X) chi _ {lambda} (exp X) = int _ {{mathcal {O}} _ {lambda + ho}} e ^ {i eta (X)} dmu _ { lambda + ho} (eta) ,; forall; Xin {mathfrak {g}}}$,

kde ${displaystyle j (X)}$ je Jacobian exponenciální mapy.

Příklad: SU (2)

Pro případ SU (2), nejvyšší váhy jsou kladná poloviční celá čísla a ${displaystyle ho = 1/2}$. Společné oběžné dráhy jsou dvourozměrné koule poloměru ${displaystyle lambda +1/2}$, se středem na počátku v trojrozměrném prostoru.

Podle teorie Besselovy funkce, lze ukázat, že

${displaystyle int _ {{mathcal {O}} _ {lambda +1/2}} e ^ {i eta (X)} dmu _ {lambda +1/2} (eta) = {frac {sin ((2lambda + 1) X)} {X / 2}} ,; forall; Xin {mathfrak {g}},}$

a

${displaystyle j (X) = {frac {sin X / 2} {X / 2}}}$

čímž se získá znaky SU(2):

${displaystyle chi _ {lambda} (exp X) = {frac {sin ((2lambda +1) X)} {sin X / 2}}}$

Reference

• Kirillov, A. A., Přednášky o orbitální metodě, Postgraduální studium matematiky, 64, AMS, Rhode Island, 2004.