K-topologie - K-topology - Wikipedia

v matematika, zejména topologie, K-topologie je topologie že jeden může vnutit na množinu všech reálných čísel, která má některé zajímavé vlastnosti. Relativní k množině všech reálných čísel nesoucích standardní topologie, sada K. = {1 / n | n je a kladné celé číslo } není Zavřeno protože neobsahuje svůj (pouze) mezní bod 0. Vztahující se k K-topologii je však množina K. je automaticky prohlášeno za uzavřené přidáním „více“ základní prvky na standardní topologii na R. V zásadě je K-topologie zapnuta R je přísně jemnější než standardní topologie R. Je to většinou užitečné pro protipříklady v základní topologii.

Formální definice

Nechat R být množina všech reálných čísel a nechat K. = {1 / n | n je kladné celé číslo}. Vytvořit topologii na R tím, že základ jako všechny otevřené intervaly (A, b) a všechny sady formuláře (A, b) – K. (sada všech prvků v (A, b), které nejsou v K.). The topologie generovaný je známý jako K-topologie na R.

Sady popsané v definici tvoří základ (splňují podmínky, aby mohly být základem).

Vlastnosti a příklady

V této části T bude označovat K-topologii a (R, T) bude označovat množinu všech reálných čísel s K-topologií jako a topologický prostor.

1. Topologie T na R je přísně jemnější než standardní topologie R ale není srovnatelný s topologie spodního limitu na R

2. Z předchozího příkladu vyplývá, že (R, T) není kompaktní

3. (R, T) je Hausdorff ale ne pravidelný. Skutečnost, že se jedná o Hausdorff, vyplývá z první vlastnosti. Od uzavřené sady to není pravidelné K. a bod {0} nemá disjunkt sousedství o nich

4. Překvapivě dost, (R, T) je propojený topologický prostor. Nicméně, (R, T) není cesta připojena; má přesně dva součásti cesty: (−∞, 0] a (0, + ∞)

5. (R, T) není místně připojená cesta (protože jeho součásti cesty se nerovnají jeho komponenty ). To také není místně připojen v {0}, ale je místně připojena všude jinde

6. Uzavřený interval [0,1] není kompaktní jako podprostor (R, T) protože to není ani kompaktní mezní bod (K. je nekonečný podprostor [0,1], který nemá mezní bod v [0,1])

7. Ve skutečnosti neexistuje žádný podprostor (R, T) obsahující K. může být kompaktní. Li A byly podprostorem (R, T) obsahující K., K. nebude mít mezní bod v A aby A nemůže být kompaktní mezní bod. Proto, A nemůže být kompaktní

8. The kvocientový prostor z (R, T) získané zhroucením K. do bodu není Hausdorff. K. je odlišný od 0, ale nelze jej oddělit od 0 disjunktními otevřenými sadami.

Viz také

Reference

  • James Munkres (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.